PREMIERE PARTIE. - LIVRE

rentielles du premier ordre

xdx +ydy ^=^ — z dz,

X df — ydx =^ c'dt,

dx^ + dy"^ -^ dz"^ Sa "

C 4- ^gZ.

En élevant chaque membre des deux premières au carré et en les ajoutant, on aura

si l'on substitue au lieu de x'^-^y'^ sa valeur r'* — s^ et au lieu de

dx'^-^dr'^ , rfz2 , ,

- — 'fjpr^-' sa valeur c -^ :2gz — -j—-, on aura, en supposant que le

corps s'éloigne de la verticale, dt =

'dz

v/(r2 — ^2) [c-\--2.gz) — c'2 La fonction sous le radical peut être mise sous la forme

[a-z)[z-~b){igz-\-f), a, ^,/ étant déterminés par les équations

^gir^ — a^-^ab — b^)

On peut ainsi substituer aux arbitraires c et c' les nouvelles arbitraires a et b, dont la première est la plus grande valeur de z, et dont la seconde est la plus petite valeur. En faisant ensuite

sin 9 r---

OEuvres de L. — I.

^ l'équation différentielle précédente deviendra

ry/a (« + b)

dt =

\l g[\a -r- by ^ r- — 6-] y/i — y- sin-Ô

Y^ étant égal à - , ,.,

L'angle 6 donne la coordonnée z au moyen de l'équation

z = acos-0 -\- bsin'^0,

et la coordonnée z, divisée par r, exprime le cosinus de l'angle que le rayon r fait avec la verticale.

Soit cj l'angle que le plan vertical qui passe par le rayon r fait avec le plan vertical qui passe par l'axe des x; on aura

^ n= y /•- z- coscj, X ~'~ sl""'^ "" ^' sincT,

ce qui donne

xdy — ydx^zj. {r^ — z- ) dxs ;

l'équation xdy —ydx — c'dt donnera ainsi

, c'dt drs — —- r-

En substituant pour z et dt leurs valeurs précédentes en 0, on aura l'angle cj en fonction de 6; ainsi l'on connaîtra, pour un temps quelconque, les deux angles 8 et cr, ce qui suffit pour déterminer la position

du mobile.

Nommons demi-oscillation du mobile le temps qu'il emploie à parvenir de la plus grande à la plus petite valeur de s; soit ^T ce temps. Pour le déterminer, il faut intégrer la valeur précédente de dt depuis 0 = 0 jusqu'à 8 = ^r, t: étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité; on trouvera ainsi

Concevons le point suspendu à l'extrémité d'un fil sans masse, et fixe