PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I

par son autre extrémité; si la longueur du fil est r, le mobile sera mù exactement comme dans l'intérieur d'une surface sphérique; il formera avec le fil un pendule dont le cosinus du plus grand écart de la verticale

sera -• Si l'on suppose que dans cet état la vitesse du mobile soit nulle,

il oscillera dans un plan vertical, et l'on aura dans ce cas

La fraction ■~':^ est le carré du sinus de la moitié du plus grand angle

que le fil forme avec la verticale ; la durée entière T de l'oscillation du pendule sera donc

Si l'oscillation est très-petite, est une très-petite fraction que

l'on peut négliger, et alors on a

les oscillations fort petites sont donc isochrones, ou de même durée, quelle que soit leur étendue; et l'on peut facilement, au moyen de cette durée et de la longueur correspondante du pendule, déterminer les variations de l'intensité de la pesanteur dans les divers lieux de la Terre. Soit z la hauteur dont la pesanteur fait tomber les corps pendant le temps T; on aura, par le n*^ 10, 2z — ^T^ et par conséquent z = i-V; on aura donc ainsi, avec une grande précision, au moyen de la longueur du pendule à secondes, l'espace que la pesanteur fait parcourir aux corps dans la première seconde de leur chute. Des expériences trèsexactes ayant fait voir que la longueur du pendule à secondes est la même, quelles que soient les substances que l'on fait osciller, il en résulte que la pesanteur agit également sur tous les corps, et qu'elle tend, dans le même lieu, à leur imprimer dans le même temps la même vitesse.

12. L'isochronisme des oscillations du pendule n'étant qu'approché, il est intéressant de connaître la courbe sur laquelle un corps pesant doit se mouvoir, pour arriver dans le même temps au point où son mouvement cesse, quel que soit l'arc qu'il aura décrit depuis le point le plus bas. Mais, pour embrasser ce problème dans toute sa généralité, nous supposerons, conformément à ce qui a lieu dans la nature, que le mobile se meut dans un milieu résistant. Soient s l'arc décrit depuis le point le plus bas de la courbe, z l'abscisse verticale comptée de ce point, dt l'élément du temps et g la pesanteur. La force retardatrice le long de l'arc de la courbe sera : i° la pesanteur décomposée suivant

dz l'arc ds, et qui devient ainsi égale à g~r-'-, 2° la résistance du milieu,

que nous exprimerons par «pf^iy)' rff étant la vitesse du mobile, et

? idt) ^^^"^ ^^^ fonction quelconque de cette vitesse. La différentielle

de cette vitesse sera, par le n^ 7, égale ^^ ~ g ^-^f' — 9 \~[i) '■< on aura donc, en faisant dt constant,

, .. d^s dz fds\

fds\ ds ds"^

Supposons ç|— j = m~ -^ ^-m'> ^i s=^^(s')\ en désignant par ^j^'f*')

la différence de ^(s) divisée par ds\ et par Y{^') ^^^^^ ^® ^ (*') divisée par ds', on aura

ds ds' , ,.

ifs d^s' ,,, ,, ds'' ,,,, ,,

dF^dô'^'^-^di^ri''].

et l'équation (t) deviendra

II] o-^^^^ , ^^'' , ds'^ V{s')+n[^'{s']]-^ , gdz

^ > dt^ '^ ""dt ^"dF' ^'[s')' ' "'' 'ds'l'Y[s')Y