PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I
On fera disparaître le terme multiplié par -.^ au moyen de l'équation
d'où l'on tire, en intégrant,
h et q étant des arbitraires. Si l'on fait commencer s' avec s, on aura hg" = I, et si l'on fait, pour plus de simplicité. A— i, on aura
c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité; l'équation différentielle (/) devient alors
d^s' ds' . dz , ,,, df-" dt ^ ds' ' '
En supposant s' très-petit, nous pourrons développer le dernier terme de cette équation dans une suite ascendante par rapport aux puissances de s', et qui sera de cette forme h' -h //' + ..., i étant plus grand que l'unité; ce qui donne
d^s' ds' , , ,,.
o = -J-— + m-, — h ks' 4- /*'' H- . . . . dt^ dt
mt
Cette équation, multipliée par c ^ (cosy^ -f- \[— i siny^) , et ensuite intégrée, devient, y étant supposé égal à i/ ^— -r--,
c'^(cosy^4-s/^sinyO| ^ + (^ -yv"-')^'!
/' mt s'^dt.c'^ (cosy/+ \l—i siny^) —
En comparant séparément les parties réelles et les parties imaginaires,
on aura deux équations au moyen desquelles on pourra éliminer t-; mais- il nous suffira ici de considérer la suivante
c ^ ~j- smyt -i- c ^ s I — smy^ — ycosy^j --- -l j s^dt.c'^ sinyf — . . .,
les intégrales du second membre étant supposées commencer avec t. Nommons T la valeur de f à la fin du mouvement, où -j- est nul; on aura, à cet instant,
— (m \ r — c^ 5' ( — sinyT--ycosyTj ~ — l J s''clt.c'^ sinyt —
Dans le cas de s' infiniment petit, le second membre de cette équation se réduit à zéro par rapport au premier, et l'on a
0=^ — sinyT — y cosyT,
d'où l'on tire
tangyT."^-^; ' m
et, comme le temps T est, par la supposition, indépendant de l'arc parcouru, cette valeur de tangyT a lieu pour un arc quelconque, ce qui donne, quel que soit s\
/> me
s'^dt.c'^ sin y /-+-.. .,
l'intégrale étant prise depuis f = o jusqu'à ^ == T. En supposant s' trèspetit, cette équation se réduit à son premier terme, et elle ne peut être
mr
satisfaite qu'en faisant /= o; car, le facteur c ^ siny^ étant constamment positif depuis ^ — o jusqu'à / = T, l'intégrale précédente est nécessairement positive dans cet intervalle. Il ne peut donc y avoir de tautochronisme que dans la supposition de
