PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I

ce qui donne pour l'équation de la courbe tautochrone

, kds , ,

Dans le vide, et lorsque la résistance est proportionnelle à la simple vitesse, n est nul, et cette équation devient

gdz -— ksds,

équation à la cycloïde.

Il est remarquable que le coefficient n de la partie de la résistance, proportionnelle au carré de la vitesse, n'entre point dans l'expression du temps T, et il est visible, par l'analyse précédente, que cette expression serait la même, si l'on ajoutait à la loi précédente de la résistance

I , ds^ ds''

les termes » -r^ -+- a -j— -+-....

^ dt^ ^ dt'

Soit, en général, R la force retardatrice le long de la courbe; on aura

d-^s ''=dt^-'^'

s est une fonction du temps t et de l'arc total parcouru, qui par conséquent est fonction de t et de s. En différentiant cette dernière fonction, on aura une équation différentielle de cette forme

dt" '

V étant une fonction de t et de s, qui doit être nulle, par la condition du problème, lorsque t a une valeur déterminée et indépendante de l'arc total parcouru. Supposons, par exemple, Y == ST, S étant fonction de s seul, et / étant fonction de T seul; on aura

dt^ ~ ds dt~^ dt "^^ ^ds dt^ dt ' mais l'équation -j- — ST donne t, et par conséquent -,y égal à une fonc-

ds • fls^ / fis \

tion de ^-tt-) fonction que nous désignerons par ëy^,^ 'i IsT//) ' ^" ^^^^

donc

Telle est l'expression de la résistance qui convient à l'équation diffé-

ds rentielle -3- — ST; et il est facile de voir qu'elle embrasse le cas de la

résistance proportionnelle aux deux premières puissances de la vitesse, multipliées respectivement par des coefficients constants. D'autres équations différentielles donneraient d'autres lois de résistance.