PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I

stituer la somme des produits de toutes les forces partielles dont m est animé par les variations de leurs directions respectives. Il en est de même des produits m' S' h', m"S"h'\ ....

Si les corps m, m', m", . . . sont liés entre eux d'une manière invariable, les distances/, /',/', . . . sont constantes, et l'on a pour la condition de la liaison des parties du système

Les variations des coordonnées étant arbitraires dans l'équation {k), on peut les assujettir à satisfaire à ces dernières équations, et alors les forces p, p , p", . . . , qui dépendent de l'action réciproque des corps du système, disparaissent de cette équation; on peut même en faire disparaître les termes Rfîr, R'Sr', ..., en assujettissant les variations des coordonnées à satisfaire aux équations des surfaces sur lesquelles les corps sont forcés de se mouvoir; l'équation {k) devient ainsi

(/) o-~-ltin^às;

d'où il suit que, dans le cas de l'équilibre, la somme des variations des produits des forces par les éléments de leurs directions est nulle, de quelque manière que l'on fasse varier la position du système, pourvu que les conditions de la liaison de ses parties soient observées.

Ce théorème, auquel nous sommes parvenus dans la supposition particulière d'un système de corps liés entre eux d'une manière invariable, est général, quelles que soient les conditions de la liaison des parties du système. Pour le démontrer, il suffît de faire voir qu'en assujettissant les variations des coordonnées à ces conditions, on a dans l'équation {k)

or il est clair que Sr, Sr', . . . sont nuls en vertu de ces conditions; il ne s'agit donc que de prouver que l'on a o = 2.p^/, en assujettissant aux mêmes conditions les variations des coordonnées.

Concevons le système animé des seules forces p, p', p", . . . , et sup-

posons que les corps soient forcés de se mouvoir sur des courbes qu'ils puissent décrire en vertu des mêmes conditions. Alors ces forces se décomposeront en d'autres, les unes q, q , q", . . . , dirigées suivant les droites/, /',/", . . . , et qui se détruiront mutuellement sans produire d'action sur les courbeâ décrites; les autres T, T', T", . . . , perpendiculaires aux courbes décrites; les autres, enfin, tangentielles à ces courbes, et en vertu desquelles le système sera mû. Mais il est aisé de voir que ces dernières forces doivent être nulles; car, le système étant supposé leur obéir librement, elles ne peuvent produire ni pression sur les courbes décrites, ni réaction des corps les uns sur les autres; elles ne peuvent donc pas faire équilibre aux forces — />, —p', —p'\ .. .\ q, q' , q", . . . ; T, T', . . . ; il faut donc qu'elles soient nulles, et que le système soit en équilibre en vertu des seules forces —p, —p\ —p"-> • • • î Ç*» 5' »

çf", ... ; T, T', Soient ??, %i' , ... les variations des directions des

forces T, T', . . . ; on aura, en vertu de l'équation [k),

o = l{q—p)df^-lTài;

mais le système étant supposé en équilibre en vertu des seules forces q, q',..., sans qu'il en résulte aucune action sur les courbes décrites, l'équation {k) donne encore o — ^q^^'^ partant

o = lpdf—nèi.'

Si l'on assujettit les variations des coordonnées à satisfaire aux courbes décrites, on a U =^ o, S« = o, . . . ; on a donc alors

o = lpàf;

et, comme les courbes décrites sont elles-mêmes arbitraires et ne sont assujetties qu'aux conditions de la liaison des parties du système, l'équation précédente a lieu, pourvu que ces conditions soient remplies, et alors l'équation {k) se change dans l'équation (/). Cette équation est la traduction analytique du principe suivant, connu sous le nom de principe des vitesses virtuelles.