PREMIERE PARTIE. - LIVRE I

Si l'on fait varier infiniment peu la position d'un système de corps, en l' assujettissant aux conditions qu'il doit remplir, la somme des forces qui le sollicitent, multipliées chacune par l'espace que le corps auquel elle est appliquée parcourt suivant sa direction, doit être égale à zéro dans le cas de l'équilibre du système.

Non-seulement ce principe a lieu dans le cas de l'équilibre, mais il en assure l'existence. Supposons, en effet, que, l'équation (/) ayant lieu, les points m, m' , . . . prennent les vitesses v, v' , . . . en vertu des forces mS, m' S', . . . qui leur sont appliquées. Ce système serait en équilibre en vertu de ces forces et de celles-ci — mv, — m'v', ... ; désignons par ^v, ^v' ,... les variations des directions de ces nouvelles forces; on aura, par le principe des vitesses virtuelles,

mais on a, par la supposition, o=-IlmS^^; on a donc o — Imv'^v. Les variations "^v, tv' , . . . devant être assujetties aux conditions du système, on peut les supposer égales à v dt, v'dt, . . . , et alors on a

équation qui donne v ~- o, ç''— o, . . .; c'est-à-dire que le système est en équilibre en vertu des seules forces mS, m'S', . . . .

Les conditions de la liaison des parties d'un système peuvent toujours se réduire à des équations entre les coordonnées de ses différents corps. Soient M = o, m'= G, m"=o,... ces diverses équations; on pourra, par le n° 3, ajouter à l'équation (/) la fonction X (^w + V W h- . . . , ou l\^u, 1, 1', . . . étant des fonctions indéterminées des coordonnées des corps; cette équation deviendra ainsi

o = 2 /nS (5* + 2 X ÔM ;

dans ce cas, les variations de toutes les coordonnées seront arbitraires, et Ton pourra égaler leurs coefficients à zéro, ce qui donnera autant d'équations au moyen desquelles on déterminera les fonctions 1,1',....

Si l'on compare ensuite cette équation à l'équation {k), on aura

d'où il sera facile de conclure les actions réciproques des corps m, m',... et les pressions — R, — R, . . . qu'ils exercent contre les surfaces auxquelles ils sont assujettis.

15. Si tous les corps du système sont fixement attachés ensemble, sa position sera déterminée par celle de trois de ses points qui ne sont pas en ligne droite; la position de chacun de ces points dépend de trois coordonnées, ce qui produit neuf indéterminées; mais, les distances mutuelles des trois points étant données et invariables, on peut, à leur moyen, réduire ces indéterminées à six autres qui, substituées dans l'équation {D, introduiront six variations arbitraires; en égalant à zéro leurs coefficients, on aura six équations qui renfermeront toutes les conditions de l'équilibre du système. Développons ces équations.

Pour cela, soient ce, y, z les coordonnées de m; x\y\ z celles de m'; x" , y", z" celles de m", etc. ; on aura

= sl{x"-

= sj[x"~

Si l'on suppose

èx--ox'—èx"^--...,

8z r z àz' :-- ÔZ" — . . . ,

on aura ^f~ o, ^/ — o^, ^/"= o, . . . ; les conditions à satisfaire seront donc remplies, et l'on aura en vertu de l'équation (/)

(m o=r:Z/nS-r-» O — z/mS^t-' o = zm» ,-;

dx dy ôz