PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE
pendiculaire, est nulle, puisque l'angle 9 reste indéterminé. On pourra, au moyen de ces propriétés, retrouver ce plan à un instant quelconque, quelles que soient les variations survenues par l'action mutuelle des corps dans leur position respective, de même que l'on peut facilement retrouver dans tous les temps la position du centre de gravité du système; et, par cette raison, il est aussi naturel de rapporter à ce plan les a? et les y que de rapporter au centre de gravité l'origine des coordonnées.
22. Les principes de la conservation des forces vives et des aires ont encore lieu, en supposant à l'origine des coordonnées un mouvement rectiligne et uniforme dans l'espace. Pour le démontrer, nommons X, Y, Z les coordonnées de cette origine, supposée mobile, par rapport à un point fixe, et supposons
a:=z\-}~:r,, j=Y-l-jj, 2=Z-r-2(,
ûOf, j, , s,, x\,... seront les coordonnées de m, m',... relativement à l'origine mobile. On aura, par l'hypothèse.
mais on a, par la nature du centre de gravité, lorsque le système est
libre,
o ^ 2 m(rf2X 'r d-'x,) -^mVdr-,
o -s^lm [d'Y 4- d'y^ ] — 1 niQdr-,
o --^z Imid'Z -+- d'z,)—lm^dr-.
L'équation (P) du n° 18 deviendra ainsi, en y substituant f>X-h^a?,,
f^Y -+- cîy, , . . . au lieu de ^œ, ^y, . . . ,
id'
o..-2,noV.(^-P)H-2mar.(^--Q)H-2ma..^^-RJ, équation exactement de la même forme que l'équation (P), si les forces
P, Q, R ne dépendent que des coordonnées ^,, Jo ^i» oo\, . . . . En lui appliquant donc l'analyse précédente, on en tirera les principes de la conservation des forces vives et des aires par rapport à l'origine mobile des coordonnées.
Si le système n'éprouve point l'action de forces étrangères, son centre de gravité aura un mouvement rectiligne et uniforme dans l'espace, comme on l'a vu dans le n° 20 ; en fixant donc à ce centre l'origine des coordonnées x, y, z, ces principes subsisteront toujours. X, Y, Z étant alors les coordonnées du centre de gravité, on aura, par la nature de ce point,
ce qui donne
xdy — ydx XrfY — Y</X „ ^ xidrK —Y\
dx
dt dt -."-." ^^ î • • '
dx^ -^ dr^ -:- dz^ d\^ -^ dY^ ^ dZ^ ^ dx^. -f- rfr? -^ dz^.
Ainsi les quantités résultantes des principes précédents se composent : 1° des quantités qui auraient lieu si tous les corps du système étaient réunis à leur centre commun de gravité; 2° des quantités relatives au centre de gravité supposé immobile; et, comme les premières de ces quantités sont constantes, on voit la raison pour laquelle les principes dont il s'agit ont lieu par rapport au centre de gravité. En fixant donc à ce point l'origine des coordonnées x, y, z, œ',... des équations (Z) du numéro précédent, elles subsisteront toujours; d'où il résulte que le plan passant constamment par ce centre, et relativement auquel la
fonction Im^-^-,-— — est un maximum, reste toujours parallèle à
lui-même pendant le mouvement du système, et que la môme fonction relative à tout autre plan qui lui est perpendiculaire est nulle.
Les principes de la conservation des aires et des forces vives peuvent se réduire à des relations entre les coordonnées des distances mutuelles des corps du système. En effet, l'origine des œ, des y et des z étant
