PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I
toujours supposée au centre de gravité, les équations (Z) du numéro précédent peuvent être mises sous la forme
c D m :rr 2 mm
, (^' — x] [dy' — df] — [x' — y) [dx' — dx )
,„ ^ ,{x—x]{dz—dz] — [z—z){dx—dx]
c lim=:Z mm ■ ■ ■ — — ï— ^- — ~ —
dt
, (j' — x) \d^' — dz) — (s' — z) [dx' — dx)
c"Ié m r- 2t mm
dt
On peut observer que les seconds membres de ces équations multipliées par dt expriment la somme des projections des aires élémentaires tracées par chaque droite qui joint deux corps du système, dont l'un est supposé se mouvoir autour de l'autre considéré comme immobile, chaque aire étant multipliée par le produit des deux masses que joint la droite.
Si l'on applique aux équations précédentes l'analyse du n° 21, on verra que le plan passant constamment par l'un quelconque des corps du système, et relativement auquel la fonction
2 mm
, [x' — x] [dx' — dx) — ix' — T) \dx' —-- dx
est un maximum, reste toujours parallèle à lui-même dans le mouvement du système, et que ce plan est parallèle au plan passant par le
ûc dy V doc
centre de gravité, et relativement auquel la fonction im — •^—.j
est un maximum. On verra encore que les seconds membres des équations précédentes sont nuls relativement à tout plan passant par le même corps et perpendiculaire au plan dont il s'agit. L'équation fQ) du n° 19 peut être mise sous la forme
„ , [dx' — dxY -^ [dy' — dy)' ^' [dz' — dz\^ . „ „^ ,„ ...
2i mm ' ^2 "" ~ const. az m . zj mm Fdj,
équation relative aux seules coordonnées des distances mutuelles des corps, et dans laquelle le premier membre exprime la somme des car-
rés des vitesses relatives des corps du système les uns autour des autres, en les considérant deux à deux, et en supposant l'un des deux immobile, chaque carré étant multiplié par le produit des deux masses que l'on considère.
23. Reprenons l'équation (R) du n° 19; en la différentiant par rapport à la caractéristique S, on aura
l'équation (P) du n° 18 devient ainsi
o:^lniièx.d-, — ï- dy.d-j- -t- èz.d--r^\ - Imdt.vêv.
Soient ds l'élément de la courbe décrite par m, ds' l'élément de la courbe décrite par m\ ... ; on aura
t' dt -=■■ ds, v'dt ds',. . ., ds :^ ^x- -f df- -r dz- , . . . ,
d'où l'on tirera, en suivant l'analyse du n° 8,
^ , j , „ j dx dx -i- dy ôr -^ dz èz
J,mèivds) -zslmd ~—
^ dt
En intégrant par rapport à la caractéristique différentielle d, et en étendant les intégrales aux courbes entières décrites par les corps m, m',..., on aura
. , /. , ^ dx$x-i' dy ôr -+ dz $z 1 ofmv ds =-- consl. -i 2 m ^-- •>
les variations ^, ^y, ^z, . . . étant, ainsi que la constante du second membre de cette équation , relatives aux points extrêmes des courbes décrites par m, m\ ....
Il suit de là que, si ces points sont supposés invariables, on a
o ^^làjmvds,
