PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I

\'dt ^^)^ \'it^~^)^ yit — )' prises avec un signe contraire ; on aura donc, au lieu de l'équation (P) du même numéro, celle-ci

H<fr^)-''^-A<i''~^y'''^'^M%'^)-H-

fi T* (ly* fi "^

qui n'en diffère qu'en ce que -j--> -j:^ jr y sont multipliés par la fonc-

tion ^— . qui, dans le cas de la force proportionnelle à la vitesse, peut

être supposée égale à l'unité. Mais cette difTérence rend très-difficile la solution des problèmes de Mécanique. Cependant on peut tirer de l'équation (S) des principes analogues à ceux de la conservation des forces vives, des aires et du centre de gravité.

Si l'on change ^x en dx, '^y en dy, "^z en dz, etc., on aura

et par conséquent

const. -^lfm[Vdx-\-Qd)^-h R(

En supposant lm(Vdx -+-Qdy^~B.dz) une différentielle exacte égale k dl, on aura

(T) If mvdv(Ç)'{v] = const. -h 1,

équation analogue à l'équation (R) du n° 19, et qui se change en elle dans le cas de la nature, où (s^'(v) = i. Le principe de la conservation des forces vives a donc lieu dans toutes les lois mathématiquement possibles entre la force et la vitesse, pourvu que l'on entende paryôrce vive d'un corps le produit de sa masse par le double de l'intégrale de sa vitesse multipliée par la différentielle de la fonction de la vitesse qui exprime la force.

Si l'on fait, dans l'équation (S),

àx' - àx ^- èx', , ôj ' ^ 0/ + èf', , ôz' = èz^èz[, èx" — àx -h ô< , . . . ,

on aura, en égalant séparément à zéro les coefficients de ^x, ^y, Iz,

Ces trois équations sont analogues à celles du n** 20, d'où nous avons conclu la conservation du mouvement du centre de gravité, dans le cas de la nature, lorsque le système n'est assujetti à d'autres forces qu'à l'action et à l'attraction mutuelle des corps du système. Dans ce cas, 2mP, ImQ, 2mR sont nuls, et l'on a

^ dx o v) -, dr olv) ^ dz o\v]

const. — 2 /n -7- -, consl. = 2 m -^ -^ — j consl. =--zm-jr

dt V dt V dt K>

m-^ 9iv) ^^^ ^^^j ^ ;;j(p(^j^, et cette dernière quantité est la force

finie du corps décomposée parallèlement à l'axe des x, la force d'un corps étant le produit de sa masse par la fonction de la vitesse qui exprime la force. Ainsi la somme des forces finies du système, décomposées parallèlement à un axe quelconque, est alors constante, quel que soit le rapport de la force à la vitesse ; et ce qui distingue l'état du mouvement de celui du repos est que, dans ce dernier état, cette même somme est nulle. Ces résultats sont communs à toutes les lois mathématiquement possibles entre la force et la vitesse; mais ce n'est que dans la loi de la nature que le centre de gravité se meut d'un mouvement rectiligne et uniforme.

Supposons encore, dans l'équation (S),

la variation %x disparaîtra des variations des distances mutuelles/,/',... des corps du système, et des forces qui dépendent de ces quantités. Si le