LIVRE* I

système est libre d'obstacles étrangers , on aura , en égalant à zéro le coefficient de ^œ,

d'où l'on tire, en intégrant,

a^dy — ydx cp(i^]

dt

-\-lfm[Vf-~Qx)dt,

On aura pareillement

c, c\ c" étant des constantes arbitraires.

Si le système n'est soumis qu'à l'action mutuelle de ses parties, on a, par le n*^ 21 ,

2m(Pj- Q.r) " o, 2m(P2 — R^)— o, 2m(Q3 — Rj^) = o;

d'ailleurs, m[x-~ —y-rr^ ^^^^

est le moment de la force finie dont

le corps m est animé, décomposée parallèlement au plan des x et des j, pour faire tourner le système autour de l'axe des z; l'intégrale finie

-, xdy — ydx ©fc] dt V

est donc la somme des moments de toutes les forces finies des corps du système, pour le faire tourner autour du même axe; cette somme est par conséquent constante. Elle est nulle dans l'état d'équilibre; il y a donc ici la même différence entre ces deux états que relativement à la somme des forces parallèles à un axe quelconque. Dans la loi de la nature, cette propriété indique que la somme des aires, décrites autour d'un point fixe par les projections des rayons vecteurs des corps, est

toujours la même en temps égal; mais cette constance des aires décrites n'a point lieu dans d'autres lois.

Si l'on différentie par rapport à la caractéristique ^ la fonction I,fm<^{ç)ds, on aura

èléfmcfîv) ds = I,fmcf'v] dds -\- ^fmèv(^'[i>) ds;

mais on a

^ , dxàdx -- drodr -^ dz èdz \ [ dx ,- dr ,, dz ,. \

^ds = -^ i -^ = - -T- ddx + -j- dèr i- -77 dèz ;

ds V \dt (It " at !

on aura donc, en intégrant par parties,

î V /• I \ j V nioiv] {dx 5, dr ^ dz ^

dt dt '' dt