PREMIÈRE PARTIE. ~ LIVRE I

ces trois équations différentielles donnent les suivantes

dp' ^-

q'r'dt=dN ces 9 — dN'smB,

D] { dq' ■+- ~j^^~ r'p'dt= — [d^sind -h dl>i'cos9)sm<f -i-dWcoso,

-^~- p'q'dt= — (JNsin0 + JN'cosÔ)cos9--</N"sin9.

Ces équations sont très -commodes pour déterminer le mouvement de rotation d'un corps, lorsqu'il tourne à fort peu près autour de l'un des axes principaux, ce qui est le cas des corps célestes.

27. Les trois axes principaux auxquels nous venons de rapporter les angles 0, ^j/ et 9 méritent une attention particulière; nous allons déterminer leur position dans un solide quelconque. Les valeurs de oc' ,y' , z' du numéro précédent donnent, par le n° 21, les suivantes

x" = x"^Q,osO sint]; 8109 + coB'^» COS9) + j'(cos9 cosi|^ sincp — sin^' costp) — z' smQ sin o, y" =. x' [cosQ sin^ COS9 — ces 4* sincp) +/'(cos9cos4' coso + sin^' sin9) -— z' smQ coscp, z."=:^'sin9sin4' + j'sin9 cos4' + z'cosS;

d'où l'on tire

x" zosa^ — y" sincp ::— ^'cos<|' — j'sinc];,

x" sincp H- j" coscp — jc'cosQ sin^ +/'cos9 0054^ — z' sin9.

Soit

on aura

^x'^dm^a"', ^x"^dm = b^, Sz'^dmz=c'^, ?)x'f'dm=^f, èx'z'dm = g, Sy'z'dm= h]

cos(^. ^ x"z" dm — sin(f.^X"z" dm = (a2 — 62j sinôsin^j^cos^ +/sin0(cos24' — sin^tj;) H- cos0(g-cos4' -- Asinij^),

sin <p . S a7"z"Jm -h ces 9 . S j"z"J/n = sin9cos0{a2sin2 4' + 62cos2 4 — c2+2/sin4'C0s4) + (cos^ô — sin^ô) (g- sin tj; 4-7* ces 4^).

En égalant à zéro les seconds membres de ces deux équations, on aura

h sin (]> — £■ cos d> tang B ~ ^ ^ ~

itt"- — b'-] sind/ cos'J> -t-/ cos-^}/ — sin^vj;!

itang2 9 ^ g-sin-j;^Acos4> .

^ ° c- — a- sin-!^,— Z>- cos-t]; — a/sin^^ cos^ '

mais on a

, . tango

ilang2 0— : r^:;

^ *^ I — iang2 6 '

en égalant ces deux valeurs de |tang2 0, et en substituant dans la dernière, au lieu de tangO, sa valeur précédente en '|; en faisant ensuite, pour abréger, tangi^/^, on trouvera, après toutes les réductions, l'équation suivante du troisième degré

Cette équation ayant au moins une racine réelle, on voit qu'il est toujours possible de rendre nulles à la fois les deux quantités

cos cj>.èx"z" dm — sin (^.Sx"z" dm, sin 9 .'èx"z"dm -'r- cos<p.Sj"z"rfm,

et par conséquent la somme de leurs carrés {Sx"z"dmy n- {Sy'z"dm/, ce qui exige que l'on ait séparément

La valeur de u donne celle de l'angle <]), et par conséquent celle de tangO et de l'angle 6. Il reste maintenant à déterminer l'angle 9, ce que l'on fera au moyen de la condition '^x'y'dm — o, qui reste à remplir. Pour cela, nous observerons que, si l'on substitue dans 'èx'y'dm, au lieu de x", y", leurs valeurs précédentes, cette fonction deviendra

de cette forme

H sin 2 9 -f- L ces 2 9,

H et L étant fonctions des angles 6 et «^ et des constantes «^ è% c^/,