PREMIERE PARTIE. - LIVRE I

centre sont les plus denses, la fonction y^^rt^r ^^^^ moindre que fR^; la valeur de /sera donc moindre que dans le cas de l'homogénéité.

30. Déterminons présentement les oscillations du corps, dans le cas où il tourne à très -peu près autour du troisième axe principal. On pourrait les déduire des intégrales auxquelles nous sommes parvenus dans le numéro précédent; mais il est plus simple de les tirer directement des équations différentielles (D) du n° 26. Le corps n'étant sollicité par aucune force, ces équations deviennent, en y substituant au lieu de p , q\ r' leurs valeurs C/?, kq et Br,

B- A , , C B , , A- C , dp H -, — qrdt -^ o, dq h . — rp dt --z o, dr -\ — pqdt ~— o.

Le solide étant supposé tourner à fort peu près autour de son troisième axe principal, ^ et r sont de très-petites quantités, dont nous négligerons les carrés et les produits; ce qui donne dp---o, et par conséquent p constant. Si dans les deux autres équations on suppose

<7 =^ M sin ( nf f y ) , r :i= M' ces ( nt -\- y ] ,

on aura

/Vc

AB

M et y étant deux constantes arbitraires. La vitesse angulaire de rotation sera \J p^ -\- q^ ^- r^ , ou simplement/?, en négligeant les carrés de ^ et de r; cette vitesse sera donc à très-peu près constante. Enfin le sinus de l'angle formé par l'axe réel de rotation et par le troisième

axe principal sera -- — ^■

Si à l'origine du mouvement on a q - o et /•-- o, c'est-à-dire si l'axe réel de rotation coïncide à cet instant avec le troisième axe principal, on aura M = o. M' — o; ^ et r seront donc toujours nuls, et l'axe de rotation coïncidera toujours avec le troisième axe principal ; d'où il suit que, si le corps commence à tourner autour d'un des axes principaux,

OEuvres de L. — I. l3

il continuera de tourner uniformément autour du même axe. Cette propriété remarquable des axes principaux les a fait nommer a^ce^/^rmc/paux de rotation : elle leur convient exclusivement; car, si l'axe réel de rotation est invariable à la surface du corps, on a c^ — o, </^ r- o, dr— o; les valeurs précédentes de ces quantités donnent ainsi

^ - rq = o, -^ rp = o, ^ pq == o.

Dans le cas général où A, B, C sont inégaux, deux des trois quantités /?, q, r sont nulles en vertu de ces équations, ce qui suppose que l'axe réel de rotation coïncide avec l'un des axes principaux.

Si deux des trois quantités A, B, C sont égales, par exemple si l'on a A — B, les trois équations précédentes se réduisent à celles-ci

rp = o, pq -- o,

et l'on peut y satisfaire par la supposition seule de p égal à zéro. L'axe de rotation est alors dans un plan perpendiculaire au troisième axe principal; mais on a vu (n° 27) que tous les axes situés dans ce plan sont des axes principaux.

Enfin, si l'on a à la fois A r^ B -- C, les trois équations précédentes seront satisfaites, quels que soient p, q, r; mais alors, par le n° 27, tous les axes du corps sont des axes principaux.

Il suit de là que les seuls axes principaux ont la propriété d'être des axes invariables de rotation; mais ils n'en jouissent pas tous de la même manière. Le mouvement de rotation autour de celui dont le moment d'inertie est entre les moments d'inertie des deux autres axes peut être troublé d'une manière sensible par la cause la plus légère, en sorte qu'il n'y a point de stabilité dans ce mouvement. . On nomme état stable d'un système de corps un état tel que le système, lorsqu'il en est infiniment peu dérangé, ne puisse s'en écarter qu'infiniment peu , en faisant des oscillations continuelles autour de cet état. Concevons, cela posé, que l'axe réel de rotation s'éloigne infiniment peu du troisième axe principal; dans ce cas, les constantes M