PREMIERE PARTIE. — LIVRE I

et M' sont infiniment petites; et, si /i est une quantité réelle, les valeurs de 5^ et de r resteront toujours infiniment petites, et l'axe réel de rotation ne fera jamais que des excursions du même ordre autour du troisième axe principal. Mais, si n était imaginaire, sin(/ijf-hY) et cos(n^-4-y) se changeraient en exponentielles; les expressions de q et de r pourraient donc alors augmenter indéfiniment, et cesser enfin d'être infiniment petites; il n'y aurait donc point de stabilité dans le mouvement de rotation du corps autour du troisième axe principal. La valeur de n est réelle, si G est la plus grande ou la plus petite des trois quantités A, B, C; car alors le produit (G — A)(C — B) est positif; mais ce produit est négatif, si G est entre A et B, et dans ce cas n est imaginaire ; ainsi le mouvement de rotation est stable autour des deux axes principaux dont les moments d'inertie sont le plus grand et le plus petit; il ne l'est pas autour de l'autre axe principal.

Maintenant, pour déterminer la position des axes principaux dans l'espace, nous supposerons le troisième axe principal à fort peu près perpendiculaire au plan des x' et des y\ en sorte que 6 soit une quantité très-petite dont nous négligerons le carré. Nous aurons, par le

c?cp - d'^ ^ pdt,

ce qui donne, en intégrant,

^ -- ^ ~ pt z,

£ étant une constante arbitraire. Si l'on fait ensuite

sin Q sin cp t-:: s, sin 0 coscp - u, les valeurs de q et de r du n*^ 26 donneront, en éliminant «?]/,

ds du

et en intégrant,

s -- B sin{pt ^'"k) -^, sin(n/-i y),

Ur~ &COS [pt 4- /) -- -p -• C0S(W^ +- y)>

ê et X étant deux nouvelles arbitraires : le problème est ainsi complètement résolu, puisque les valeurs de ^ et de m donnent les angles 9 et <p en fonction du temps, et que <]; est déterminé en fonction de 9 et de t. Si ê est nul, le plan des x et des y' devient le plan invariable auquel nous avons rapporté, dans le numéro précédent, les angles 6, 9 et f

31. Si le solide est libre, l'analyse des numéros précédents donnera son mouvement autour de son centre de gravité ; si le solide est forcé de se mouvoir autour d'un point fixe, elle fera connaître son mouvement autour de ce point. Il nous reste à considérer le mouvement d'un solide assujetti à se mouvoir autour d'un axe fixe.

Concevons que x soit cet axe, que nous supposerons horizontal : dans ce cas, la dernière des équations (B) du n** 25 suffira pour déterminer le mouvement du corps. Supposons, de plus, que l'axe des y' soit horizontal, et qu'ainsi l'axe des z' soit vertical et dirigé vers le centre de la Terre; supposons enfin que le plan qui passe par les axes des j' et des z' passe par le centre de gravité du corps, et imaginons un axe passant constamment par ce centre et par l'origine des coordonnées. Soit 6 l'angle que ce nouvel axe fait avec celui des s'; si l'on nomme y" et z" les coordonnées rapportées à ce nouvel axe, on aura

y: =j"cos9 -f- s"sin9, z' -2"cos9- j"sin0,

d'où l'on tire

g .rV/.' z'dr' ^^^. ^ d^ g^^ ,, ,

dl dt ^-^

Sdm{y"^ H- z"'^) est le moment d'inertie du corps relativement à l'axe

des x' : soit G ce moment. La dernière des équations (B) du n'* 25

donnera

rfa^ dW dt^ '"' df '

Supposons que le corps ne soit sollicité que par l'action de la pesan-

dW dt

— w/iRsinô,

— mARsinQ

dt^ ~