PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II
sur ce point parallèlement à une droite quelconque, il faut donc considérer V comme fonction de trois coordonnées rectangles, dont l'une soit parallèle à cette droite, et différentier cette fonction relativement à cette coordonnée; le coefficient de cette différentielle, pris avec un signe contraire, sera l'expression de l'attraction du sphéroïde parallèlement à la droite donnée, et dirigée vers l'origine de la coordonnée qui lui est parallèle.
Si l'on représente par ê la fonction [{x—x'Y ^ [y—y'Y ^ [z—z'Y]~^, on aura
L'intégration n'étant relative qu'aux variables x' , y', z\ il est clair que l'on aura
.y'p^.'Jr'j.'(£| + p + ^);
mais on a
on aura donc pareillement
ày^
ày^
ôz-^ •
cette équation remarquable nous sera de la plus grande utilité dans la théorie de la figure des corps célestes. On peut lui donner d'autres formes plus commodes dans diverses circonstances; concevons, par exemple, que de l'origine des coordonnées on mène au point attiré un rayon, que nous nommerons r; soit 9 l'angle que ce rayon fait avec l'axe des x, et ct l'angle que le plan formé par r et par cet axe fait avec le plan des x et des j; on aura
^ = rcos0, j = rsm9cosciT, z = rsmd smnj,
d'où l'on tire
r= \Jx'^ -hy'^ + z^, cos(
OEiivres de L. — I.
y langcj = —
On pourra ainsi avoir les différences partielles de r, 0 et or relativement
aux variables a:, y, z, et l'on en conclura les valeurs de ^—,5 -—-5 -,— r
•^ ÔX' ôf- ôz-
en différences partielles de V relatives aux variables r, 0 et V5. Comme nous ferons souvent usage de ces transformations des différences partielles, il est utile d'en rappeler ici le principe. En considérant V comme fonction des variables oc, y, z, et ensuite des variables r, 6 et cy, on a
d\ dr
ÔY ôrn ■
ôx
dr ôx
""" 06 ôx
ôuj ôx
Pour avoir les différences partielles -r-? -r-^ -t--, il ne faut faire varier
^ ôx ôx ôx
que X dans les expressions précédentes de r, cos6 et tangrj; en diffé-
rentiant donc ces expressions, on aura
ôr ^ ô9 sinô âis
-—- = CCS y, ^- = ) --— — - o,
ôx ôx r ôx
ce qui donne
^V .ô\ smO ÔY
OX ôr r 09
On aura donc ainsi la différence partielle .—^ en différences partielles de la fonction V, prises par rapport aux variables r, 0 et ct. En différen-
tiant de nouveau cette valeur de -r-i on aura la différentielle partielle
-r-^1 en différences partielles de V, prises par rapport aux variables r,
8 et CT. On aura, par le même procédé, les valeurs de y-- et j-^-
On transformera, de cette manière, l'équation (A) dans la suivante
. ô^Y cos^ ^V <)ct=^ ô^.rY
et, si l'on fait cos6 = a, cette équation deviendra
,^, ^^' ^ ^ ou. ÔTs-^ ô^.rY
^ ' Ofi I — ju.-* ôr^
