LIVRE II

12, Supposons maintenant que le sphéroïde soit une couche sphélique dont le centre soit à l'origine des coordonnées; il est clair que Y ne dépendra que de r, et qu'il ne renfermera ni a ni w; l'équation (C) donnera donc

dr'^

d'où l'on tire, en intégrant,

Ah-

A et B étant deux constantes arbitraires. On a donc

^V dr

dN

— -T- exprime, par ce qui précède, l'action de la couche sphérique sur

le point m, décomposée suivant le rayon r et dirigée vers le centre de la couche; or il est clair que l'action totale de la couche doit être dirigée suivant ce rayon; — -r- exprime donc l'action totale de la couche

sphérique sur le point m.

Supposons d'abord ce point placé au dedans de la couche. S'il était au

centre même, l'action de la couche serait nulle; on a donc

ou

o, lorsque r--o, ce qui donne B — o, et par conséquent

. — o, quel que soit /■; d'où il suit qu'un point placé dans l'intérieur de la couche n'en éprouve aucune action, ou, ce qui revient au même, il est également attiré de toutes parts.

Si le point m est situé au dehors de la couche sphérique, il est visible qu'en le supposant infiniment éloigné de son centre, l'action de la couche sur ce point sera la même que si toute la masse de la couche était réunie à ce centre; en nommant donc M la masse de cette

couche, r- ou — deviendra, dans ce cas, égjal à — ? ce qui donne

B = Ai; on a donc généralement, par rapport aux points extérieurs,

dV M

Or r-

c'est-à-dire que la couche sphérique les attire comme si toute sa masse était réunie à son centre.

Une sphère étant une couche sphérique dont le rayon de la surface intérieure est nul, on voit que son attraction sur un point placé à sa surface ou au delà est la même que si sa masse était réunie à son centre.

Ce résultat a encore lieu pour les globes formés de couches concentriques d'une densité variable du centre à la circonférence suivant une loi quelconque, puisqu'il est vrai pour chacune de ces couches : ainsi, le Soleil, les planètes et les satellites pouvant être considérés, à trèspeu près, comme des globes de cette nature, ils attirent, à fort peu près, les corps extérieurs comme si l'on supposait leurs masses réunies à leurs centres de gravité, ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé par les observations, dans le n" 5. A la vérité, la figure des corps célestes s'écarte un peu de la sphère ; mais la différence est trèspetite, et l'erreur qui en résulte sur la supposition précédente est du même ordre que cette différence, relativement aux points voisins de leur surface; et, relativement aux points éloignés, l'erreur est du même ordre que le produit de cette différence par le carré du rapport des rayons des corps attirants à leurs distances aux points attirés; car on a vu, dans le n° 10, que la considération seule de l'éloignement des points attirés rend l'erreur de la supposition précédente du même ordre que le carré de ce rapport. Les corps célestes s'attirent donc, à très-peu près, comme si leurs masses étaient réunies à leurs centres de gravité, non -seulement parce qu'ils sont fort éloignés les uns des autres relativement à leurs dimensions respectives, mais encore parce que leurs figures différent très-peu de la sphère.

La propriété dont les sphères jouissent dans la loi de la nature, d'attirer comme si leurs masses étaient réunies à leurs centres, est très-remarquable, et l'on peut être curieux de savoir si elle a lieu dans d'au-