PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II
très lois d'attraction. Pour cela, nous observerons que, si la loi de la pesanteur est telle qu'une sphère homogène attire un point placé au dehors comme si toute sa masse était réunie à son centre, le même résultat doit avoir lieu pour une couche sphérique d'une épaisseur constante; car, si l'on enlève à une sphère une couche sphérique d'une épaisseur constante, on formera une nouvelle sphère d'un plus petit rayon, mais qui aura, ainsi que la première, la propriété d'attirer comme si toute sa masse était réunie à son centre; or il est évident que ces deux sphères ne peuvent avoir cette propriété commune qu'autant qu'elle l'est encore à la couche sphérique qui forme leur différence. Le problème se réduit donc à déterminer les lois d'attraction suivant lesquelles une couche sphérique d'une épaisseur infiniment petite et constante attire un point extérieur comme si toute sa masse était réunie à son centre.
Soit r la distance du point attiré au centre de la couche sphérique, u le rayon de cette couche , et du son épaisseur. Soit 6 l'angle que le rayon u fait avec la droite r, vs l'angle que le plan qui passe par les deux droites r et w fait avec un plan fixe passant par la droite r; l'élément de la couche sphérique sera u^dudud^ûn^. Si l'on nomme ensuite / la distance de cet élément au point attiré, on aura
pz=zr^ — irucose + u^.
Représentons par <p(/) la loi de l'attraction à la distance/; l'action de l'élément de la couche sur le point attiré, décomposée parallèlement à r et dirigée vers le centre de la couche , sera
u^dudm dB sin Q 7. — '—- 9 (/) ;
mais on a
r— M CCS 9 df
ce qui donne à la quantité précédente cette forme
u^dudxssdQs\nQ-^^[f);
partant, si l'on désigne /((f^if) P^i' ?,(/)» on aura l'action entière de la couche sphérique sur le point attiré, au moyen de l'intégrale u^du fdrs d^ sinbo^(f), différentiée par rapport à r et divisée par dr.
Cette intégrale doit être prise relativement à cr, depuis ct — o jusqu'à t7 égal à la circonférence, et après cette intégration elle devient
2 7ï u- du JdQ sin 0 9, ( /) ,
t: étant le rapport de la demi-circonférence au rayon. Si l'on différentie la valeur de /par rapport à 0, on aura
dBsïnB
. fdf
ru
et par conséquent
'y.T:ic^-dufd6s\nO^,{f) = ^tt"^-"//^/?,!/)-
L'intégrale relative à 6 doit être prise depuis 8 — o jusqu'à 9 == tu, et à ces deux limites on a/— r — u ei/=^ r-\- u; ainsi l'intégrale relative à/ doit être prise depuis/— r — u jusqu'à /-- r+ w; soit donc ffdh.{f)--=^{f)'-> on aura
Le coefficient de dr, dans la différentielle du second membre de cette équation prise par rapport à r, donnera l'attraction de la couche sphérique sur le point attiré, et il est facile d'en conclure que dans la nature, où 9(/) -= -J-» cette attraction est égale à 2£!f__il, c'cst-à-dirc
qu'elle est la même que si toute la masse de la couche sphérique était réunie à son centre, ce qui fournit une nouvelle démonstration de la propriété que nous avons établie précédemment sur l'attraction des sphères.
Déterminons maintenant 9 (/) d'après la condition que l'attraction de la couche est la même que si sa masse était réunie à son centre.
