PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II
Cette masse est égale à [\-w-du, et, si elle était réunie à son centre, son action sur le point attiré serait l\~u^duo[r)', on aura donc
( D ) iTzudu ~ ^t: u- du<f>{r);
en intégrant par rapport à r, on aura
^[i'-\- u) — 'j;(r — u) = irufdrQ^[r) + rU,
U étant une fonction de u et de constantes, ajoutée à l'intégrale 2ufdr(!^(r). Si l'on représente ^{r-i- u) — ^r-— u) par R, on aura, en différentiant l'équation précédente,
(PR , , , do{r) ()2R <)2U
mais on. a, par la nature de la fonction R,
dr- du-
partant
ou
2<p(r) dcp{r) I d'-\]
r . dr 0.U du-
Ainsi, le premier membre de cette équation étant indépendant de w, et le second membre étant indépendant de r, chacun de ces membres doit être égal à une constante arbitraire, que nous désignerons par 3 A; on a donc
r dr *
d'où Ton tire, en intégrant,
qjfr] = Ar H ->
B étant une nouvelle constante arbitraire. Toutes les lois d'attraction dans lesquelles une sphère agit sur un point extérieur placé à la distance r de son centre comme si toute sa masse était réunie à ce centre sont donc comprises dans la formule générale
kv
il est aisé de voir qu'en effet cette valeur satisfait à l'équation (D), quels que soient A et B.
Si l'on suppose A = o, on aura la loi de la nature, et l'on voit que, dans le nombre infini des lois qui rendent l'attraction très-petite à de grandes distances, celle de la nature est la seule dans laquelle les sphères ont la propriété d'agir comme si leurs masses étaient réunies à leurs centres.
Cette loi est encore la seule dans laquelle un corps placé au dedans d'une couche sphérique, partout d'égale épaisseur, est également attiré de toutes parts. Il résulte de l'analyse précédente que l'attraction de la couche sphérique, dont l'épaisseur est du, sur un point placé dans son intérieur, a pour expression
zTzudu
dr
Pour que cette fonction soit nulle, on doit avoir
^/(a-f-r) — ^[u — r] = rU,
U étant une fonction de u indépendante de r, et il est facile de voir que
cela a lieu dans la loi de la nature où (p(/) = ^rj- Mais, pour faire voir
que cela n'a lieu que dans cette loi, nous désignerons par ^'[f) la différence de ^{f) divisée par df-, nous désignerons encore par Y(f) la différence de '}'(/) divisée par df, et ainsi de suite; nous aurons ainsi, en différentiant deux fois de suite l'équation précédente par rapport à r,
