LIVRE II

Cette équation ayant lieu, quels que soient u et r, il en résulte que Y'.f) doit être égal à une constante, quel que soit/, et qu'ainsi -yv/) — o; or on a, par ce qui précède,

d'où l'on tire on a donc

^'[f)=fo,{f],

ce qui donne, en intégrant, <p(/) = jr^-, et par conséquent la loi de la nature.

13. Reprenons l'équation (C) du n° 11. Si l'on pouvait intégrer généralement cette équation, on aurait une expression de V qui renfermerait deux fonctions arbitraires, que l'on déterminerait en cherchant l'attraction du sphéroïde sur un point situé dans une position qui facilite cette recherche, et en comparant cette attraction à son expression générale. Mais l'intégration de l'équation (C) n'est possible que dans quelques cas particuliers, tels que celui où le sphéroïde attirant est une sphère, ce qui réduit cette équation aux différences ordinaires; elle est encore possible dans le cas où ce sphéroïde est un cylindre dont la base est une courbe rentrante, et dont la longueur est infinie : on verra, dans le troisième Livre, que ce cas particulier renferme la théorie des anneaux de Saturne.

Fixons l'origine des r sur l'axe même du cylindre, que nous supposerons d'une longueur infinie de chaque côté de cette origine. En nommant r' la distance du point attiré à l'axe, on aura

H est visible que V ne dépend que de r' et de ci, puisqu'il est le même pour tous les points relativement auxquels ces deux variables sont les mêmes; il ne renferme donc ]j. qu'autant que r' est fonction de cette

OEiivres de L. — \. 21

variable, ce qui donne

'd]j. ~" dr' d[i " y/i — fz2 dr'' l'équation (C) devient ainsi

,â^\ d2v ,av

dr^ dcj- or

d'où l'on tire, en intégrant,

V=i=(^(r'cosnT+ r' \/—i sincr) + ^'('''coscj — r' y — i sincj),

(p(r') et ^j^(r') étant des fonctions arbitraires de r', que l'on pourra déterminer en cherchant l'attraction du cylindre lorsque tr est nul , et lorsqu'il est égal à un angle droit.

Si la base du cylindre est un cercle, V sera évidemment une fonction de r', indépendante de u; l'équation précédente aux différences partielles deviendra ainsi

,,^'V ,dV dr'^ dr'

ce qui donne, en intégrant.

dV H

dr' ^ r'

H étant une constante. Pour la déterminer, nous supposerons r' extrêmement grand par rapport au rayon de la base du cylindre, ce qui permet de considérer le cylindre comme une ligne droite infinie. Soit A cette base, et z la distance d'un point quelconque de l'axe du cylindre au point où cet axe est rencontré par r'; l'action du cylindre, considéré comme concentré sur son axe, sera, parallèlement à r', égale à

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