PREMIERE PARTIE. - LIVRE II
l'intégrale étant prise depuis ^ = — oo jusqu'à z = ce , ce qui réduit cette intégrale à -^-r'^ c'est l'expression de — y-7? lorsque r' est trèsconsidérable. En la comparant à la précédente, on a 11=: 2 A, et l'on voit que , quel que soit r\ l'action du cylindre sur un point extérieur
est —rr
Si le point attiré est au dedans d'une couche cylindrique circulaire, d'une épaisseur constante et d'une longueur infinie, on a encore
— ~ -^ -~-^ et, comme l'attraction est nulle lorsque le point attiré est
sur l'axe même de la couche, on a H — o, et par conséquent un point placé dans l'intérieur de la couche est également attiré de toutes parts.
14. On peut étendre au mouvement d'un corps les équations (A), (B) et (G) du n° 11, et en tirer une équation de condition très-utile, soit pour vérifier les calculs de la théorie, soit pour vérifier la théorie même de la pesanteur universelle. Les équations différentielles (i), (2), (3) du n° 9, qui déterminent le mouvement relatif de m autour de M, peuvent être mises sous cette forme
àQ
àQ
df^
dx
dt'^
" àf'
df' "
' dz
Q étant égal à
m [xx -\-yy
zz')
et il est facile de \oit que l'on a
dx^ ■ dj2 "^ dz-^ ''
si les variables x', y', z\ x", . . . , que Q renferme, sont indépendantes des X, y et z.
Transformons les variables x, y, z en d'autres plus commodes pour les usages astronomiques, r étant le rayon mené du centre de M à celui
de m, nous nommerons v l'angle que la projection de ce rayon sur le plan des x et des j fait avec l'axe des x, et 6 l'inclinaison de r sur le
même plan; on aura
^= /•cos9cos(',
j = rcos5 siiK', z = rsin9.
L'équation E) rapportée à ces nouvelles variables sera, par le n° 11,
o = r2 — -^ + or-
àr cos'-'
d2Q sinO dÇ^ dQ- cos6 ~ôô
Si l'on multiplie la première des équations (i) par cosOcos^', la seconde par cosOsinç', la troisième par sin8, et si, pour abréger, on fait
rdv'i ,^ rdB"^ cos^O —
dt^
dt^
on aura, en les ajoutant.
dr
Pareillement, si l'on multiplie la première des équations [i) par — reosOsint', la seconde par rcosOcos^^, et qu'ensuite on les ajoute, et que l'on suppose
d{r^~ COS2 0
dt
on aura
dt
dQ
Enfin, si l'on multiplie la première des équations (i) par — rsinôcosf', la seconde par — rsinôsinç', qu'on les ajoute à la troisième, multipliée par rcosB, et que l'on fasse
d^d dv^
dv^ . ^ r2-j— sm0cos( dt^
o.rdrdQ ~dF"
on aura
