MÉMOIRE SLR LES DÉVELOPPEMENTS

exemple, f{x) = x-, elle donnera

puis, en prenant a = 2tc,

Nous terminerons en observant que la théorie des intégrales singulières suffit pour déduire la formule (i6) de la formule (9), quoique au premier abord ces deux formules ne paraissent pas d'accord entre elles.

Post-scriptum. — Dans les formules (3) et (4), le signe ^, placé devant la fonction 9(5), indique, conformément aux notations adoptées pour le calcul des résidus des fonctions, la somme de plusieurs résidus de la fonction 9(2), c'est-à-dire, en général, la somme de plusieurs des valeurs du produit £9(2 4- s) correspondant à des valeurs infiniment petites de £, et à des valeurs finies, réelles ou imaginaires de z, qui vérifient l'équation

Les limites placées à droite et à gauche du signe ^ sont les quantités entre lesquelles doivent rester comprises : i'' les parties réelles; 2° les coefficients de \[^^i dans les diverses valeurs de z tirées de l'équation (17). Ajoutons que la démonstration donnée ci-dessus de la convergence de la série (i) suppose évidemment : 1° que l'équation (2) peut être remplacée par l'équation (8), ce qui a effectivement 'lieu quand la fonction /([J.) conserve une valeur finie pour toutes les valeurs finies réelles ou imaginaires de [x; 2° que l'expression (11) ne devient pas indéterminée pour des valeurs infinies de x, ce qui arriverait, par exemple, si l'on prenait /(::) = e^\ Si ces conditions n'étaient pas remplies, la série (i) pourrait devenir divergente. C'est, en particulier, ce qui aurait lieu, si l'on prenait

'' (a — -ixy