SECOND MÉMOIRE
SUR
Mémoires de l'Académie des Sciences, t. VH, p. 4^3; 1827
J'ai montré dans divers Mémoires comment on peut déterminer par le calcul des résidus les constantes arbitraires et les fonctions arbitraires que comportent les intégrales générales des équations linéaires différentielles ou aux différences partielles, et dans l'un de ces Mémoires j'ai indiqué un moyen général de développer une fonction de x en une série d'exponentielles dont les exposants soient respectivement proportionnels aux diverses racines d'une équation transcendante. Cette dernière question, qui se présente sans ces'se dans la Physique mathématique, avait été résolue dans des cas particuliers, à l'aide d'intégrations par parties. J'ai fait voir comment on pouvait étendre à un plus grand nombre de cas la méthode déjà employée par les géomètres et en même temps j'ai déduit du calcul des résidus une solution générale et rigoureuse de la même question, dans un Mémoire publié en février 1827. Cette solution exige seulement : i° que la fonction qui forme le premier membre de l'équation transcendante puisse se partager en deux parties, dont le rapport soit nul pour des valeurs infinies
(1) Lu à l'Académie des Sciences, le 17 septembre 1827. Un premier Mémoire sur le ■ même sujet a été imprimé séparément et publié en février 1827. {OEuvres de Cauc/ij, S. Il, T. XV.)
positives de la variable r comprise dans cette fonction, et infini pour des valeurs infinies négatives de la même variable; 2" que le rapport de la première ou de la seconde partie à la fonction totale, étant multiplié par une certaine exponentielle, il en résulte un produit qui s'évanouisse pour des valeurs infinies mais réelles de r, et dont le quotient par r s'évanouisse encore pour des valeurs infinies réelles ou imaginaires de la même variable. Comme ces conditions, lorsqu'il est possible d'y satisfaire, peuvent être remplies d'une infinité de manières, la question admet une infinité de solutions diverses; ce qu'il était facile de prévoir, attendu qu'il'existe une multitude de séries d'exponentielles dont la somme est égale à zéro. Au reste, on peut encore résoudre la question que je viens de rappeler, à l'aide de plusieurs autres méthodes. L'une de ces méthodes est celle que M. Brisson vient d'exposer dans un Mémoire, présenté le 27 août dernier, mais auquel il travaillait depuis longtemps. Elle consiste à généraliser la formule qui fournit l'intégrale d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants et de l'ordre n, entre x et j, quand on connaît les valeurs de r, y\ y", ..., y-" correspondant à une valeur particulière iCo de la variable .r. Cette formule, qui se déduit aisément de l'analvse employée par Lagrange dans les Mémoires de V Académie de Berlin pour l'année 1773, peut subir diverses métamorphoses, après lesquelles elle devient, quand on suppose ^ = ce, éminemment propre au développement d'une fonction en série d'exponentielles. Alors, en effet, la variable principale y se trouve représentée par une semblable série; et, si la généralisation de la formule dont il s'agit est légitime, y doit se réduire à une fonction qui reçoive, avec ses dérivées successives, les valeurs particulières données pour x =^x^. Toutefois, il importe d'observer : 1° qu'il existe une infinité de fonctions propres à remplir cette dernière condition; 2° que la formule, établie pour des valeurs finies de x, peut devenir inexacte dans le passage du tini à l'infini. Ces difficultés disparaissent devant une quatrième méthode qui a toute la rigueur des deux premières et s'applique non seulement au développement des fonctions en exponentielles, mais encore à une
multitude de questions du même genre. Cette dernière méthode, qui se déduit immédiatement du calcul des résidus, est fondée sur le principe dont j'ai déjà fait usage pour déterminer les constantes arbitraires comprises dans les intégrales des équations différentielles. Pour la faire mieux saisir je commencerai par résoudre la question suivante : .
Problème I. — Soient
F(r) et ï(^x, y, . . ., r) deux fonctions de r et de x, y, ... qui restent
finies l'une et l'autre pour des valeurs finies de r; p une constante déterminée ; r^, r.2, . . . les racines de l'équation algébrique ou transcendante
On propose de développer la fonction f(^,jK, ..., p) en une série de la forme
(2) f(^,j, .,.,p)= R,f(j?,j, ...,r,)+R2f(.a?,J, •..,^2)+.--, R,, Ko, ... étant des fonctions semblables des racines r^, r.^, . . ..
Solution. — Pour résoudre le problème qu'on vient d'énoncer il suffira évidemment de trouver une fonction o(r) qui demeure finie elle-même pour des valeurs finies de r, et qui soit propre à vérifier l'équation
Or, on a identiquement
et, par suite, l'équation (3) pourra être réduite à
ou, ce qui revient au même, à
Or, si l'on pose
(7) (r-p)9(r)-F(r) = 7jr), on en tirera
(8) o{r) = li!±±y^,
et, pour que la fonction ç(/-) reste finie tant que la variable r l'est elle-même, il faudra que l'on ait
(9) F(p)+X(p)=o et, par suite,
OU, ce qui revient au même,
^(r) désignant une fonction qui ne devienne pas infinie pour des valeurs finies de la variable. Si l'on adopte la valeur précédente de r, la formule (6) deviendra
(II) pF(p)-(;—p)^(0
et, si l'on suppose, en particulier, i(r) = o,
elle se trouvera réduite à
(i3) F(o) r-Ii:^iZi Liii^ = o.
Or, cette dernière se trouvera vérifiée, pour les systèmes de valeurs des variables ce, y, ... compris entre certaines limites, si entre ces limites le rapport
s'évanouit pour des valeurs infinies, positives ou négatives, de l'une des variables r, s, et si le quotient de ce rapport par r -h s \' — i s'évanouit lui-même pour des valeurs infinies et réelles de r et de s. Donc, alors l'équation (3) sera vérifiée par la valeur de z(r) que détermine la formule (12), et l'on aura, en supposant les variables ,x,y, . . . renfermées entre les limites dont il s'agit,
r. ^ pF(r)-F(p) f(a-, /,..., /•)
Corollaire /. — Si l'on pose, en parXiculier,
la formule (i5) donnera
^''^ ^^^-i— 7— ^-((FÎTôTÎ-
Cette dernière équation suppose que le rapport
s'évanouit pour des valeurs infinies et réelles, positives ou négatives, de l'une des variables r, s, et que le quotient du même rapport par r 4- s\^^i s'évanouit pour des valeurs infinies et réelles de r et de s. La première condition sera remplie, en particulier, si le rapport
s'évanouit pour des valeurs infinies et réelles, positives ou négatives, de la variable r.
Corollaire II. — L'équation (i5) peut ètro présentée sous différentes formes, entre lesquelles on doit distinguer la suivante :
En posant f(^, r, ...,/) = e'"-^, on aura
Je passe maintenant à la solution d'un second problème dont voici l'énoncé : '
Problèmk II. — Les mêmes choses étant posées que dans le problème /, et a = f{x^ y, ^, . • •) désignant une fonction quelconque des rariahles X, y, z, . . .,on propose de développer cette fonction en une série semblable à celle que renferme l'équation (2).
Solution. — Pour ramener ce problème au précédent il suffît de transformer la fonction u en une intégrale de la forme
(21) u=^oip)ï{a;,Y, .. .,p),
ou
(22) a= 9(p)f(^-,y, ,p)dp.
En effet, après avoir effectué cette transformation, on tirera immédiatement, des formules (19) et (21) ou (22),
y|?(p) f ¥'[r^l{p — r)]dl
(23) u = lH.,y,...,r)— " ((K(.))) ' '
ou bien
f I o{p)F'[r + l(p — r)]dldp
OEtwres de C. — S. 1, t. II.
Concevons, on particulier, qu'il s'agisse de transformer la fonction
en une série de la forme
/-,,/-,, ... étant les racines de F(r) = o. On observera d'abord qu'on a généralement
(25) f{x) = ^j I e«(^-i^V~>/(p.),/a^/ji.
De plus, on tirera de l'équation (20)
On aura donc, par suite,
f f f e'='l>v'~'V'[r-\-l(as/—~i-r)\f{ix)d}.dadiJ.
ou, ce qui revient au même (' J,
(28) /(,r):rr /e'--^*!^ ;
le signe ^ se rapportant à la lettre /,• le signe a à la lettre l, et la variable ^ devant être réduite à zéro après les opérations qu'indique le sifijne a.
(1) Je suppose ici, comme je l'ai déjà laiL dans les Exercices de Mathématiques, que l'on désigne par la notation
l'intégrale double
^J f e^^l-p^^f{^x)o(a)d'xdix.
Exemple. — Si l'on pose (29) F(r)=rre«' — ,,
on trouvera
F'(/) z^ae""', F'[/- + >.(« \/^ — /•)] = ae«'" <»-'-) e«'*.'^.
Et comme on a d'ailleurs en posant H = o, après les opérations indiquées par a,
la formule (28) donnera
puis, en faisant pour abréger a'k = a,
e"'- / e>-'''-V-'''f{ix)dii.
(3i) /•(^)=r — LU ,
ce qui est exact.
D'après ce qu'on a dit, la formule (28) suppose que le rapport
s'évanouit pour des valeurs infinies et réelles, positives ou négatives, de r, ou du moins que le rapport
s'évanouit pour des valeurs infinies et réelles, positives ou négatives, de l'une des variables /% s. La première condition sera remplie, si l'on pose F(/) = e'"' — i , quand la valeur numérique de x sera inférieure à celle de a. Donc la formule (3i) suppose .r=^< a^
Concevons encore que l'on propose de transformer la fonction /(^) en une série de la forme
H, co5/,a; + R., cos/'îJ: -H. . .,
28 APPLIGVnOX Di] CALCUL DES RÉSIDUS, ETC.
r,, r., . . . étant les racines de
On observera d'abord qu'on a, pour des valeurs positives de x, De plus, la formule (19) donnera
cosrx I F'[/- + /.(a — /■)] (i>.
(33) cosa^ = l ((F(r)))
On aura donc, par suite,
cosT-rT / / cos y-iJ-V [r -h l{y. — r)]f{iJ.)dldor. dix
MÉMOIUE
Mémoires de V Acadcmic des Sciences, t. VIII, p. 97; iHag.
On peut, à l'aide d'une formule donnée par Lagrange et de plusieurs autres formules du même genre, développer en séries les racines des équations, ou les fonctions de ces racines. C'est ainsi que, dans l'Astronomie, on développe le rayon vecteur de l'orbite d'une planète et l'anomalie vraie en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de l'excentricité. Mais, comme les séries de ce genre ne peuvent être utiles que dans le cas où elles sont convergentes, il importait beaucoup de fixer les conditions de leur convergence. On n'y était parvenu jusqu'à présent que dans quelques cas particuliers, par exemple dans le cas où il s'agit de développer le rayon vecteur ou l'anomalie vraie d'une orbite planétaire. Ce cas est celui que M. Laplace a traité par une analyse fort délicate dans deux Mémoires, dont l'un a été inséré dans la Connaissance des Temps de 1828, et dont l'autre vient d'être publié tout nouvellement. Il a supposé, pour plus de simplicité, que l'anomalie moyenne était réduite à un angle droit, et alors il a trouvé que la valeur de l'excentricité, pour laquelle chaque série cessait d'être convergente, dépendait de la résolution d'une équatiion transcendante dans laquelle entrait le nombre e. Frappé d'un résultat si digne de
(•) Lu à l'Académie royale des Sciences, le 3 seplembre iS'iy.
