UNIVERSITE I

remarque, je me suis demandé s'il ne serait pas possible de fixer généralement les conditions de convergence de la série de Lagrange, et des formules du même genre que j'avais obtenues à l'aide du calcul des résidus. Mes recherches sur cet objet m'ont conduit à reconnaître que ces conditions peuvent toujours être déduites de la résolution d'une équation transcendante qui renferme, comme cas particulier, l'équation trouvée par M. Laplace. Mais, pour arriver à ce dernier résultat, j'ai été obligé de recourir à une méthode très différente de celle qui a été employée, dans la théorie du mouvement elliptique, par l'illustre géomètre que je viens de citer. Pour donner une idée de cette méthode il est nécessaire d'entrer ici dans quelques détails.

Je considère d'abord une intégrale définie dans laquelle la fonction sous le signe / est imaginaire et composée de deux facteurs, dont le premier est une puissance fort élevée et du degré a, par exemple m", IL désignant une fonction réelle ou imaginaire de la variable x par rapport à laquelle on intègre. Le second facteur v peut être pareillement une fonction réelle ou imaginaire. Gela posé, je prouve que, dans le cas où le plus grand des modules de u correspond à une valeur X

de X, qui fait évanouir la dérivée -7-1 l'intégrale proposée est le produit de la valeur de u'\ correspondant à ^ = X, par la racine carrée du quotient qu'on obtient en divisant la circonférence décrite avec le rayon i par le nombre n et par une quantité très peu différente de la

dérivée du second ordre de 1 ( - ) (')• Lorsque l'intégrale renferme une

certaine constante reta néanmoins une valeur indépendante de r, on peut disposer de cette constante de manière que le plus grand module

de u réponde à une valeur nulle de -r-» et, par conséquent, de manière

à obtenir la valeur très approchée de l'intégrale que l'on considère. Pour y parvenir il suffit de chercher les valeurs de /• et de x qui vérifient simultanément les deux équations réelles comprises dans

(') Dans le cas [)articiilier où les fonctions u, v se réduisent à des quantités réelles, le résultat que nous indiquons ici s'accorde avec une formule donnée par M. Laplace.

MKMOIHE SUK DIVERS POIMS D'ANALYSE. 31

l'équation imaiiinaire

Parmi ces valeurs se trouvera nécessairement la valeur demandée de la constante /•. Donc, cette valeur sera une racine de l'équation transcendante que fournira l'élimination de x entre les équations réelles dont je viens de parler.

Je recherche ensuite les valeurs approchées des différentielles dont l'ordre est très considérable, quand la fonction sous le signe / renferme des fonctions élevées à de très hautes puissances. J'y parviens en transformant ces différentielles en intégrales définies qui renferment un<' constante arbitraire dont leurs valeurs sont indépendantes. La détermination approximative des différentielles dont il s'agit dépend encore de la résolution d'une équation transcendante qui fixe la valeur de la constante arbitraire.

En partant de ce principe, on détermine aisément les conditions de convergence de la série de Lagrange et des autres séries du même genre, et l'on établit, par exemple, relativement à la série de Lagrange, une règle de convergence que je vais indiquer.

Z étant une fonction quelconque de la variable z, on peut attribner à cette variable une infinité de valeurs imaginaires qui aient le même module /•, et parmi ces valeurs il y en aura une pour laquelle le module de la fonction Z deviendra un maximum maximorum. Soit R le module maximum maximorum de Z, correspondant au module r de la variable z. R variera avec /■, et l'on pourra choisir r de manière que R soit une valeur de Z correspondant à une valeur de r qui vérifie

l'équation -j^ = o. Dans ce cas, R deviendra ce que nous nommerons

\% module principal Aq la fonction Z. Cela posé, concevons que, par la formule de Lagrange, on développe en série la racine z de l'équation

ou une tondion quelconque de cette racine. On prouvera, par les prin-

cipes ci-dossus établis, que la série obtenue sera convergente ou divergente suivant que le module principal de la fonction

sera inférieur ou supérieur à l'unité.

Au Mémoire dont je viens de donner un extrait j'en ai joint un second, dans lequel je détermine le reste de la série de Lagrange, en l'exprimant par une intégrale définie.

MÉMOIRE

Mémoires de l'Jcadêmie des Sciences, t. VIII, p. loi; 1829.

§ 1*^'". — Détermination approximative de l'intégrale

(i) ^— / i^"vdx,

IL et V désignant deux fonctions réelles ou imaginaires de la variable x, et n un nombre très considérable.

Soient X une valeur particulière de ic; U, V, U', V, U", V", ... les valeurs correspondantes de u, ç, u', v' , u" , v" , ... et cherchons la partie de l'intégrale S comprise entre les limites très voisines

(2) xr=LX -, x-=z\.-\ -•

On aura, entre ces limites,

puis, en posant

OF.twres rfe 6\ — S. I, t. II.

3i MÉMOIRE SUR DIVERS POINTS D'ANALYSE,

on trouvera

tJ' t U'^— CU" t'-

On aura donc à très peu près, lorsque n sera très grand,

et, par suite,

ou, ce qui revient au même.

On en conclura, à très peu près.

(lo) / u"çda^=-j= U"e' ^'"-^■•^" e '^''

c désignant pour abréger la constante -^rrzzvv^'^^'

Si, pour plus de commodité, on posait (rO //=:e% el U = e^^ ou W=;|(U),

on trouverait sensiblement

ri' fV2 L. rifT"

AV + AV — + W' — -!-■•• (l3) , ■ W = e V'^ 2« ^

(i5) / u"vdœ= / e-' "'^' ' \ dt. '

L'équation (i5) suppose que -^ est très petit, ce qui peut avoir lieu,

même lorsque a prend une valeur considérable, par exemple lorsqu'on fait a—\Jn, a = \Jn, — Alors on a sensiblement, pourvu que la partie réelle de W" soit négative,

Par suite, si, la partie réelle de W" étant négative, la condition

se trouve remplie, l'équation (i5) donnera sensiblement

Si W n'était pas nul, il ne serait pas possible de remplacer l'intégrale

par

r e-^'^^-^''^ dt= e-' rit.

Car on aurait évidemment

(19) / e'\^ ^"^ ' dt=z e' dt.

et, a étant très petit par rapport à \/n, les limites de l'intégrale comprise dans le second membre de la formule (19) seraient des infinis de même signe. Donc cette intégrale vserait sensiblement nulle si la partie réelle de W" était négative. Au contraire, si la partie réelle de W" était positive, l'intégrale comprise dans le second membre de la formule (19) deviendrait infinie.

3G MÉMOIHE SUR DIVEHS POINTS l)'ANx\LYSE.

Soient maintenant

(20) w—p^qsf^^,

et P, P', P", Q, Q', Q" ce que deviennent p, p' , p", q, q' , q" quand on pose a; = X. On aura

(21) M = e"'=: e/'(cos^ + \/'— I sin^). Donc eP sera le module de u. De plus, on trouvera

(22) W = P-f-Qv/=^, W'=P'+Q'v/~;, W"=:P"4-Q"v/"^. Donc, si W est nul, on aura

et, si la partie réelle de W" est négative, on aura

Cela posé, soit •

(25) p" = B% Ô = arclangj^,

B étant une quantité positive; l'équation (18) donnera

/ //." V dx ^=. — 4 /

'^^ B \/« V i + tang9v~~i

[ = — cos y V27r( cos V — isin-l>

OU, ce qui revient au même.

(27) / u'U'dx=irrr ^z^^cos^ôe

Il est essentiel d'observer que, en vertu des conditions (23) et (24),

MEMOIHE SLR DIVEHS POINTS i)'ANALYSE. 37

P sera nécessairement un maximum de p, et e''= U un maximum de

Lorsque P est non seulement un maximum de/>, mais encore la plus grande des valeurs de/?, correspondant à des valeurs de x comprises entre les limites xr=x^, 37 = 07,, c'est-à-dire, en d'autres termes, lorsque P est le maximum maximorum de /^, alors il est facile de reconnaître que l'on a

= / «'* V clx izr ( I zt £ ) / u" i> da.\

£ désignant un nombre très petit et qui s'évanouisse avec -• Donc, par suite, on trouvera

(29) S=(l±c)-rj ^cos^Ôe' ^'

Si l'on fait, pour plus de commodité,

(30) ' V-=A(cos0 + v/^sin0),

on aura

(01) S=:(i±£)— j^ — cos-9e ^■'

Si l'intégrale S a une valeur réelle, on aura nécessairement

(32) b = (l±£)7-, ^— — cos^9.

On doit toutefois excepter le cas où deux valeurs de x correspondraient au maximum maximorum de p. Admettons cette dernière hypothèse, et supposons que, dans le passage de la première valeur de 07 à la seconde. A, B, P ne varient pas, et que Q, 0, 0 changent seulement de signe. L'intégrale S sera évidemment déterminée par une

équation de la forme

que l'on pourra réduire à la forme

(34) i5 = (i±£)-jT p — cos-9cos( «Q H- 0 )•

Si l'on fait, pour abréger,

R sera le module maximum maximorum de la fonction u, et les formules (32), (34) donneront

(36) S^{i±E)^^^-p^cos'9,

(37) S r= (i ±: £)— ^— cos^9cos nQ + 0 •

Il est bon d'observer que la série, dans laquelle S représenterait le terme général correspondant à l'indice n, sera convergente quand on aura R << i, et divergente quand on aura R > i .

xVjoutons que, si l'intégrale S rencontre une constante arbitraire r, on pourra disposer de cette constante de manière que la valeur x = X, correspondant au module maximum maximorum de la fonction u, vérifie non seulement la première des formules (23), mais encore la seconde, c'est-à-dire l'équation de condition