TT

Cette valeur de S„ coïncidera avec l'intégrale (i) du paragraphe F^ si l'on pose x -^ s.

ns{L -\~ re"^^-^)

et la série qui aura pour terme général S« sera convergente, si le module maximum maximorum de la fonction

est plus petit que l'unité, quand la constante r est choisie de manière que la valeur de s correspondant à ce module vérifie l'équation imaginaire w' = o, ou

Soit R ce module et posons, pour plus de commodité,

Pour obtenir la quantité R il suffira de chercher les valeurs réelles ou imaginaires de x qui rendent nulle la fonction dérivée 'V(^), c'està-dire les racines de l'équation

Soit X = ce'^ une* de ces racines. Le module correspondant de 'l{x), savoir

(m) 4;(pW-0,

sera précisément la quantité R, si ce module est la valeur maximum maximorum de la fonction -^(pe^v/^). Or, il y aura, en général, une racine de l'équation (lo) qui vérifiera la condition précédente. Car, pour chaque valeur particulière de la constante r, la fonction

aura un module maximum maximorum, correspondant à une valeur de s qui vérifiera l'équation

et, si l'on attribue successivement à r une infinité de valeurs distinctes, la quantité q' recevra une infinité de valeurs correspondantes, parmi lesquelles on en trouvera généralement une égale à zéro.

La quantité R dont il est ici question, et qui représente toujours l'un des modules de '^(^) correspondant à une racine de l'équation

est ce que nous nommerons le module principal de la fonction ■\'{x). Cela posé, on pourra énoncer la proposition suivante :

MÉMOIPil-: SLR J)lVEi;S POINTS D'ANALYSE. kl

Théorème I. — La série qui a pour terme général *■

, r/''J9(o[^(ori

i .2 .3 .... /Il dt'^

m désignant un très grand nombre qui croît avec n de manière que — = u, conserve une valeur finie, sera convergente ou divergente, suivant que le module principal de la fonction

('-) — ^ÎT-

sera inférieur ou supérieur à l'unité.

En posant m = n — i , on trouvera

OU à très peu près, pour de très grandes valeurs de n.

Par suite, on déduira immédiatement du théorème I cette autre proposition :

Théorème U. — La série qui a pour terme général