n — \) do

sera convergente ou divergente, suivant que le module principal de la fonction

(i5) ^ii^)

sera infèiieur ou supérieur à l'unité.

Il est bon d'observer q^ue l'expression (i4). divisée par n, deviendra

OEtH'rcs rie C. — S. l, i.U. . 6

le terme général de la série trouvée par Lagrange, et qui représente la valeur de / o(z)dz, z étant une racine de l'équation

Exemple I. — Considérons l'équation

(17) z = t -h cs'\nz.

On aura, dans ce cas,

ny{z) =z csinz.

11 reste à trouver le module principal de la fonction

sin ( ^ -I- ^ ) si n ( ^ -+- re^y^ )

re^y

Or ce module répond nécessairement à une racine de l'équation

dx

(21) rfl sin(^ + :r) — û? I (^) = 0, que l'on peut réduire à

(22) tang(^-f- .37) =:^.

Cela posé, soit d'abord ^= -• L'équation (22) deviendra — cot.cc = a?, ou

(28) tan^.^ =

On satisfait à cette dernière en prenant

(24) ^ = re^/-'/Y i, - — --> s—--

De plus, le module de la fonction (19) est généralement

Donc il se réduit, pour ; = -, à

(26) y/e2'-Mn.s-^e--rsin.^ 2 COS ( 2 T C0S5 ).

Or, la valeur maximum maximorum de cette dernière quantité est évidemment celle qui répond diS =-, savoir

Donc la quantité (27), dans laquelle on doit supposer r déterminé par la formule

(28) tfZl^^L,

est le module principal de la fonction

sin ( — \- x\

(or)j V^ J COSX

Donc la racine z de l'équation