c sin
et les fonctions de cette même racine seront développables en sériçs convergentes par la formule de Lagrange, lorsqu'on aura
(^U c <i, ou c<
D'ailleurs, on tire de l'équation (8)
kï MÉMOIRE SUli DIVERS POINTS D'ANALYSE.
Donc, les séries en question seront convergentes, quand on aura
Il reste à calculer approximativement dans la même hypothèse le terme général d'une semblable série, par exemple de celle qui fournira le développement de ^(::-). Or ce terme sera
pourvu que l'on fasse t = - après les différentiations, ou, ce qui revient au même.
re"f~A
c cos\re''>~-^)~\ "
ds.
Pour comparer cette dernière intégrale à l'intégrale (i) du paragraphe I"", il faudra faire
cos(/'e'"V-i)
\ nc=y^4-r/v/^ = l[cos(re'''-i)| — [!(/•) ^s^—j] + l(c). Cela posé, on trouvera
^—, ^^^~,\re^-. lang(re^/-i) + 1] ^ <L±^^tzl} ,
iv"=p"^q'\'-i
re^^^ lang(/-e*v'^)
cos^(/-e'''v-*)
Par suite, l'équation w' = o donnera
( 39 ) re^y'-^ tang ( re^y^ ) + i = o
et se réduira ainsi à la formule (23). De plus, r et ^ étant déterminés par la formule (39), ou, ce qui revient au même, par les équations
la seconde des formules (38) donnera
(40 W"=P"-hQ"v/^ = -
On aura donc (42) B' = —P"=r\ Q" = o, 9 = o, B = r
On trouvera de même
cos(rs^^ — i) e''-he-''
rV-i
et, par suite,
sJJ^
Si l'on fait d'ailleurs
(45) \ ■- r >/^ <P' f'^^ 4-/-V'^) = A(cos0 + v/^sin0),
la formule (3y) du paragraphe I"" donnera
(46 S„=: c ^4^cos 0
Soit, en particulier,
(47) ^{z) = i — ccosz.
On trouvera
^'{z) = cs\nz,
M :=zcr\l — I COS(^/'\/ — \) =:
cr
A := cr
-=■ COS(« — l) -,
sjn 2
S„ ( I ± £ ) 2r\/ir.
cos(/i — i)
/— r\ I- / cos(/i-0--
y/'iTT n\n\\jr- — i / 2
46 MÉMOIRE SUR DIVERS POINTS D'AxNALYSE.
La formule (5i) s'accorde avec celle qu'a donnée M. Laplace. Revenons au cas où / a une valeur quelconque. Alors, en faisant, pour abréger.
on aura
sin{t -h .x)
I Cl,T I
=^p -^ f]\— I — l(c) + lsin(^H-j?) — l(:r), -— =:x\J— i
dx ds
dw , , I
sin(i-f-j;) x\ ds
I I dx
t|ing(^4-j7) siir''(^ -H .r )
ta
dx
KVr^t^X) 'J'
tang(^4-.r) sin*(^ + j?)
Cela posé, l'équation w' — q> donnera lang(^ -\- x)
et l'on en tirera
tang(^ -\- x)^x.
%\^{t -^- x) cos(^ H- x)
sin^(^H-^) cos-(<-h^')
Donc, le module principal de l'expression (53) correspondra nécessairement à une racine de l'équation (55) qui rendra négative la partie réelle de x- . Il est clair que cette racine ne peut être réelle. Car, dans ce cas, x^ serait réelle et positive. Donc, il faut exclure toutes les racines réelles de l'équation (55), et même les racines imaginaires dans lesquelles la partie réelle surpasserait (abstraction faite du signe) le coefficient de y^— i. Car, si l'on pose
a 4- ê sj — I;
MÉMOIRE SUR DIVERS POINTS D'ANALYSE. kl
on aura
(5g) j:- = a*— ê*-t- aaêy/^ ;
et la partie réelle de x'^ ne pourra être négative, si l'on a a''^>^-. Ajoutons que la valeur a; = a -h 6^/— i, substituée dans l'équation (55), donnera
• [ , sin(^4-a + êV'— i) 2sin(/-i-aH- ê \/ — i) cos(^ -p- ac — ê v'' — ' )
1 cos(^ + a -1- ê y/ — i) 2 cos ( / + a + S y/ — i ) cos (t -^ oc — S \/— i) (6o) / . . , -
( cos(2< + 2a) +}(e-°+e^-^)
sin(2<4- 2a) g |(g2g g-26)
'^^ cos(2^ + 2a) + .!(e-°+e--^)' ~ cos(2^ 4- 2a) 4- ^ (e^^-i- g-^^)
Donc, par suite, si a et ^ diffèrent de zéro, l'on aura
^ ^ sin(2^H-2a) e-° — e-^^
Or, l'équation (62) ne peut subsister, ni pour / = o, ni pour t = -, ou 2/ = 71, puisque alors le premie;* membre se réduit à
-4- £l!lAf dont la valeur numérique est inférieure à l'unité. Donc, dans 2a *
l'un et l'autre cas, il faut supposer a = o; ce qui réduit la seconde des équations (Gi), pour / = o, à
(63) ê=^ i- = -i e ou ê=:o,
et, pour / = -, à
(eê e-ê)2 e^—e-
La formule (64) s'accorde avec la seconde des équations (4o). Quant au cas où l'on suppose / = o, il donne à la fois a = o, ^ = o, et, par conséquent, x — o. Donc alors le module principal de l'exprès-
sion (53) correspond à a: = o et se réduit à
Donc, dans le même cas, la série de Lagrange sera convergente, si l'on a
Exemple II. — Considérons l'équation
