OF THE

UNIVER31TY

MÉMOIRE SUK DIVERS POINTS D'ANALYSK.

as-

Par suite, l'équation w' = o donnera

{t^xf—i

x'=i t-— i = — sin-5,

et l'on en conclura, en plaçant le signe h- (levant sinO v — i.

3^--f- r — ^- 1 — l'- — X- — 2tx

sinô

sinôfcosô — V''— I sin^)

y/— I cos0 + v^^sini

(77) P"=— sin^ô, B = siii6, Q"=— sin9cos6/, -^^ = cot0 = tang( ^ — 9 ],

sinô v~ I R = cc, Q = 9.

Donc, le module principal de la fonction (71) sera R = a, et la série (()9) sera toujours convergente pour a<i. On peut en dire autant de toute série qui représentera le développement de

$ étant une fonction quelconque, et z étant déterminée par la formule (68).

Si l'on voulait développer, en série ordonnée suivant les puissances de a, le radical

(80) (i — 2acos5 H- a-) S •

OEf/c/fw/c f. — S. 1, t. 11. 7

on observerait que ce radical est équivalent à

:; désignant la racine de l'équation (67) ou

(82) z — cosS :(:;'-— i) = o,

qui se développe par la formule de Lagrange. On aurait par suite, en observant que la dérivée du premier membre de l'équation (82) est précisément i — ccz,

(1 — 2a cos9 + a-) ^ = X

ou, ce qui revient au même,

(84) —^— =/ — L + « r ''-' + ^ r ^''-^yi-ocz <^((s^)) 2^{{{z~ty')) 2-'^{{{z — ty))

ou bien encore

a d(t'—i) Kl) d'-{t-—iy-

1 dt 1.2 dt'-

I 1.2.3 n dt"^

Ainsi, l'on trouvera, en posant cosO = t,

I 0. dt \ .1 dt

2 / rf« ( ^2 I )'»

MEM(31RE SUR DIVERS POINTS D'ANALYSE. 6i

Or, cette dernière série sera convergente, lorsque le module principal de la fonction

c'est-à-dire la quantité a, sera inférieur à l'unité. Soit maintenant