O /l Clt
le terme général de la série (86). On aura
ds.
En comparant cette valeur de S„ à l'intégrale (i) du paragraphe P'", on trouvera
On aura, par suite,
R = OC, R=:sin9, arctang^ = - A = — , 0 — 0, Q = 0,
et Ton tirera de la formule (37) du paragraphe P'", après y avoir remplacé 0 par 0,
(91) S„=(i±:£)— ^" ^o^\(n+l\e~~Ti\
Ce résultat s'accorde avec celui qu'a obtenu M. Laplace. (Fo/r aussi une Note de M. Plana, insérée dans le quatorzième Volume de la Correspondance astronomique de M. le baron de Zach.)
Ch(3rchons généralement la valeur de l'intégrale
(i) S„=-^ f 9(rW-')
^(re'v'^^y
j.gSy
ds
di"
i devant être supposé nul après les différentiations. On déterminera la valeur de a; à laquelle correspond le module principal de la fonction
fait
Soit X = co cette valeur qui pourra être réelle ou imaginaire. Si l'on
et, par conséquent,
on trouvera
P = Cp(^), (V=l[cl/(J7)] — 1(JP),
da; I
ds
dw ~d^
dx
u>(^) X ] ds \'h{x) J
ds'- ~^ \'i^{x) '^ ^{x)
\x''Y{x) x'h'ix)
(x) x'Yix)
dx ~ds
^{x) -J^ix) l ^{x) J )
dw
Donc, la valeur w de x vérifiera l'équation -j- =: o, ou
ds
d;' co)
et la valeur correspondante de -^ =y?"H- q" \l — i sera {voir le § I*"")
Quant à la valeur de elle sera
(8) Enfin, on aura
(9) V = çp(w).
Cela posé, le second membre de la formule (i8) du paragraphe I* deviendra
Par suite, si le module principal de la fonction
est réel et correspond à une seule valeur de x, on aura, pour de grandes valeurs de n.
:co)j
£ désignant un nombre très petit. Mais, si le module principal de '^
correspond à deux valeurs imaginaires et conjuguées de la variable a;, alors, en posant
on aura (i3)
Exemple. — Soient
on trouvera,
(p(a:) = i, <]^{x)= — ^ a, ■t — co?,9;
(i5) w=r±sin9\/— I, ^{^)= ^" ' ^^' — ^cc, <i;"(w) = a.
Cela posé, si l'on prend (16) co = sinô ^Z — I,
on aura
(cosg + \/^ sin0)^— I — 2sin-9 + 2sin9cos9v^^
d<(&)) cos(
cos
sin I
a(cos0 + y/ — I sin 6), a'» (cos «9 -h v'^ — 1 sin/iô),
COS ( T + V — ' sin -y
(sinô)"^
et, par suite,
(17) a + ^,sh^i —
(sinô)
^[cos(«0+^-^)+v/-'sin(.ô + ^-|)]:
i2= j-cosf/iÔH — ^
Donc, la formule (i3) donnera
a" cosl /i9 M 7
\/-2 7r« sin 6*
ce que l'on savait déjà.
Supposons maintenant qu'il s'agisse de calculer
dt"-^
On aura évidemment, pourvu que l'on pose après les différentiations i = o.
ai"
Donc, pour déduire la valeur de S„ des formules (12) et (i3), il suffira de prendre
(22) o{œ) = x-iî^'{t-{- se), i|;(x) =c7(/ + ,37).
On aura donc
la valeur de (2 étant donnée par l'équation
' (24) &)0'(f-hw)
v^jit
Si le module principal de la fonction — ^^— — — correspondait à une valeur unique de x, on aurait simplement
4 a3<I>'(^4-oj)
gt(^
w- CJ" ( t
+-co)J
Dans le cas particulier où l'on suppose
(26) $'(0 = ^(0, l'équation (24) se réduit à
,, , ,r5j(^4-a)) 1"+» r 7ïT(< + a)) Y r^ n I
(27) coM -^ '-\ \—rèirrr-—-A =^ + ^iV/— i-
Exemple. — Appliquons les formules (23) et (27) au cas où l'on a
(28) , 7ît(0 =csiiif.
Dans ce cas, on tire de la formule (6), en y remplaçant '\'(x) par m(t -+- x),
f.) COs(^+ ',)) (2Q) : 7^ r-=i'
On trouve, de plus,
-2 . /GJ(^ -\- (xi) I
Le second membre de la formule (3i) devant avoir une partie réelle positive, la valeur de co, tirée de l'équation (2()j, doit nécessairement être imaginaire. Cela posé, la formule (27) donnera
Si l'on fait, en particulier, t = -, on vérifiera l'équation (29) en prenant
(33) GJ = /-y/^I, ^- L--:=,
e' -+■ e^' r et l'on tirera de la formule (32)
>'■ L fi> -l'\ " + 1
/■( cos Tî — y/ — I SI 11 7: .
Donc, par suite.
(35) i^ = rlc -) cos 7t;
et la formule (23) donnera
(35) ^n=- — ( c I cos
ce que l'on savait déjà.
Post-Scriptum. — On peut aisément calculer à l'aide des formules précédentes la valeur approchée de la différence finie A"'/', lorsque m et n sont des nombres entiers, et que, les valeurs de m, n, s étant très considérables, les deux rapports — = a, - = ç conservent des valeurs finies. En effet, on a identiquement, en posant / = o après les différentiations,
OU, ce qui revient au même,
la valeur de S« étant donnée par l'équation
