MEMOIRE SUH LE DEVELOPPEMENT DE /(C

ou

I — A Ct' ( ^ ) nir I —

— hTn'{z)'i

hr^iz)

o'{z)[z-cr-hm{z)].

Donc

{z —a;)"+^[z — .r—hrs{z)] '

et, par suite, si l'on fait pour abréger

on aura

[i;T(5)]"[^( = )-(s-.r)T^'(c)] yjz)

X — hrs{z)

'-'"=''<=> -/(.)=/ii>-V(^)

X — h CJ(c)'

z — X I ' ' ^s 'X'' ^ ' àz

Concevons maintenant que l'on prenne les résidus des deux membres de l'équation (8) par rapport aux seules valeurs de z

Alors, en ayant égard à la formule

IM

dz

d"'-'\f'{x)[TX3{x)]"'\ dx'"-^

SUIVANT LES PUISSANCES ASCENDANTES DE h, ETC. (il

on trouvera

La série comprise dans le second membre de la formule (lo) est la série de Lagrange. Si l'on nomme r„+^ le reste qui complète cette série prolongée jusqu'au terme qui renferme A", on aura

la valeur de y^z) étant donnée par la formule (7); et, par conséquent,

la valeur de '^{z) étant donnée par l'équation

Pour obtenir, sous forme d'intégrale définie, la valeur de r„, il suffit de remarquer qu'on a généralement

^(--) = ^(-)^V^'(-)+---^7:tS^)^""^"^

[ 1.2.3 (« — l)Jo

du.

Or, si l'on substitue la valeur précédente de 'h{z) dans l'équation (12), en observant que l'on a, pour toutes les valeurs entières et positives de m.