SUIVANT LES PUISSANCES ASCENDANTES DE A, ETC

Si l'on pose /î = 2, on trouvera

J>(^) + ^-^^'(■^)1 =/(-^)-+- y/'(^)GT(^)+..

Ajoutons que la valeur de /•„, donnée par l'équation (i6), peut être présentée sous la forme

{'ri)

'Y^'is),

s désignant une quantité comprise entre les limites x et t- Il est encore essentiel de remarquer que l'on a généralement

I 5T(c) {Z — .v)T35'{z) I /lXxS[z) ~ ll{z X) w' { z)

z — X — hin{z}

■ jc ^ hTn{z)

puis, en nommant

I — hrïs' (z) z — .V — /iuy{z)

les diverses racines de l'équation z — cv — hx;s(z.) = o, et supposant cette équation algébrique,

i-~hrn'{z)

z — x — hTxs{z) z — Ç

z Ln

Cela posé, en ayant égard à l'équation (23), on tirera de la formule (i3)

I — km' {z) — X — hw{z)

et l'on trouvera encore, en ayant égard à la formule (24),

C^ + fz:|+---)]t-(^)]'^-'/(=)

Il v^-c.

6i MÉMOIRE SUR LE DÉVELOPPEMENT DE /(C)

^ in.

Il est facile de calculer directement la somme

dans le cas où, la série

étant convergente, les fonctions /(o^), is(x) sont elles-mêmes développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de x. Pour y parvenir, supposons d'abord /(ce) = .*, vt faisons

(29) X = J7H iij{ir) -i- L V /.i ,

1 1.2 (Ij;

On tirera de l'équation (29) multipliée plusieurs fois de suite par elle-même, en ayant égard à une formule établie dans le premier Volume des Exercices de Mathématiques (p. 62) (' ),

V,, « ''< r „ 1 , ^^ /^^ <^î/«^""'rCT(.r)l-i

n étant un nombre entier quelconque; puis, en supposant

CT ( a: ) = a„ -H «1 j;- -t- a, ^"^ -i- . . .

et ajoutant les équations (29) et (;3o) respectivement multipliées par a,,

(') CKuvres de Cauc/ij, S. 11, T. VI, p. 71, 72.

SUIVANT LES PUISSANCES ASCENDANTES DE h, ETC. 65

«2, «3, . . ., on trouvera

I 1.2 dx

1^ ^ 1.2 dj? 1.2.3 aa:^ h

et, par suite, X sera une racine de l'équation

(i) z — X — /iTn{z)=zo,

puisqu'on aura

(32) \ — X — hTXj{\)=0.

La valeur de X étant déterminée comme on vient de le dire, si l'on suppose maintenant

(33) f{x) = bo-hbiX^biX^^...,

on tirera des formules (29) et (3o) respectivement multipliées par h^, b,, />2, ...

(34) /(X)=y(^) + -/'(j;)GT(^)+ — ^^ — — +••••

Si l'on pose, dans l'équation (10), /(:;) = :;, et si l'on admet que le reste r„ déterminé par la formule (1^2) décroisse indéfiniment

avec -5 on aura

(3d C = ^+-Tn(^ h ^^— j — '-^ +

Si l'on suppose, en particulier,

m étant un nombre quelconque, l'équation (i) deviendra

(36) z — X — liz'"=o,

OF.uvres de C. — S. I, t. II. 0

66 MÉMOIRE SUR LE DÉVELOPPEMENT DE /(C), ETC. et la formule (35) donnera

/ ^ h A* cl.jc-"' II' d'-x^'"

\ I 1.2 dX I . 2 . O «./7^

Or, la série, comprise dans le second membre de l'équation (37), aura pour terme général

,00^ nm(nm — i)...(nni — «4-2),

et, si l'on nomme w„ ce terme général, on trouvera, pour de grandes valeurs de n,

,0 X ««+1 < (n/n-i'/n){/i/ii-hm — i) . . .( /ini -h 1) ,

i/„ /i -h 1 {/un — /i ^ 2) . . .{nni — n -\- m) '

OU, à très peu près,

(40) -^^— — ; hx"'-\

Il est aisé d'en conclure que, si m est un nombre entier, la série, comprise dans le second membre de la formule (3-), sera convergente toutes les fois que la valeur numérique du produit

/iJ7'"-'

sera inférieure à l'unité. Alors, la somme de la série sera très certainement une racine réelle de l'équation trinôme z — p^ ~ /iz"'= o.