DIVERSES ÉQUATIONS DU MÊME GENRE

Mémoires de l'Académie des Sciences, t. IX, p. iii; i83o.

On sait que la détermination des axes d'une surface du second desré. ou des axes principaux et des moments d'inertie d'un corps solide dépend d'une équation du troisième degré, dont les trois racines sont nécessairement réelle's. Toutefois, les géomètres ne sont parvenus à démontrer la réalité des trois racines qu'à l'aide de moyens indirects, par exemple en ayant recours à une transformation de coordonnées dans l'espace, afin de réduire l'équation dont il s'agit à une autre équation qui soit du second degré seulement, ou en faisant voir que l'on arriverait à des conclusions absurdes si l'on supposait deux racines imaginaires. La question que je me suis proposée consiste à établir directement la réalité des trois racines, quelles que soient les valeurs des six coefficients renfermés dans l'équation donnée. La solution, qui mérite d'être remarquée à cause de sa simplicité, se trouve comprise dans un théorème que je vais énoncer.

Théorème I. — Concevons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse de déterminer les moments d'inertie principaux d'un corps. Pour obtenir les

(M Lu à l'Académie royale des Sciences, le 20 novembre 18-26.