L'ÉQUATION QUI A POUR RACINES LES MOMENTS

limites des trois racines de l'équation qui sert à déterminer ces moments, il suffira de supprimer dans cette équation les termes qui s'évanouiraient si l'un des axes coordonnés coïncidait avec l'un des axes principaux. Alors on obtiendra une nouvelle équation qui sera immédiatement divisible par un facteur du premier degré, et pourra être ainsi réduite à une équation du second degré dont les deux racines seront réelles. Soient a, ^ ces deux dernières racines, rangées par ordre de grandeur. Si, dans l'équation proposée, on substitue successivement à la variable les quatre valeurs

— oo, a, o, oc,

on obtiendra quatre résultats alternativement positifs et négatifs. Donc la proposée aura trois racines jéelles : l'une inférieure à la quantité a ; l'autre comprise entre les limites a, 6; la troisième supérieure à ê.

La démonstration de ce théorème ne présente aucune espèce de difficulté. Ajoutons qu'il se trouve compris comme cas particulier dans un autre théorème plus général, et que je vais indiquer.

Théorème II. — Si l'on nomme s la somme des carrés de n variables indépendantes x, y, z, u, ..., et r une fonction homogène du second degré, composée avec ces mêmes variables, et si l'on cherche les valeurs

maximum ou minimum du rapport - , la détermination de ces valeurs

dépendra d' une équation dun^^'"^ degré dont toutes les racines sont réelles .

La méthode que j'ai suivie pour arriver à la démonstration de ce théorème m'a encore fourni quelques autres propositions, parmi lesquelles je citerai la suivante :

Théorème III. — Étant donnée une fonction homogène du second degré de plusieurs variables x,y, z-, ... on peut toujours leur substituer d'autres variables ^, Tj, C ... liées à x, y, z, ... par des équations linéaires tellement choisies que la somme des carrés de x, y, z, ... soit. équivalente à la somme des carrés de \,T[, C . • • , et que la fonction donnée de x, y, z, ... se transforme en une fonction de E, •/], C ... homogène et du

D'INEHTIE PRINCIPAUX D'UN CORPS SOLIDK, ETC. 81

second degré, mais qui renferme seulement les carrés de ces dernières variables.

Le dernier théorème entraîne évidemment plusieurs relations entre les coefficients des équations linéaires par lesquelles les variables H, Y], t sont liées aux variables x,y, z, — Ces relations sont semblables à celles qui existent entre les cosinus des angles que forment trois axes rectangulaires donnés avec les axes des coordonnées, supposés euxmêmes rectangulaires.

OEiivres de C. — S. I, t. II. .11

MEMOIRE