KÉSOLUTION ANALYTIQUE DES ÉQUATIONS DE TOUS

Les calculs de M. Parseval étant fondés sur la considération de séries dont la convergence n'est pas.toujours assurée, les résultats auxquelsil parvient ne pourront être considérés comme établis généralement d'une manière rigoureuse. Aussi l'auteur ayant cherché à les vérifier a posteriori, dtfns le cas où l'équation proposée a toutes ses racines réelles, a-t-il reconnu que, dans cette hypothèse même, l'intésjrale qu'il substitue à la suite de M. Lagrange ne représente une des racines que sous certaines conditions. La méthode de M. Cauchy, fondée immédiatement sur la propriété d'une classe d'intégrales définies, conduit facilement à la solution du problème dans tous les cas possibles. Nous nous bornerons aux principaux résultats :

1° Lorsqu'une équation a toutes ses racines réelles, chacune de ces racines peut être exprimée par une intégrale définie. Cette intégrale renferme deux constantes arbitraires entre lesquelles on suppose comprise la seule racine dont il est question. Du reste, ces deux constantes peuvent varier comme on voudra, sans que l'intégrale change pour cela de valeur. Si les deux constantes s'écartent l'une de l'autre, de manière que deux, trois ou quatre racines soient comprises entre elles, l'intégrale définie exprimera la somme de ces deux, trois, quatre racines, etc.

2° Lorsqu'une équation a en même temps des racines réelles et des racines imaginaires, on peut encore représenter chaque racine réelle par une intégrale définie qui renferme deux constantes arbitraires, pourvu que l'on suppose comprise entre ces deux constantes la partie réelle de la seule racine que l'on considère. Cette remarque suffît pour montrer en théorie que toute racine d'une équation peut être exprimée par une intégrale. Toutefois, comme, dans le cas où l'on veut obtenir les valeurs numériques des racines, la détermination des deux constantes peut entraîner de longs calculs, il est alors préférable d'employer le moyen qui va être indiqué.

On cherchera d'abord une constante unique, inférieure au plus petit coefficient positif de sj — i, dans les racines imaginaires. On y parviendra sans peine par la méthode exposée dans la quatrième note de la Résolution des équations numériques. Cela posé, il deviendra facile de

LES DEGRÉS AU MOYEiN DES INTÉGHAF.ES DÉFINIES. 11

substituer à l'équation proposée deux autres équations qui aient pour racines respectives : la première, les racines réelles de l'équation proposée, et la seconde, celles des racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de \/— i est positif. Les coefficients de ces deux équations seront des intégrales définies renfermant la seule constante dont on vient de parler. On doit même observer que, si toutes les racines sont imaginaires, la constante dont il s'agit pourra être supposée nulle. Pour fixer les idées, considérons une équation du sixième ou du huitième degré dont toutes les racines sont imaginaires. On pourra, d'après ce qu'on vient de dire, et sans la recherche préliminaire d'une constante, réduire immédiatement cette équation à deux autres du troisième ou du quatrième degré.

Dans toutes les intégrales employées dans cette méthode, la fonction sous le signe J est une fonction rationnelle de la variable, qui ne devient jamais infinie, et pour laquelle le degré du dénominateur est supérieur au moins de deux unités à celui du numérateur. Il en résulte que chacune de ces intégrales a une valeur finie et déterminée que l'on peut réduire en nombres. Souvent même il sera aisé de la transformer en une série très convergente dont les termes suivent une loi connue; en sorte que l'on peut immédiatement prolonger cette série autant qu'on voudra. C'est ce qui arrivera, par exemple, si l'on considère une des équations à trois termes, que l'on ne sait pas résoudre dans le cas où toutes les racines sont imaginaires.

MÉMOIRE

SUR