SUR LA TORSION ET LES VIBRATIONS TOURNANTES

Lorsque le son produit par les vibrations tournantes devient le plus grave possible, on sl n = i.

Si l'on suppose la verge extraite d'un corps solide qui offre la même élasticité en tous sens, on aura

(8) li = i;

et, par suite, en nommant f la valeur commune de h et de i, on trouvera

(9) 3fL=( —

Si les épaisseurs h, «deviennent égales, l'équation (9) donnera

et, comme le nombre N des vibrations longitudinales les plus lentes sera déterminé par la formule

\ '2 p y 2 a on trouvera

('2) ^=iv^ = i,9364....

Enfin, si l'épaisseur 2t est très petite relativement à l'épaisseur 2^, l'équation (6) donnera sensiblement

(.3, 5,^C|hyi^.

\àp/ an

Si l'on considère la verge tordue non plus dans l'état de mouvement mais dans l'état d'équilibre, alors, au lieu de l'équation (5), on ob-

D'UNE VERGE liECTANGULAl lîE. 8Î)

tiendra la suivante :

Ajoutons que, si l'on nomme K le moment du système des pressions ou tensions, supjmrtées par un plan perpendiculaire à l'axe dont il s'agit, on aura

Si K devient le moment de la force appliquée à une extrémité libre de la verge, on trouvera, en supposant l'autre extrémité fixe, et pour une abscisse quelconques,

dx

Des formules qui précèdent on déduit immédiatement les conclusions suivantes :

i'' L'angle de torsion d'une verge rectangulaire qui offre une extrémité fixe et une extrémité libre, étant mesuré dans un plan perpendiculaire à l'axe de la verge, est en raison directe non seulement de la distance qui sépare ce plan de l'extrémité fixe, mais aussi du moment de la force appliquée à l'extrémité libre.

2« Si la section transversale de la verge varie en demeurant semblable à elle-même, l'angle de torsion variera en raison inverse du carré de l'aire de cette section, ou, ce qui revient au même, en raison inverse de la quatrième puissance de chaque épaisseur. Ces résultats, semblables à ceux que M. Poisson a obtenus, en considérant la torsion d'une verge cylindrique à base circulaire, extraite d'un corps dont l'élasticité est la même en tous sens, subsisteront pareillement pour une verge cylindrique ou prismatique à base quelconque.

3" Si l'une des épaisseurs de la verge devient très petite par rapport à l'autre, l'angle de torsion variera en raison inverse de la plus grande épaisseur et du cube de la plus petite.

(IFuvrt-a de C. — S. I, t. M. '^ .