COS-/JI — COS-V
puis, en ajoutant aux deux membres de cette dernière formule le produit
-p-COS^^uiCOS^v,
on (rouvcra
et, par suite,
''^2 C -+- (DcosjacosvV /(ô sirijULsinv
o -f- (O(cos/JL cosv qp siii/i. sinv)
cos(v dz ^),
Or, comme on a généralement
cos(v ±1 ij.) = cos- '^ — sin-
il est clair que les deux valeurs de li^, fournies par l'équation (72), seront respectivement
i2^ = i2"2 cos^ ^ + £2'2 sin^ ^ ,
Q^ = i>J'^ cos^ ^^i^ + £2'^ sin- ^^^tif .
Donc, les carrés des vitesses de propagation, dans un cristal à deux axes optiques, sont, dans tous les cas possibles, exprimés par les valeurs de 12^ que présentent les équations (62).
Les conclusions auxquelles nous sommes parvenus dans ce paragraphe s'accordent avec les formules que Fresnel a données et, par conséquent, avec celles auxquelles M. Biot avait été conduit le premier par ses observations. Car on peut aisément passer des unes aux autres, ainsi que M. Fresnel l'a remarqué lui-même dans son Mémoire sur la double réfraction.
§ III. — Surface des ondes.
Comme on l'a déjà remarqué, les valeurs de
ICO MÉMOIKE SUR LA POLARISATION RECTILIGNE
fournies par les équations (i) du paragraphe F ne varient pas, lorsqu'on y fait croître simultanément t de A^ et s de QA^, la valeur de 1} étant déterminée par l'équation
(i) kQ,^=.s.
On conclut pareillement de ces équations que les valeurs de H, y], 'C correspondant à
(2) r = o et^ = o, savoir
(3) H = AcosGT, Yj^BcoscT, Ç=Ccosro,
ne diffèrent pas de celles qu'on obtient, au bout du temps t, en posant
la quantité
désignant la vitesse de propagation d'une onde plane. Donc, l'onde, dont le plan se trouve, à l'origine du mouvement, c'est-à-dire pour ; = o, représenté par la formule (2 ) ou
(6) ' ax -^ hy -^ cz-=.o,
se transporte dans l'espace, de manière à coïncider au bout du temps t avec le plan représenté par la formule (4) ou, ce qui revient au même, par la suivante
(7) ax -\- hy ^ cz^=i^t.
Dans cette dernière formule, les coefficients a, h, c, c'est-à-dire les cosinus des angles formés par la perpendiculaire au plan d'une onde avec les deux axes des coordonnées positives, sont liés entre eux par l'équation
D'ailleurs, d'après co qui a été dit clans le paragraphe II, la vitesse de propagation ù, déterminée par un calcul approximatif en fonction des trois cosinus a, h, c, sera, pour chacun des rayons observés dans un milieu doublement réfringent, l'une des deux valeurs positives de D propres à vérifier la formule
a'- ly c'- (9) çi'i Ç2'2 "^ 0-' çr'i ~^ o-t ç)'"2 *^'
12', il", Q!" désignant les vitesses de propagation respectives d'ondes renfermées dans des plans parallèles à deux axes coordonnés, dont l'un soit l'axe des x ou des y ou des z.
Si l'on fait varier les trois cosinus «, h, c, la vitesse Q, déterminée par la formule (9), variera elle-même, ainsi que la direction du plan représenté par l'équation (2), et ce plan changera de position, de manière à rester tangent à une certaine surface que l'on nomme la surface des ondes. Pour obtenir l'équation de cette surface, il faudra, en considérant Çl comme une fonction de a, b, c déterminée par la formule (9) et c lui-même comme une fonction de a, h déterminée par la formule (8), éliminer les cosinus a, b entre la.formule (8) et ses deux dérivées prises successivement par rapport à chacun de ces cosinus. Or, de la formule (7), différentiée par rapport au cosinus a, on tirera, en regardant 12 comme fonction de a, b, c ctc comme fonction de a,
^ -^('— ~\ — — o da ' \ ôc ) ôa
ayant égard à la formule (b) de laquelle on tire
trouvera
puis, en ayant égard à la formule (8) de laquelle on tire — = — -, on
ôa c \ <)a j
Pareillement, on tirera de la formule (7), différentiée par rapport au
cosinus b^
ôil bf <)9.\
Donc, en définitive, les deux dérivées de l'équation (7), prises
OEwres f/c 6'. — S. I. t. U. . ^I
successivement par rapport à chacun des cosinus a et h, se trouveront comprises dans la seule formule
ù9. dil ÙQ.
, , Oa -^ Ob Oc
(lo = T = »
abc
à laquelle on parviendrait immédiatement en différentiant par rapport à
a, b, c les équations (7)et(8), puiséliminantentre les équations différentiées
a da + b db ^ c de ^z o, (^.-t'^ya^(^y-t^yib-^(^z-t^^yc = o,
l'une des trois différentielles da, db, de et égalant à zéro les coefficients des deux autres différentielles dans l'équation résultante. Ainsi, pour obtenir l'équation de la surface des ondes, il suffira, en regardant c comme fonction de a et de b, d'éliminer a ti b entre les formules (7) et (10); ou bien encore il suffira d'éliminer entre les formules (7), (8) et (10) les trois cosinus
Posons maintenant, pour abréger,
a* b'- cî
(il) 0 =
{9J-~Q,"-y- ^ {9J-9"'y' "^ {ir—ir-y
Les valeurs de —,,, tirées de l'équation (9), seront celles que donneront les formules
àa a^-Çl'^' âb-^^~~Ô^' ~d^^ ^^ — 9"'-^'
Donc, la 'formule (10) pourra encore s'écrire comme il suit
t a t b te
%9 9J — il'-' y 0Ï2 9-—9J'^ ^^%9 9? — 9."'-'
Or, les trois fractions que 'renferme la formule (12), étant égales entre elles, seront encore équivalentes à la nouvelle fraction qu'on obtiendra en multipliant d'une part les trois numérateurs, d'autre part les trois dénominateurs par trois facteurs arbitrairement choisis. Si ces trois facteurs sont respectivement
^ '' i2-— f2'^' il^ i2''^' <2-— 12'"^'
le nouveau dénominateur étant nul, en vertu de l'équation (9), le numérateur devra l'être pareillement; et l'on aura en conséquence, eu égard à la formule (i i),
, ■ a.x by cz. l
Si, au lieu des facteurs (i3), on emploie les trois cosinus
a, h, c, OU bien encore les trois coordonnées
les deux nouvelles fractions obtenues se réduiront, en vertu des formules (7), (8), (9) et (i4), la première à
la seconde à
In
D'ailleurs, ces deux nouvelles fractions devant être égales entre elles et à chacune de celles que renferme la formule (12), on en conclura d'abord
OU, ce qui revient au même,
(lO) =:^'-l- r*-4- -3-— î2-f'
puis
^ ^ a~ m9J—9.''~ b 0i> 9J — 9J'-' ~' c 012 iP — 97 ■' On trouvera, par suite, eu égard à la formule (i^^),
puis on en conclura
