ET LES RAYONS EVANES CENTS

un milieu isophane qui ne produise pas la polarisation chromatique. Alors les déplacements symboliques vérifieront l'une des deux formules

(il) «^ H- c-n -f- ipÇ = o.

Cela. posé, si le module e"-^^''^+™'-=^ se réduit à l'unité, ou, en d'autres termes, si les constantes u, u, u), $ s'évanouissent, on aura

M = Tli, r=rvi, Wz=z\\\, .ç=:si,

et l'on tirera de la formule (lo)

par conséquent

puis de la formule (i i)

(i3) ., u? -^ v-r) -h wC = o,

par conséquent

11^ 4- VTi -h wÇ=:0.

Donc les vibrations des molécules d'éther seront dans le premier cas perpendiculaires, dans le second cas parallèles aux plans des ondes. Mais si, s étant nul, u, u, m cessent de s'évanouir, il suffira d'assujettir les coefficients a, Ç, y à vérifier simultanément les deux conditions

(i4) ua H- o6 -4- luy =z: o, lia -h vS -h vvy = o,

pour que l'on ait aussi

(là) ux -\- v& -r- wy T=zo,

OEitvres de C. — S. I, t. II. 25

19i MÉMOIRE SUR LES RAYONS LUMINEUX SIMPLES, ETC.

et alors la formule (lo) entraînera les équations

(i6) a| 4- êy) + yÇ = o, aq -f- ê-/) + yC = o.

D'ailleurs, de la seconde des équations (i6), jointe aux formules (i4), on conclura que les vibrations moléculaires s'exécutent dans des plans perpendiculaires à la commune intersection des plans (8) et (9).

MÉMOIRE

SUR

Mémoires de l'Académie des Sciences, t. XXII, p. 89; i85o.

§ I"'. — Calcul des fonctions génératrices.

y =/(^) désignant une fonction de x, M. Laplace appelle fonction génératrice de f{x) la suite infinie

ou •

La fonction génératrice étant donnée, la fonction f{x) s'en déduit, mais seulement pour des valeurs entières de x. La connaissance de la fonction génératrice ne suffît pas pour déterminer /'(^), f"{x), ....

A la vérité, en partant de l'équation

dans laquelle Ay = Af{x) =f(x + i) - f(x), et observant que Ay a

(') Présenté à l'Académie des Sciences, le 27 décembre 1824 («).

(") Je livre ce Mémoire à l'impression tel que je lo retrouve dans le manuscrit qui le renferme. La signature do M. Georges Cuvier, apposée sur le premier et sur le dernier feuillet du Mémoire, indique, comme date de présentation, le 27 décembre 1824.

pour fonction génératrice m( - — i ) , on trouverait

(4) Ul(l+j-i\ = u\{t),

pour fonction génératrice de -j- =f'(x). Mais la formule (3), qui est

exacte pour des fonctions entières, cesse de l'être pour des fonctions quelconques. Le second membre ne varie pas quand on y fait croître j d'une fonction périodique de x, tandis que le premier membre change alors de valeur. Si l'on fait par exemple

J =: si 11 2 71,37,

cette équation donnera

cos27:.c = o,

quel que soit x, ce qui est. absurde. On ne voit pas, d'ailleurs, comment le développement de u\(t) suivant les puissances ascendantes de t pourrait s'effectuer.

Une autre difficulté que présente le calcul des fonctions génératrices consiste en ce que l'on regarde

/^^ - U Yn

comme fonction génératrice dey^^.^, tandis qu'en remplaçant, dans la série (i),jo parj,, y, par Vo et généralement y^ par y^^,, on trouverait simplement

pour fonction génératrice de y^+,. On ne peut lever cette difficulté qu'en admettant, pour chaque valeur de f(x), une infinité de fonctions génératrices, telles que

^ + ^+ro 4- r,« + /2<' + ... + /:.'/!- -4-...,

ou même, en prenant pour fonction génératrice, ainsi qu'on l'a proposé, la somme de la série

(7) ■ r^^— + . . .-Fy i^-' + 7o^"+ r,^ + j2^* + . . . + y«/" +

Cette dernière série devra nécessairement être employée si l'on veut que la fonction génératrice de j^ soit représentée par 111"". Or, il arrive malheureusement que la série (7) est généralement divergente et n'a pas de somme.

Quant aux résultats déduits du calcul des fonctions génératrices, à l'égard des équations linéaires aux différences finies ou infiniment petites, on peut les établir directement, comme nous le ferons dans les paragraphes qui suivent.

§ II. — Formules de M. Fourier et autres du même genre ( '). On a, en vertu du théorème de M. Fourier,

(r) f(^ao)^~[ f\=^(-l^n/{p.)dadij,

.V étant renfermé entre les limites [>.' et u.". On peut encore écrire a étant une constante arbitraire. On trouvera de même

P et

(*) Dans l'impression de ce paragraplie et des suivants, j'ai cru devoir, pour la commodité du lecteur, me conformer à l'usage maintenant adopté par les géomètres, en substituant partout la lettre i au signe algébrique \/— i, employé dans le manuscrit.

n étant le nombre des variables x^y, z, ... ^ia, b, ... des constantes arbitraires.

On a encore, x, u.',. jx" étant des nombres entiers,

(5) /(•^) = t;: / Z e''(*-t^)■/(iu)rf(^

V désignant une somme de la forme

et X étant renfermé entre les limites [j.', ul". On pourrait écrire encore

(7) fi^oc)=l^^C y^"^(«-«i)(^-iA)/(^)^a.

Si l'on supposait^, [jl', u." multiples de h et de plus

on trouverait

ou, ce qui revient au même,

puis, en posant A = o,

(n) -^^^^^^ / ^''^'''~^'V(F-)d[J.doc,

ce qui s'accorde avec la formule (i). On aurait encore, dans la même hypothèse.

MÉMOIRF: sur le calcul intégral. 199

ou, ce qui revient au même,

(1.3) /(^):= / y r /' e«(— l-)i/(^)At/a,

a; étant renfermé entre les limites a', [j." et r^= e'' désignant une constante arbitraire.

Pour démontrer toutes les formules qui précèdent, il suffit de développer les sommes indiquées par le signe ^, et d'observer que l'on a toujours (w étant un nombre entier)

(i5) / e-"'«'(ia=:/ cosmar/a — o,

excepté dans le cas où l'on suppose m = o et pour lequel on trouve (i6) j e'^ dciz= I da z=z iTi.

On établirait généralement de la même manière la formule

j étant un nombre entier, compris entre les deux nombres entiers

LL LL V f

/ ' h'- 7 ^^^^^ ^^^ autre entier compris entre les nombres entiers -,

■j, '••; et a, b, ... désignant des constantes arbitraires; puis on en conclurait : i° en réduisant a, b, . . . k zéro