TT 7Î

2° en réduisant h, k, . . ."a l'unité

Lorsque, dans les équations (17) et (18), on pose h = o, k= o, ... on retrouve les formules (4) et (3).

11 est encore essentiel de rappeler les formules que nous allons écrire. On a d'abord

Cette formule suppose que la fonction î(iie''') ne varie jamais d'une manière brusque et ne devient pas infinie entre les limites v = — -, t^ = -f- ", u — o, u = r. De plus,

représentent celles des racines de l'équation

dont les modules, ou les valeurs numériques, sont inférieurs à r. On a encore

(23) n^ , lifjl • f(.r„,,) I r-vi{u"^^,\) fK+(^1,

lorsque î{u -+- (^i) ne devient pas infini et ne varie pas d'une manière brusque entre les limites u = u', u = u", v =^ — ao, ç = -h y:> et s'évanouit pour p = ± oc, quel que soit m. Dans la formule (23), ^o,ic,, ..., a7„,, représentent les racines de l'équation (22), dans lesquelles les parties réelles restent comprises entre les limites u', u".

Lorsque la fonction f(w + ri) s'évanouit, non seulement pour ^ = ± ce, quel que soit u, mais encore pour w = — ce, quel que soit p.

alors, en prenant w'= — qo, m"= U, on réduit la formule (23) à

,, f(-ro) f(.r,) f(a:,„,) 1 /-f(U-f.ri)

Le premier membre de celle-ci renfermera toutes les racines de Y{x) = o, si U surpasse les parties réelles de toutes ces racines et à plus forte raison si U surpasse leurs modules.

Lorsque la fonction f(w -h v\) s'évanouit, non seulement pour ç» = =b 00, quel que soit u, mais encore pour m = oc, quel que soit v, alors, en prenant w'= — U, u" = œ, on trouve

Le premier membre de l'équation (20) renfermera toutes les racines de F(;r) = o, si — U est inférieur aux parties réelles de toutes les racines, ce qui aura nécessairement lieu si U surpasse tous les modules.

§ in. — Analogies des puissances et des différences. Supposons que les caractéristiques

placées devant les fonctions

indiquent les dérivées de ces fonctions par rapport aix,y, z, ... ot que les puissances des mêmes caractéristiques indiquent les dérivées des divers ordres, en sorte qu'on ait

An fl r\ OEuvres de C. — S. I, t. II. 26

Si l'on désigne par

une fonction entière de a, ^, y, . . ., la notation

représentera une fonction linéaire de f{x,y, s, . . .) et de ses dérivées dés divers ordres. De plus, on aura évidennment, en vertu du théorème de Taylor,

(9.) e'^^fix) =f{x + h)^f[x^ A,r) =f{x) + ^f{x) = (i + A)/(^),

h étant la différence finie à^x; et, l'on trouvera, par suite, en appelant k = Aj, / = A^, ... les différences finies de y, z, .. .

(3) F(e''*,e^",e'T,...)/(a^,r,^,...) = F(n-A^, i + A^, i + A„...)/(^,j,:;,...). Ajoutons que l'on aura généralement

(4) ■ {i + ^^Yf{x)=f{x + nh). . ■

Remarquons à présent que si, dans l'expression (i), on substitue pour /(a;, y, G, .. .) sa valeur, tirée de la formule (3) du deuxième paragraphe, on trouvera

1 =(^\' C f f f •••e="^-!^^'e^<^-'^'.-./(/^,v, ...)F(ai, Si, ...)^a^fjL^grfv....

Si, par analogie, l'on étend cette dernière formule au cas où la fonction F(a, Ç, y, . . .) devient quelconque, il en résultera que l'intégrale

(6) (j-)" f f •••e*(-^-S^"e^f^-''^'.../(fJi,v, ...)F(ai, Si,...)«ra^pirf8rfv...

sera représentée, dans tous les cas possibles,, par la notation

Vice, S, y, ...)f{x,y,z, .. .)•

Cette convention étant admise, il est facile de voir : 1° Que, si l'on a généralement

le second membre de l'équation (7) étant composé d'un nombre fini de termes, on aura aussi

j := cpo(2f, S, y, ...)f{x,y, z, ...) + 9, (a, 6, y, ...)f{x,y, z, ...) + co,{c(, ê, y, ...)f{x,y, z, ...) +...;

2° Que l'équation (7) entraînera encore l'équation (8), si la série

(9) ?o(ai,êi,yi, ...), cpi( ai, êi, yi, . . .), •.•

est convergente pour toutes les valeurs de a, ê, y, ... ; 3° Que l'on vérifiera toujours l'équation

(10) ¥{oc,^,y,...)f{x,y,z, ...) = ^(a, ê, y, ...)/( 0^,7, .-,.. .), en posant

4° Que, si F(a, ê, y, . . .) est une fonction entière, l'on vérifiera encore l'équation

en posant

On arriverait aux mêmes conclusions si, en attribuant à a^,y, s, . .. des valeurs entières, et partant de la formule

on regardait la notation .

comme généralement définie par l'équation

('^) i =(±-\ r r^..y''""' V'"^'---e«'-f^)'eê'>-^^../(f^,v,...)F(ai,êi,...)^a^ê....

Concevons maintenant que, dans la formule (5), on pose [i.' = — oo, p,"=-i cc, v'=— 00, v" = -+-=c, ... en sorte que, F(à, S, ...) désignant une fonction quelconque, l'expression

F(a,6, ...)/(^,7, ...) soit définie par la formule

(i6) F(a,S,...)/(^,/,...) = (^)'y'°j^"y'*-"e*^"-!^''eS'^-"'^../(fz,v,...)F{«i,êi,^

et posons, en outre,

(17) cî(:r,y, ...) = E(a,S, ...)/(-^,7. •••)»

on aura, en désignant par 9(a, Ç, . . .) une fonction quelconque de a, €,...,

(18) o(a,6,...)nj(^,r,...) = (^/)" r r •••e^(^-'«"e'^^r-«)i...a,(ai,^,i,...)t;j(m,/i,..-.)f/ac?mc^6c?/i...,

(19) Tn{m,n, ...)=( ^Y C f ...e«('«-H-"e°:'^-''"...F(ai, Si, ...)/(f^, v, •••) ^^ ^f^^° ^^^- • " et, par suite,

( X F(ai,êi, ...)©(ai, 6i,...AfJ^> '"^^ •••)<^^'^/^<^'^'^''*--"

Mais on a encore

\ ( — y / / ...e±'«(*-«)'e-"(°-''''...e-^S^'e-^'''...F(ai, Si, ...)(^ao?m...

(21) ! V^tt/ J..y^.

Donc, par suite, l'équation (20) donnera

(22) I —(-^Yi /• •••e«f^-t^)'e*(r-v)i...cp(ai, 6i, ...)F(ai, 6i, ...)/(/x, V, ...)^arf/jLrf6rfv.

= cp(a,g,...)F(a,ê,...)/(^,J, ...)• . .

Par conséquent, F(a, 6^ . . .), cp(a, S, . . .), désignant deux fonctions quelconques de a, ^, . . ., l'équation (17), savoir

(17) ^{^,y, • . .) =^ F(a, S, . . .)/{cc,y, . . .),

entraînera toujours la suivante

la fonction F(a, S, . . .)/(x,y, . . .) étant supposée définie par la formule (16).

§ IV. — Intégration des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

On a généralement

(0+Oi)i j /-

/ e(0+S'" ra»(0 -hei) a>'(0 + 9i) (t»"(0-H5i) 1

Cela posé, si l'on désigne par a un nombre fini, par s un nombre infiniment petit, et si l'on pose

O>(0+^i)=P4-Qi,

on trouvera, en prenant pour $(a;) une fonction entière de x,

ai \ (3.) { «O'I ''"''T"^"""T )r/ ' P' P" \ /„ Q' Q' \.T

cos

-\- 1 sin

cos

— 1 sin

ou, ce qui revient au même.

\ / «I>(0 + ei)e(0+9i)'rf9

Or, quand £ devient infiniment petit, le second membre de l'équation (4) se présente sous la forme -» et reçoit effectivement une valeur

indéterminée. On peut même, quel que soit t, disposer de £ de manière à le faire évanouir, puisqu'il suffit de prendre

(6) lang^^z^— - ^ ''

et que l'on satisfait à l'équation (6) par une infinité de valeurs infiniment petites de £ ('). Généralement on tirera de l'équation (4), en

(') Nous avons supprimé ici une transformée des équations (5), (6) et, dans les formules (3), (4), (5), (6), nous avons restitué à l'arc — le facteur t omis par erreur dans le manuscrit.

supposant que la Ietfr(3 caractéristique <P désigne une fonction entière,

Si l'on considérait l'intégrale (7) comme la limite de la suivante

(8) { "" r" .<I>(0 + 9i)e(®+âi)«^(D(0 5i)g(0-6i}«

on a généralement

on trouverait une valeur nulle, au lieu d'une valeur indéterminée. Car jnéra

ei — t e\ + tj \t-^z\ i — z\

et, par suite, l'intégrale

(10) / dL"

sera composée de termes qui s'évanouiront tous pour i = o.

On obtiendrait encore une valeur nulle pour l'intégrale (7), si on la considérait comme limite de l'une des suivantes

(11) i e-^O'a>(0 + 9i)e(0+9i)^rf9,

Enfin, si l'on désigne par o(ô) une fonction entière de 6, l'intégrale

considérée comme limite de l'une des suivantes

/»« /•* /^oo ^Q

(i4) / e-'^'o{9)e^'^d9, j e-'-^' o{9)e^'-^ d9, J o{9).e^'-^-^-^-j^^d9, aura toujours une valeur nulle, et, par suite, il en sera de même de

(,5) e®' r ^{9)e'^id9= f c?{9)e(®+^'^' d9.

Concevons, maintenant, qu'il s'agisse d'intégrer l'équation différentielle

, du . d"-u

(,6) AoM + A,^+...4-A„-^^ = o,

manière

que

l'on

ait,

pour / =

) Il — u,

du ~di ~

d-'u dt-

fera

V étant une fonction inconnue de ô, et 0 une constante arbitraire. En substituant la valeur précédente de u dans l'équation (i6), et posant

(19) F(0) = Ao+Ai0 + Aî02 + ... + A„0'S

on trouvera

i/co

Or, en vertu des principes ci-dessus établis, on vérifiera l'équation (20), si l'on prend

(21) pF(0-+-0i) = (?(0 + 0i),

<^{oc) désignant une fonction entière quelconque de x. Par suite, la

formule (i8) deviendra

Si, dans cette dernière, on suppose la fonction o(a?)du degré n — i, et si l'on désigne par

les racines de l'équation F(0) = o, on aura, en prenant pour 0 une limite supérieure aux parties réelles de toutes ces racines et en vertu de l'équation (24) (§ II),

la variable ^ étant considérée comme positive. La fonction :p étant arbitraire et du degré n — \, il est clair que les fractions

représentent /i constantes arbitraires. Donc l'équation (24) fournit la valeur générale de a. Il reste à substituer aux quantités (25) les constantes arbitraires «„, m,, ...,M,j,. Or, les formules (17) donneront

, cp(6/,) , ^^ 9(9,) , ©(ô„-,) «,

'» F'(9,)^'" F(ôô^---^'"-'Fâir)^^T-

On aura d'ailleurs, d'après la formule de Lagrange,

(9-a,Hg-9,)...(^.-6„-,) '*" (9.-&,)(&.-9.)...(9.-9„^,)^*'»'+---

OF.uvres de C . — S. I, t. II. 27

En développant le second membre de l'équation (27) suivant les

puissances de 0, on obtiendra précisément le même développement qui

résulterait de la fraction

si l'on remplaçait ensuite les puissances successives de U, savoir

u«, US v\ ..., U"->,.

par les quantités

déterminées à l'aide des équations (26). On aura donc sous cette condition

en sorte que la formule (22) donnera

En développant cette dernière formule suivant les puissances de U, on trouverait

« = «oTo+ i^iT, -h «2T2 + . .+ «„iT„i,

Tq, T,, ..., T„, désignant des fonctions connues de t, représentées par des intégrales définies, savoir

To -rA, + A,.(0+-.i)+...+ A„(0 + 9i)»^^ ^^,.....^g J. F(0 + 5i) ^ ' I^'

ï. -rA,+ A3(0 + ^i)+...+ A.(0 + ^i)"-^ ,.,...^9 . J« F(0 + ^i) ^ ^^

Concevons à présent que l'on désigne par

Vo«, Vi«, ..., V„,M

des fonctions linéaires de la fonction u et de ses dérivées des divers

ordres -^^ -t-t' •••' en sorte que, a = -7- étant la caractéristique d'une

cit dt^ ' al *

différentiation relative à t, on ait, en adoptant les conventions du paragraphe m,

(33) VoM— /o(a)", V,M=/,(a);/, ..., V,t^, a =/„,(a)«. On tirera des équations (32)

nio -j^^ F(0 + ôi) /o(u + yi)e ^^,

(34) / ./„ t(0-hÔl) -^ ' 271

^.T.-.=/"F(^/.(0-H^i).'S....fî?.

et de l'équation (3i)

y V„iM = «oV„-iTo+ «iV„,Ti + . . .4- //„iV„,T„„i.

Cela posé, il deviendra facile de fixer la valeur de u, si l'on donne, au lieu des quantités

la valeur de

VoM correspondante à ^ = ^0,

En effet, il suffira, dans ce cas, de substituer, dans la formule (3i), à la place de //„, w,, ..., //„,, leurs valeurs déduites des équations (35), dont les premiers membres se réduiront à des quantités constantes et les seconds membres à des fonctions linéaires des

inconnues u^, ii,, ..., w„,, les coefficients étant représentés par des intégrales définies semblables à celles que fournissent les formules (34), quand on y pose 1 = 1^.

Nous avons, dans ce qui précède, supposé la variable t positive. Si elle devenait négative, il faudrait, pour retrouver la valeur générale de w, remplacer dans l'équation (22) la constante arbitraire 0 par une limite inférieure aux parties réelles des racines ô^, 0,, ..., 0„.,, puis, dans les formules (24) et (26), les quantités

par

En conséquence, les équations (3o), (32), etc. conserveraient la même forme. Seulement 0 y aurait changé de valeur.

Il est bon de remarquer que, en vertu des conventions admises dans le paragraphe III, l'équation (16) peut être présentée sous la forme

Si l'on avait à résoudre l'équation

(37) F{a)u=/{t), OU

(^8) Ao. + A.^^-...-i-A.^=:y(.),

il est clair qu'une valeur particulière de u serait

t{cc)

OU, ce qui revient au même,

OU bien encore, en remplaçant ai- par a + ai, puis écrivant 0 au lieu

de a et 0 au lieu de a, on trouverait

t étant renfermée entre les limites t', z\ Telle serait une valeur particulière de IL. Il suffirait ensuite de poser

(4.) „ = Lj^'"^-.,e..„,,-.yil)<,,rfe + ,,

pour obtenir en v une équation entièrement semblable à l'équation (i6).

Il est facile de s'assurer que la formule (4i) résout l'équation (37), dans le cas même où l'on pose 1' =■ o, t"= t. Soit, en effet,

(0+6i)(.-.)/(lIf^,

aura

du dt

,(0.6i)(.-x) (Q + gi)/(T)^Tr/9 ,nnr c

et, par suite,

I ri ^. M r (0 + 6

Or, il est clair que, dans le second membre de l'équation (-44)» les coefficients de

sont ce que deviennent les intégrales

pour t r= o, c'est-à-dire, égaux aux nombres

Quant au coefficient de/(;), c'est-à-dire à l'intégrale

I r" A, + A,(0 + 6i)+...-+-A„(04-ôi)''

I f" F(0 + ^Ji) — F(o) (10

il est facile de s'assurer que sa valeur sera indépendante de la quantité 0; et, comme pour de très grandes valeurs de 0 on a sensiblement

cette même intégrale se réduira sensiblement à

JTT./ 0 -H 6*1 ~ 271 / 02

QdQ I

ff' ~ 2

pourvu que l'on se borne à calculer sa valeur principale, qui est effectivement la limite de

2 71./ 0 + Ôi

De plus, comme on a généralement

l'équation (44) donnera évidemment

Ainsi la valeur de u, déterminée par l'équation (43), satisfait à

l'équation (37). Si, d'ailleurs, on observe qne cette valeur de u s'éva- • nouit pour / = o, on arrivera aux conclusions suivantes.

Pour obtenir une valeur de u qui soit propre à vérifier l'équation (37), quelle que soit la valeur de t, et les conditions (17) lorsqu'on pose ; = o, il suffit de prendre

ou, ce qui revient au même,

r'rF(0+ 9i)-F(U) efe+9i)/ p

(0+81)/ /-'e(0+ei)(/-T)y(^)^^

'\dB,

les puissances de U devant être remplacées par w^, u^, ..., w^,, et 0 devant être supérieur ou inférieur aux parties réelles de toutes les racines, suivant que la variable t est considérée comme positive ou négative. On peut encore présenter l'équation (47) sous la forme

Il est important de remarquer que, dans l'intégrale double que renferme le second membre de l'équation (4i), la fonction

F(0 + Ôi)

ne devient infinie pour aucune valeur réelle de 0, lorsque 0 est une limite supérieure ou inférieure aux parties réelles de toutes les racines. Il n'en serait plus de même si ©devenait précisément égale à l'une des parties réelles dont il s'agit. Alors l'intégrale en question deviendrait indéterminée et la différence entre sa valeur générale et sa valeur principale serait un terme de (a forme

c désignant une constante arbitraire et 0„, une racine de l'équation

F(0) = o. Si les parties réelles de toutes les racines étaient égales entre elles et à 0, alors

représenterait l'intégrale générale de l'équation

En se servant uniquement de la notation de M. Brisson, on peut trouver, de la manière suivante, l'intégrale générale de l'équation (37) sous la forme donnée par ce géomètre.

Supposons l'expression

définie par l'équation (16) du paragraphe III, et soient toujours

les racines de l'équation

(49) F(9) = o, on aura identiquement

et, par suite, u désignant une fonction quelconque de x, on aura, en vertu des principes établis dans le paragraphe III,

OU, si l'on pose

(52) (a-0„)M = (-, on aura

Par suite, on vérifiera l'équation

en prenant ^ = o, ou, ce qui revient au même,

On prouvera également que l'équation (54) est vérifiée par toutes les valeurs de u propres à vérifier les suivantes

(56) {a — do)u = o, {y. — 9i)(i = o, ..., (a — 5„,)« = o.

Donc, on la vérifiera encore si l'on prend pour u la somme des intégrales générales des équations (56), c'est-à-dire

( 57 ) u = Co e^o' 4- c, e^.' 4- . . . + c„i e^-.-/,

c^,c.,, ..., c„, désignant n constantes arbitraires.

Si l'on propose de résoudre, à la place de l'équation (54), la suivante

(58) F{u)u=fit),

il suffira de connaître une valeur particulière de m, telle que

Ka) 2-J^J^ F(&.j

En ajoutant à cette valeur particulière de u le second membre de la formule (5;), on obtiendra l'intégrale générale de l'équation (56). Observons maintenant que

F(a) F(6/„) cc-(j, ¥\e,) a - &. ^- ' ' "^ F'(^^-i) a - 5„/ Donc

(On ■•^'^^ ^ ' /(O , '__ im , 1 /(Q

V{u) V'{b,)y.-% FH^»,) a-Ô, ••• ' F'(9„, ) a - 9„,

(iF.u^rcs Je C. — S. I, l. II. 28

De plus

fit) ^j__ r r\6(.-.,i A^uhdi

a-^o ^tJ J^ Bi — Oo

ei — e.

=:eV fe-^'/{t)dt,

'z de dt dOdt

l'intégration relative à t étant effectuée à partir de la limite qui fait évanouir l'exponentielle e~^"S c'est-à-dire à partir de ^ = — ce si la partie réelle de 0^ est positive, et à partir de / = -+- ce dans le cas contraire. On aura, par suite, en vertu des équations (09) et ((3r),

^^"^ " =" ¥^) ''''/'-'"Vin dt + ...+ p,-^^ eK-.'fe-^,.-.'f{t)

dt.

Si à cette valeur de m, dans laquelle chaque intégrale est prise à partir de la limite —ce ou +cc, on ajoute le second membre de l'équation (57), on obtiendra une valeur de la même forme, mais dans laquelle chaque signe f indiquera une intégration indéfinie. Cette nouvelle valeur sera l'intégrale générale de la formule (58).

Si, en supposant toujours la notation

définie par l'équation (16) du paragraphe III, on indique par les caractéristiques

les dérivées d'une fonction de x,y, 5, . . . relatives à x,y, ;?,..., et par

l'intégrale générale de l'équation

F(l)^, U^, D-, ...)ii=f{x,y,z, ...),

dans le cas où F(a, é", y, . . .) est une fonction entière de a, Ç, y on

aura généralement dans le même cas

(66) F(I)„ J.V, D,, . ..)f{x,y, z, . . .) = F(a, S, y, . ..)f{x,y, z, . . .). Mais l'expression

ne sera qu'une valeur particulière de

fix,v, z, . ..)