F(J),, IV,D
Ces conventions étant admises, l'équation (58) pourra être présentée sous la forme
et l'on en conclura facilement
(-0) „-.^lil-__L.^(iL^ . ^ m
Y{\)^)-~- V'{fJ,)\),-e, '•••■ F'(0„,) l),-ô„, Cette dernière équation ramène l'expression
fit)
aux suivantes
fit) .fit) fit)
c'est-à-dire qu'elle ramène l'intégrale générale de l'équation (69) à celles des équations
ou, en d'autres termes, à celles des équations
(72) ^^-Q.Ur^fit), ..., ^0„,„=/(O.
Or, ces intégrales générales étant respectivement
.Oj
Co +
l'équation (70) deviendra
Co + f e-V f{t)dt Cn-^,+ i e-K-.'f{t)dl
Telle est la méthode la plus simple pour former l'intégrale générale de l'équation (38).
§ V. — Intégration des équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants.
Supposons qu'il s'agisse d'intégrer l'équation
(I) ' Y({),,\)y,\)„...,Dt)u=f{oc,y,z.,...,t),
de manière que, pour/ = o.
se réduisent à
du "' -dï
(3) f^{x,y,z, ...), fi{x,y,z, ...), ..., f„^,{x,y,z, ...),
m étant l'ordre de l'équation par rapport à t, c'est-à-dire le plus haut exposant de D^ dans F(Dj., D^, D-, . .., D^); on posera
u=i~\ i j ■ . . e^'^'^-V-y^ e^^y-'^y' . . . i> doc dix do dv . . . ,
et il suffira évidemment d'intégrer l'équation différentielle
(5) ■ F(ai,6i, ...,D,)v=f{iJ.,v, ...,t),
MÉMOIRE SUll LE CALCUL INTÉGRAL. 221
dans laquelle l'inconnue v représente une fonction de t, de manière que l'on ait, pour / = o,
Ce dernier problème se résout très facilement par le paragraphe IV. Supposons encore que l'on doive avoir
/pour t = i(„ Fo(l)^, Dj, ...,Di)«=/o(^,/, s, - . .)»
\ » t = ti, Fi(D^, I)^, . . ., I),)m=/i(^, r, 3, . . .)»
\ » t=^t„i^i, F„j i(Da., Dy, . . ., D/)« =:/,„--i(^, r, 2, . • •)•
Dans ce cas, il suftira d'intégrer l'équation (5), de manière que l'on ait
/pour ^ = ^0, Fo(ai,êi, .. .,D/)('=/o(f^, V, . . .).
] » t = ti, Fi(ai, 6i, ...,D<)<'=/i(/^, V, ...),
' .) t = t,„i, F,„.(ai, Si, .-.jD^)»' zz: /,„(( ^,v, ...).
Ce problème se résout encore très simplement par le paragraphe IV. Soient maintenant
(9) 9„(a, g, ...), 9i(a,S, ...), ..., 9,„i(a, S, . Z.) les valeurs de ô tirées de l'équation
on vérifiera l'équation
(il) F(ai,Si, ...,l),)(' = o,
en posant
(i2) (' = e'?o(î'i.êi>-)d;o(i^,v, . ..)+---+^'^"-'^*''^''-''4^/«-i(.'^'^^' •••),
et, en substituant cette valeur de v dans la formule (4), puis adoptant les notations du paragraphe III, on trouvera, pour l'intégrale générale de l'équation (i3) F(l)^, 1),., ...,D,)«=:o,
la formule
(i4) u = e'<Po(«,ê,...) ^^{x,y, ...)+. . .4- e'?».-.<='.ê.-) ^,„^,{œ,y, . . .).
Si l'on ajoute au second membre de cette dernière une valeur particulière de u propre à vérifier l'équation (i), telle que
on trouvera, pour l'intégrale générale de l'équation (i), La valeur correspondante de v serait
! ^^ ^"'-'^''' ''•••'*+ F(ai,gi, .../.)'
le dernier terme représentant l'intégrale
h (ai, 6i, . . ., 6*1)
Cela posé, il est facile de voir que les équations (7) donneront
j f,{jc,y,z, ...)
= e'o?o(M,...) F„[a, B, . . ., cp,{a,B, . . .)] ^o(^,r, ...)+•.•
+ g^cp„.,(a,g,...) ,;^[-^^ g^ , . ., 9,„,(a, g, . . .)] 'J>,„-, (^, J, . . )
Fo(a,g, .■■,^)
^^'^"^'■'"'"'•••'F.Locg, ...,9„(a,ê, ...)]J^o(^,/, ••.)+. •• + e^ ?.-.(='.«....) F,[a, g, . . ., 9,„,(a, g, . . .)] ^,„-i(^,r, • • •) Fi(a,g, ■..,^) F(a,g, ...,^)-^^'^'-^'''' •••»^i).
tandis que les équations (8) donneront
= e'o<Po(ai,gi,-) Fo[ai, êi, . . ., Oo(ai, êi, . . .)] 'MF-, v, ...)+•• • 20) { + e'o?.-,(ai,êi,...) F„[ai, Si, . . ., 9„,,(ai, 6i, . . .)] '%,-, (/^, v, . . .) ' Fo(ai,gi ^>)
Les équations (19), dans lesquelles a, ê, ... représentent des caractéristiques, serviront, en vertu des principes établis dans le paragraphe III, à déterminer les fonctions inconnues
Les équations (20), dans lesquelles a, Ç, ..., u., v, ... (0 excepté) représentent de véritables quantités, serviront à déterminer, de la même manière, les fonctions inconnues
^o(ft, V, ...), (j;i(fz, V, ...), ..., ^,„i(f/, V, ...),
qui renfermeront, de plus, a, S, y Le calcul sera le même dans
les deux cas, et l'on retrouvera les mêmes résultats, soit que l'on substitue les valeurs de 'J^o(k-» v, ...), 'J;,([jt., v, ...),.. . dans les formules (4) et (17), soit que l'on substitue les valeurs de -^^oC-^^J. •••)» 'hi^^y^ ...), ... dans la formule (16), pourvu toutefois que l'on se borne aux valeurs particulières de •J^o(ar, r, . . .), 'J;,(a?, y, . . ,), ..., déduites par l'élimination des équations (19).
Si, conformément aux conventions établies dans le paragraphe IV. on regarde la notation
comme expliquant l'intégrale de
22i MÉMOIRE SUR LE CALCUL INTÉGRAL.
alors, en supposant
on aura
l' f{x,y,z, ...,t) /ix,y,z, ...,t)
Cette dernière formule ramène l'intégration de l'équation (22) à celles des équations de la forme
(25) (aDa;4- b\)y-+-. . . -+- /cDi-h l)ii =zf{jc,y, z, . . ., i).
Supposons, par exemple, que F(a, ê) soit une fonction homogène de a et ê du degré m, en sorte qu'on ait
on trouvera, en posant F( J, i J — $
■ F(a,ê) a)'(^„)a-5,g ••• «D'(^,„i) a-6,„,ê^ et, par suite, l'intégrale de l'équation (26) F{T)^,\)y)u=f{:c,y)
sera
En général, si F(a, Ç, y, . . ., 0) se décompose en plusieurs facteurs
MÉMOIRE SUR LE CALCUL INTEGRAL, du premier degré, ou de la forme
aa H- 66 + cy +. . .4- A-ÔH- /,
alors, en posant
on trouvera
et, par suite, l'intégrale générale de l'équation
sera
F(D,,JV, ...,t),)
et se trouvera ramenée à celle des équations de la forme
/ (aD^-HèD^ + .. .+ A'D,+ /)
{ ^® — ( -D^ + .. .+ -Di4-n»l)j-, ..., DJ«=/(.r,j, .. .,0-
On peut aussi, dans cette hypothèse, présenter l'équation (3o) sous la forme
( A,„(al)^+ b}dy+.. . + Â D,+ l){a'\^^+ 6'D^. + . . . + A-'D,+ l')...u
et l'on en conclut
A,„(a'J)^+ b'y)y + ...-\-k'Dt+ /')(a"D;,4-. . .+ A:"D,-+- /"). ..u
al)a;-t- b\)y+ . . .-j- l
OEuvres de C. — S. I, t. II.
Par suite, si l'on fait
an^-h^1)^+...+ AD,+ /
c'est-à-dire, si l'on intègre une équation aux différences partielles du premier ordre, on n'aura plus qu'à résoudre l'équation
dont le second membre est censé connu, et qui se trouve réduite à l'ordre m — i. Or, on tirera de celle-ci, en posant
la nouvelle équation
(37) Xm{a"\)^-^b"\)y^...-^k"D,-^l")...u = w,
qui est de l'ordre m — i seulement; etc., et, si tous les facteurs sont du premier degré, comme on l'a supposé, on finira par intégrer complètement l'équation (33).
Si l'on supposait
(38) F{a,.Q, y, . . .) = ?(«, S, y, . . .)y^{a, S, y, ...)•• -, on ferait dépendre l'intégration de l'équation
de celle d'une suite d'équations de la forme
Lorsque F(a, ^, y, . . .) désigne, non plus une fonction entière, mais une fonction quelconque de a, g, y, ..., on peut toujours satisfaire à l'équation linéaire
en posant
Mais ce n'est là qu'une valeur particulière de u. Pour obtenir la valeur générale de u, il faut ajouter, au second membre de l'équation (42), l'intégrale générale de
(43) . F(a,ê,-/, ...)« = o. Or, soit
(44 ) F(a, g, y, . . .) = ?(«, ê, y, ...)-/(«, ê, y, . . .), et posons
on aura, en vertu des principes établis à la fin du paragraphe III,
(46) F(a, S, y, . . .)u - ca{a.,&,y, .•■)«',
et, par suite, on satisfera à l'équation (4^^), non seulement en posant // = (), mais encore en posant' (^ = o ou
Ainsi, /(a, ê, y, . . .) étant un facteur quelconque de F(a, ê, y, . . .), la valeur la plus générale de w, qui vérifiera la formule (4;), vérifiera aussi l'équation (43). Donc, par suite, on pourra prendre pour //, dans l'équation (43), la somme des intégrales générales qu'on déduit de l'équation (4;)» «"n substituant successivement à y (a, Ç, y, . ..)tous les facteurs possibles de F (a, ^, y, . . .).
Si l'équation
(48) F(a,S,y, ...,0) = o, étant résolue par rapport à 6, donne les valeurs
on vérifiera l'équation (43) en prenant pour u la somme des intégrales générales des équations
[9 — cp„ (a, S, y, ...)]" = o»
Or, si l'on pose
du , p \ •
on aura évidemment
Donc, la première des équations (5i) sera vérifiée. En raisonnant de même pour les suivantes, puis, réunissant les diverses valeurs de u, on retrouvera
c'est-à-dire la formule (i4). Du reste, il paraît difticile de démontrer en toute rigueur que la valeur de u, donnée par l'équation (52), est l'intégrale générale de la formule (43).
Revenons maintenant aux équations (19), et faisons, pour abréger,
puis, écrivons simplement ^o» ?m •••» ^^i li^u de Oo*^^? ^' • • O»
o,(a, 6, ...),...; les équations (19) deviendront
/ e'o?.Fo(a, ê, ..., 9o) ']'oi^,y, "-) +••.+ «'«?«-' Fo(a, S, ..., o^,) i^,„i(^,/, ...) = U{^,y, •••),
Pour obtenir les valeurs générales de
propres à vérifier ces dernières, il suffît de calculer leurs valeurs particulières, en opérant comme si, dans les équations (54), toutes les lettres représentaient des quantités véritables, puis de joindre à ces valeurs particulières les valeurs générales propres à résoudre les équations .
/ e«o?oFo(a, ê, ...,Oo)^o{^,y^ ...)+--- + «'^'^"— Fo(a,ê, ..., 9,„i) ^,«-1(^,7, ...) = o, (55) e'.?oF,(a, 6, . . ., o^)'li,{x,y, . . .) H-- • • + e^?— - Fi(a, S, . . ., cp,„,) ^,„i(^,/, ...) = o,
Si l'on élimine entre ces dernières '-];,, -J^o, ..., '«p„^,, on obtiendra une nouvelle équation de la forme
(56) • w{cc,Q,y, ...)^o{^,y,z, ...) = o.
CT(a,g,Y, ...) désignant le dénominateur commun des valeurs particulières de ^„(a;,y, 5 ), '|,(^, y, :;, . . ,), ..., •];,„.., (^» 7» -»•• •)'
déduites par l'élimination des équations (54). Gela posé, on cherchera la valeur générale de ■\)o(x,y, z, ...), propre à résoudre l'équation (56), à l'aide de la méthode indiquée pour la solution de l'équation (43), puis on la combinera avec des valeurs de ']>f(x,y,:-, . . .), '\>.(x,y, z,...), . . ., •l/„,^(cc,y, s, . . .), déduites des équations
/ ro(a,ê,y, ...)^i {^,y,^, ...) = o,
de manière que les équations (55) soient toujours satisfaites. On pourrait aussi substituer chaque valeur de '\i^,{x,y,z, ...) dans les
équations (55) pour en déduire les valeurs correspondantes de
Exemple I. — Résoudre l'équation
de manière que l'on ait pour ^ = /(,, pour t ^^t^.
Solution. — L'équation (58) se réduit à (5g) [6°+ (m + /i)a5 + /?i«a^] M r= o.
Or, de la formule
OU
(ÔH-/na)(9 + na)=:o,
on tire les valeurs suivantes de 6
0 = — ma, Ô =: — nof..
Donc, par suite,
En outre, les conditions prescrites donneront
et l'on en conclura
rjs{y.) étant déterminé parla formule
(63) nj(a) =e-'«°'<„g-na«, — g-«a<„g-/„a«, __ g(«<^+,„/^)arg-(«i,-rt)(<,-?(,)a jj^
Par suite, en posant
on trouvera
Cela posé, les valeurs particulières de '^^(x), 'j',('^) s^^ront
et l'on devra joindre, à ces valeurs particulières, les valeurs générales
de '1*0 (a?, y), -sp, {ce, y) tirées des équations
Or, ces dernières donnent
ou
OU, ce qui revient au même,
(68) ■• A^o(a:)zzzo, Ax étant égal à ^'. Donc
(69) . ^^(x) = olcos~j-,sm-^-)'
De plus, on tirera de la première des équations ((iy)
Si, pour plus de simplicité, on écrit
du
232 MÉMOIRE SUR LE CALCUL IiNTEGRAL
on trouvera
(70 ^ri^) = 9[ -^-)'
Lorsque
doivent se réduire à
pour / = o, les équations (55) deviennent
[(Po(a, ê, . . .)]'"-^ J>o(^,r, • • •) + [?i(«. ê, . . .)]'"-• ^i(^, J, ...) + •••
Or, en éliminant '|,(^,j, . ..), -^aC^» J> • • •)' •••' 'J^m-i (-3:^.7. •• •)♦ on tire des équations (74)
(7^) (9o— ?t)(?0— ?2)-- -(To— ?/«-i)^0 (■*•,/> ...)=:0.
Soient d'ailleurs
(76) a = Xo(§»y» •••)» a = xi(^»y» •••)»
les valeurs de a déduites des équations
( 9o ( ^» ê, y, . . . ) — 9i ( oc, g, 7, . . . ) = o> < >
' 9o(«» S, y, . . .) — 9m-i(a, g, y, • • •) = o> on trouvera pour la valeur générale de ']^^(x,y, z, . ..) déduite de
l'équation (73)
«0, H,, ... indiquant de nouvelles fonctions arbitraires. Des valeurs correspondantes, mais particulières, de '\l^{x,y, ...), 'h.,(^x,y, ...), ... tirées des équations (74)^ seront
(, f '«-I 9i M 9'"-i — iii ■ ■ -y 9/«"i — 9'"-i /
(80) a = Fe'^o- (9o-9.)(9o--^3)-..(9o-9.»-a) ,.,,__
et la valeur correspondante de u donnée par la formule ( j2) deviendra
Si, dans cette dernière, on substitue à la place de '.|;„(;r, r, z, ...) un terme de la forme
a = '/o(ê, y, . . .) étant l'une des racines des équations (77), on obtiendra un résultat nul. Donc la valeur de u, donnée par la formule (80), se réduira tout entière à zéro.
Si, au lieu des valeurs particulières de •\l^ {oc, y, ...), '^i.^Çx.y, ...),..., on voulait employer leurs valeurs générales, il faudrait ajouter à la valeur de u, donnée par l'équation (80), celle qu'on obtiendrait en posant dans l'équation (32)
^^{x,y,z, ...) — o, c'est-à-dire en posant
„ ^ e.?.(«,g,Y,-) ^^{oc,y,z,...)+...^ e^9.(a,g,Y,...) ^„^^{x,y, z, . . .),
puis déterminant
OEiiures de C — S. I, t. U. 3o
à l'aide des équations
On se trouvera ainsi ramené au cas où l'équation linéaire en u serait de l'ordre m — i relativement à t, et de la forme
Par conséquent, une seule valeur de u sera propre à vérifier l'équation
de manière que
au d"'-Ui
se réduisent à des fonctions données de x, y, z, ..., pour / = o, si une seule valeur de u est propre à vérifier l'équation (82), avec la condition que
du â"'-Uf
se réduisent à des fonctions données, ou bien à des valeurs nulles pour t — - o. En continuant de la même manière, on prouvera qu'une seule valeur de u peut vérifier l'intégrale (83) avec les conditions prescrites, si une seule valeur de u peut vérifier une équation de la forme
de manière à s'évanouir pour t = o. Or, on aura, dans ce cas,
et l'équation de condition donnera
4^0 (-^jj'.-, . . .) = o
et, par suite,
Telle est la seule valeur de u, propre à vérifier l'équation (85) avec la condition requise. Par conséquent, une seule valeur de u vérifiera l'équation (83) avec les conditions prescrites. Donc, par suite, une seule valeur de« pourra vérifier l'équation (4i), supposée de l'ordre m par rapport à t, de manière que
ait 0"'-^ a
it.
fJt 01"'-'
se réduisent à des fonctions données
pour ; = o. Donc l'équation (4), après que l'on aura déterminé v de manière à remplir les conditions prescrites, sera l'intégrale générale de la formule (i).
Exemple II. — Intégrer l'équation
-; — r — ffi -^r-.
relative au mouvement d'une corde tendue, de manière que l'on ait, pour / = o,
(88) Tt='' ^^ ^=/(^)-'
Solution. — On trouvera
a/ ça
Nota. — La solution précédente suppose la fonction f{x) connue au premier instant pour toutes les valeurs de x.
Concevons maintenant que les conditions (88) doivent être remplies seulement entre les limites x = o, x=i a, et que de plus, 5 doive s'évanouir aux deux limites, quel que soit /; on aura
On satisfait à la dernière équation, en posant
mBa^± mz\, n étant un entier quelconque. Donc, par suite, on aura
SI ntni — n/TTi
\qq ma i ^ a mil
ry y I n i t -\- /n .T ] TZ
