Cje

- n I / H- m .r 1 TT i ~ n I I — ;/;.»■ 1 TT i

et, pour ^ = o,

dz dt

,^ r- . / /i .»■ Tî i — n >■ 71: i \

Pour que -^ s'évanouisse alors quel que soit x, il faudra que l'on

ait c, =- C'y. Donc, par suite.

n 71 / i \ / n Tt.J'i

A étant égal à [\c'\.

Il ne reste plus qu'à déterminer les coefficients A, de manière que

l'on ait, pour ^ = o, ^ = f(^x), c'est-à-dire

(90 /(•^)=N A sin =A^+A, sin h A2 sin h...,

kJq\ Cl j a a

pour toutes les valeurs de x comprises entre ic = o et x = «.

Exemple III . — Intégrer l'équation

de manière que l'on ait, pour z = h,

du

ôz

our 5 = 0,

du

our s = 0 et ; =

et

Solution. — On trouvera, en mettant a;, r, z en évidence.

Soient

l'équation (94) deviendra

(96) v^a*+ 6*cTi(a;, y) = o,

et l'on aura

4;o(^,r) = e-/"v'«^+6>[-5jj.^^^) + ^^(^^^.)j^ ^, (^, y ) = e/''>'«^+'- [GTo(a7, y ) - CT, (^, y )].

Or, on tire de l'équation (96), a- 4- ^" étant égal au produit (a — €i)(a-h 6^i),

^i(-2^>j) = ^^^'«o(7) + e-ê^'«,(j) — «Jy 4-xi) + ^iiy — -ri).

Cela posé, la valeur de u deviendra

et la seconde condition donnera

\ Cet C* c- /

Si l'on fait, pour abréger, «„ = o, «, = o, et de plus

i v/a'^ + ê- ; = IX-,

g/tiVa-^H-g^ l g-/iiv/a*+g5

l'équation (98) deviendra

(99) [/;2(g/r/i^ g-/.Xi) ^ „)^ i(eA).i g-/Mi)] ,, o^

et l'on en tirera, en mettant t en évidence,

«' = <?^" Zo (-^> y ) + e-!^'' zi ('^.j ),

(100) /i = (e(^-^)>-i+e-(/'-=Ai)[e!^-y,,(.r,j) -^ e-i^'' -^, (^, j)].

Par suite, la dernière condition donnera (,o,) j (-''''' ^- ^-"'0 [Zo(^, 7)+ Xi (^,j)] = o,

Or, on vérifie les équations (10 1) en prenant

Alors l'équation (loo) deviendra

(g{/<-:))à^g-(/t-:)).i>)^g!J.«i g-p7ij

Telle est effectivement la valeur de u, trouvée dans la théorie des ondes.

§ VI. — Sur la déterminalion des fonctions arbitraires que comportent des intégrales générales des équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants.

Conservons les notations du paragraphe précédent ; soit

(i) Y{cc,Q,y,...,Q)u=f{x,y,z,...,t)

une équation linéaire donnée, de l'ordre m par rapport à ^ et désignons par

(2) o^{o.,&,y, .. .), 9i(a, S, y, ...), ..., cp,„,(a, g, y, . . .) les m valeurs de G, déduites de la formule

(3) F(a,6,y, ...,ô) = o, l'intégrale générale de l'équation (i) sera

) -he«TP«-,(a.6,-")d; .(x V \ I •^^^'■^'' ^' • • •> 0.

'J;o(^»7, -, •••)♦ •••♦ '^^m-X^' J'-' •• •) désignant les fonctions arbitraires.

Supposons maintenant que l'on doive avoir

/'Pour / = A,, F„(a,6, y, ...,9)//=/„(.r, V, =, ...),

les fonctions arbitraires se trouveront alors déterminées par les équations (19) du paragraphe précédent et ne pourront l'être que d'une seule manière, si les conditions (5) exigent seulement que l'on ait, pour t = t^,

au ()'""' u

Toutefois, cette dernière conclusion suppose que

(7) /o(-^,7> •••), fi{^,y,--'), ■', fm-\{x,y, ...)

sont connues pour toutes les valeurs possibles de oc, y, — Or, il peut arriver, comme dans le problème des cordes vibrantes, que les fonctions (6) soient données a priori seulement pour certaines valeurs de^r, j, z, ... comprises entre certaines limites, et doivent être prolongées hors de ces limites, à l'aide de nouvelles conditions. Par exemple, dans le cas où x, y,z, ... représentent des coordonnées, il peut arriver que des fonctions de la forme

Mx), M^,y), Ma:,y,z.)

soient connues pour tous les points compris dans une longueur, dans une surface, ou dans un volume donné. Alors on pourra représenter la variable principale par des sommes d'exponentielles, respectivement multipliées par des constantes arbitraires, et il ne restera plus qu'à déterminer ces constantes de manière qu'entre les limites données les fonctions (6) prennent les valeurs qu'elles doivent avoir. C'est ce qui arrivera, par exemple, dans le problème des cordes vibrantes, si l'on fixe la valeur de z par le moyen de l'équation (90) du paragraphe V. Mais on pourrait aussi résoudre les questions proposées en exprimant la variable principale à l'aide des fonctions initiales, sauf à prolonger ensuite ces fonctions hors des limites primitives, en recourant, pour y parvenir, aux conditions supplémentaires. Ainsi, par exemple, si, dans le problème des cordes vibrantes, on représente par

MÉMOIRE SUR LE CALCUL INTÉGRAL, la valeur initiale de z, on trouvera, pour l'intégrale de

déterminée de manière que l'on ait à la fois

(9) i-o, on trouvera, dis-je,

Or, la fonction /o(^^» <îui détermine la forme initiale de la corde, est censée connue seulement entre les liniites