II
^ ^= o, jr := a;
mais, pour la prolonger hors de ces limites, il suffit d'admettre que les valeurs de z correspondant aux valeurs précédentes de x sont toujours nulles, c'est-à-dire que l'on a, quel que soit /,
et, par conséquent, quel que soit a?,
(I2) M^)-^M—^TC)=0, /Ja + a) +/o(rt— ^) = 0.
Si, dans la seconde des équations (12), on remplace x par x -\- a,
on en tirera
Donc, par suite.
et de plus
/o(.r -f-a) = /'o(.r 4- Za) =/o(.r + 5») =M^ — a)—fa{x—'ia)=f^{x — 5rt)
OEiwres de C. — S. I, t. II.
Gela posé, soit|'(.r) la valeur donnée de/o(a^) entre les limites 07 = o, X ^=^ a. On aura, en vertu des équations qui précèdent,
i/o(-^)= \{^x — ia)
/o(-^)= {{x — li.a)
entre les liiniles
< ■ 1 I ^ =: aa )
I X =z oa )
On trouvera, au contraire
entre les limites
( xz=. — a \
Par conséquent, la valeur générale def„(x) sera donnée par l'équation
fo{x)= Aof(j7) — A, |'(2a— j7) 4-A, f(j^ — 2a) — ... — Ro|'(— ^) -f-B, f(.r + 2a) —B.jX— 2a — ,r) +...,
si l'on désigne par A„ un coefficient qui se réduise à l'unité entre les limites x = jm, x = (n -+- \)a, et soit toujours nul hors de ces limites; et par B„ un coefficient qui se réduise à l'unité, entre les limites X ^= — na, X ^= — (n -+- i)a, en restant toujours nul hors de ces limites. Or, on satisfera aux conditions requises, si l'on prend
(i6) Aa= - \ , + ,
LV'^('^ — '^^y \/\{n-\- i)a — a^Y ]
et
,. I r X -\- na (/i H- ))<;/ + a? 1
2 [^(^^ na)- v/[(n + i)a-^]-^J •
On peut encore supposer
J„\n-\-\)a ,.00 f / e'^'^'^-^y' d^ da,
, na '^— 00
R„= — / / e'^^''-^y'd\t.da^,
ou, ce qui revient au même,
A„=:— / / e^^''-""-\>-^'du.dot.
Si l'on a égard à ces dernières formules, l'équation (i5) donnera [/a{a;)= — / / e«t-^-!^)i[f(^) — e-«="f(2a — j:-) + e--''=''f(-f — 2a)— .. .]^/jLû^a 1 L / / e*(^--!^"[e"*'|'(— -x-) — e-«*'('(^ -f- 2«) +e^''*' |'(— 2a — a;) — ...]rf/jLC^a.
Si l'on suppose, par exemple,
r(.r) = sin(^)
7T r 7tX
7rJ?\ e" — e "
on trouvera, comme on devait s'y attendre,
/o(jp)=rSin — •
Au lieu d'employer la formule (i5), on pourrait recourir aux considérations suivantes :
En vertu du théorème de M. Fourier, les intégrales
J j I e'^^^-V-y^ {{[i) dix. da, — ^ / / e*(*-!^)'|'(2a — /jL)^jji^a, ... sont respectivement égales aux fonctions
entre les valeurs de x qui correspondent aux limites de la variable [x, et toujours nulles hors de ces limites. Par suite, la somme
(21) Ao f(^) — Aj f(2a — a;) -f- A2 f(^ — 2a) 4-. . .
est équivalente à
ou, ce qui revient au même, à
-\\lJ.) dixdix
2^0/0 J„ I — ne"-"*'
Y) désignant un nombre qui diffère infiniment peu de l'unité. On prouvera de même que la somme
— Bo|'(— -27) + B, f(^ + 2a) — B2f(— '3.a—x) + . . .
est équivalente à
OU, ce qui revient au même, à
gafAi — g2aaig-a[xi
I — ne
gi\j.—a)a.i g(a—\L]OLi
fdx) dixda
=--fr
= f f e^""'— — —. '^. f{u.)du.d(x.
Par suite, la valeur générale do /^(x) deviendra
/o("^)— +— J J^ \ ca:i,^g-a%i
j— «ai Yj g"*'
f(]JL) d\idc(.
I — Y] r'^ r" sin(aa) + sin(pi — 2a1a,, , , , = / / 2smaj7 ^- ; — t'{u.)du.dx.
2 TT / / ' '^ "^ ft\a n /y rf 1 -r. ' i ^ i / i
I — 2n C0S2 a OC -\-ri'
Or, I — Y] étant infiniment petit, le rapport
n'aura de valeurs sensibles que pour des valeurs de «a équivalentes à des multiples de la circonférence. On peut donc, dans l'équation (26), remplacer sin(a — 2«)a par sinax, et réduire cette équation à
T' Jq J^ i — 2ncos2aa4-ri'' "^^ '^
=z- / 2 sinaj^siiiaft , -t'(u.)dij.dx.
"^Jo •■^-« (i — Y) C0S2aa)^+ (r/ siti2aa)- '^'^ ^
Observons maintenant que, si l'on désigne par c un nombre très petit, on aura (n étant un nombre entier quelconque)
/ ( I — Ti cos ■2ao(.y-+- ( Ti si n 9. « iZ )
- sinocj; sina/jL doc
siii sin — — I
(1 — -^j--!- (2aa — 2 «71)*
Si maintenant on fait «a = /zi: -f- -(i — y])ê, le second membre de l'équation (28) deviendra
! . mzx . iiTiu. r
— sin sm — ~ I
et se réduira, pour y] = i , à .
2rt£
