D'UN DOUBLE SYSTÈME DE MOLÉCULES, ETC

§ IIL — Mouvements infiniment petits d'un double système de molécules.

Considérons, dans le double système de molécules donné, un mouvement vibratoire, en vertu duquel chaque atome s'écarte très peu de la position qu'il occupait dans un état d'équilibre du système. Si l'on cherche les lois du mouvement, celles du moins qui subsistent, quelque petite que soit l'étendue des vibrations moléculaires, alors, en regardant les déplacements

et leurs différences finies comme des quantités infiniment petites du premier ordre, on pourra négliger les produits, les carrés et les puissances supérieures, non seulement de ces déplacements et de leurs différences, mais aussi des quantités p, p,. Cela posé, les formules (3) et (4) du paragraphe II donneront

X Ac + V an H- z AC x,(;,— ? -4- A,t, ) H- y, (r,, — ï] -+- A,Y),) + z, (C— C -+- A, C)

et les formules (2), (5) du même paragraphe donneront

les valeurs de

D?^ =: L^ + Rr. + QC + L,i + R^ + 0,C„

D,^ Yî = Uç + Mn + PC + n,l -h M,ï2,+ P,C„

[ D?C =Qç + Pv)^-N:-hQ,c:,-+-P,y], + N,C„

étant déterminées par les formules symboliques

^I>rf(r,)],

P ==Sm-^Dr/(r)A-Sm,^D,,f(r,),

et '

L, = Sm rf(r,) -t- ^ D,, f(r,)J(i + A,),

P, = S/«,^I)r,f(r,)(i + A,), ...; maintenant on pose, comme dans le paragraphe précédent,

t = xD^ + y Dj -+- z D-, i, = X, I)^ + y, D^ + z, D-,

alors, en ayant égard aux formules symboliques

et en posant d'ailleurs

i G = S/?«/(r)(e'— 0 — S/«,f(rJ, ^^^ "'. JH=S^l)./(r)(e-^)-S^D.f(r,)f

G,= Sm,f(r,)eS

on aura simplement

(6) L=(i+I),!H, ..., P=I),D,..II,

et, par suite, les formules (3) deviendront

+ G,|, +I)„(I)„H,H +D,H,o,+ I)wH,?,), D,^Y]= Gr; +D, (D„HH +D,Hri + D^HC)

1)2 ç=: GÇ +1),,(D„HË 4-1).Hy) -hD^HC)

Ajoutons que, si l'on échange entre .eux les deux systèmes de mo-

nUN DOUBLE SYSTÈME DE MOLÉCULES, ETC. 3W

lécules donnés, on obtiendra, non plus les équations (G), mais trois équations do même forme, qui, jointes aux équations (6), pourront servir h déterminer les valeurs des six inconnues

en fonctions des quatre variables indépendantes x, v, z, t.

D'après ce qu'on vient de voir, les équations du mouvement d'un double système de molécules sont des équations linéaires. Les coefficients qu'elles renferment sont généralement variables avec les coordonnées X, y, z. Mais, ces coefficients étant nécessairement réels, il en résulte qu'on peut c<)nsidérer les déplacements effectifs

^, Y], Ç; l, ri,, ç,

comme représentant les parties réelles d'inconnues imaginaires qui satisferaient à ces mêmes équations. Ces inconnues imaginaires, que je désignerai par les notations

l, ri, Ç; ^,, n^, Ç,,

sont ce que j'appellerai les déplacements symboliques d'un atome m du premier système et d'un atome m, du second système.

§ IV. — Mouvements infiniment petits d'un système de molécules, placé en présence d'un autre système dont chaque molécule reste sensiblement immobile.

Si les molécules du premier des systèmes donnés, comparées aux molécules du second, sont bien supérieures en nombre, mais douées de masses beaucoup plus petites, alors dans un mouvement vibratoire

les déplacements

<run atome du second système seront généralement très petits par

rapport aux déplacements

l ri, ^

OF.uvres de C. — S. I, t. II. AA

d'un atome du premier. Alors aussi, en négligeant c , v],, s, vis-à-vis de c, Tp 'C, on réduira les équations (3) du paragraphe III aux formules

(!) I),^r,z=lU^-MY, + PÇ,

f J);c = Qc:+Pr, +NC,

et les équations (8) du même paragraphe aux formules

/(l),^-G)ç = l)„(l)„H; + l).Hr; + n,,Fir), (2) (I)| — G)-r] = I). (I)„H; + l),Hr; + I)„,HC),

les valeurs de

(Df-G)? =rl)„,(l)„n; + D.Hr, -i-DuHC);

étant fournies par les équations (4) et (6) du paragraphe III.

Il est naturel de supposer que les atomes du fluide éthéré, dans lequel se propagent les vibrations lumineuses, sont de beaucoup supérieurs en nombre aux molécules des corps, mais doués de masses beaucoup plus petites. Si l'on admet cette supposition, la théorie de la lumière pourra se déduire complètement du système des équations (i), ou, ce qui revient au même, du système des équations (2).

Ajoutons que, dans le cas où les systèmes de molécules donnés se réduisent à un seul, on se trouve de nouveau conduit aux équations (i) et (2). Seulement alors les formules (4) du paragraphe III se réduisent aux suivantes

(3) G -^ Sm/(r)(e'— I), H = S ^ i),./(r)(^e'- 0-

§ V. — Mouvements vibratoires des corps homogènes.

Lorsque chacun des systèmes de molécules donnés est homogène, on peut, dans une première approximation, réduire les coefficients variables que renferment les équations diff'érentielles d'un mouvement vibratoire infiniment petit à des quantités constantes. Alors aussi, en éliminant entre ces équations toutes les inconnues à l'exception d'une

D'LIS DOUBLE SYSTEM l<: DE MOLÉCULES, ETC. 347

seule, on obtient une équation définitive que nous avons nommée V équation caractéristique. Soient a l'une quelconque des inconnues et

l'équation caractéristique, V étant de la forme

Supposons, d'ailleurs, qu'après avoir écrit

au lieu de

\h, 1)., Dj., D, on prenne

è, regardé comme fonction de s, sera d'un degré n équivalent au produit qu'on obtient en multipliant par G le nombre des systèmes de molécules donné, ou plutôt le nombre de ceux dont les atomes restent sensiblement immobiles. Par suite, l'équation linéaire (i) sera du sixième ordre, si l'on fait vibrer un système unique de molécules; du douzième ordre si l'on fait vibrer deux systèn\es de molécules; etc. D'ailleurs, comme je l'ai montré dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, on pourra non seulement exprimer par une intégrale définie sextuple la fonction principale « assujettie à vérifier, quel que soit t, l'équation (i), et pour / = o, les conditions

(4) » = o, D,a = o, ..., Dr'« = o;

mais encore réduire la détermination des diverses inconnues à l'évaluation de la fonction principale, en supposant que l'on connaisse la position initiale de chaque atome, et sa vitesse initiale.

Au reste, la méthode d'intégration que je viens de rappeler suppose que les équations linéaires données sont à coefficients constants; mais cette supposition n'est pas toujours conforme à la réalité. Concevons, pour fixer les idées, que l'on considère un double svstème de moIé-

3i8 MÉMOIRE SUR LES VIBRATIONS

cilles, et que les atomes dont se composent ces molécules appartiennent, les uns à un corps cristallisé, les autres au fluide lumineux- ou éthéré que renferme ce corps. Alors, comme je l'ai remarqué dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences le i*^*' avril 1839, les molécules du corps, ou plutôt les atomes dont elles se composent, exerçant une attraction sur les molécules éthérées, ces dernières se rassembleront en plus grand nombre dans le voisinage d'un atome du corps et, par suite, la densité de l'éther pourra varier sensiblement d'un point de l'espace à l'autre dans un très petit intervalle. Il y a plus : comme l'ont remarqué les minéralogistes, les centres de gravité des molécules d'un corps cristallisé composent un système réticulaire divisé en cellules ou alvéoles par trois systèmes de plans rectangulaires ou obliques, mais parallèles à trois plans fixes. Un tel système jouit de propriétés diverses étudiées avec soin par M. Bravais, et doit être censé renfermer des molécules similaires, dont les atomes correspondants occupent, dans les diverses cellules, des positions semblables. Par suite aussi, les atomes du fluide éthéré doivent être distribués de la même manière dans toutes les cellules. Cela posé, les équations linéaires qui représenteront les mouvements vibratoires, infiniment petits et simultanés, d'un cristal homogène et du fluide éthéré qu'il renferme, seront évidemment analogues à celles que j'ai considérées dans le précédent Mémoire; en d'autres termes, elles seront linéaires, mais à coefficients périodiques. Si, dans ce cristal, les plans réliculaires divisent l'espace en rhomboïdes dont chacun ait pour arêtes iroh paramètres désignés par a, h, c, les divers coefficients seront des fonctions périodiques de coordonnées parallèles à ces arêtes, et ces fonctions ne seront point altérées quand on fera croître ou décroître chaque coordonnée d'un multiple An paramètre qui lui correspond. Si, d'ailleurs, ces coordonnées sont obliques, rien n'empêchera de prendre pour variables indépendantes, outre le temps, des coordonnées rectangulaires, dont les coordonnées obliques seront évidemment fonctions linéaires.

Ces principes étant admis, si l'on veut déduire de l'analyse les lois des vibrations de l'éther dans un corps cristallisé, on aura évidemment