D'UN DOUHLE SYSTÈME DE MOLÉCULES, ETC. 3W

à intégrer un système d'équations linéaires, non plus à coefficients constants, mais à coefficients périodiques. Il en sera de même, s'il s'agit de déterminer les vibrations propres de ce corps; et généralement les équations de cette espèce pourront être appliquées à l'étude d'un grand nombre de phénomènes en Physique ou en Mécanique.

Cela posé, considérons un mouvement vibratoire représenté par un système d'équations linéaires à coefficients périodiques. Soient « l'une quelconque des inconnues et K l'un quelconque des coefficients périodiques, dans les équations dont il s'agit. K sera une fonction périodique ou des trois coordonnées rectangulaires x, y, z, ou du moins de trois coordonnées obliques r, i), 3, liées aux coordonnées rectangulaires r, j, z, par trois équations du premier degré, et ne variera pas quand on fera croître ou décroître r, i), 3 de quantités représentées par des multiples de trois paramètres donnés a, b, c. Si, maintenant, on pose

la fonction périodique K pourra être développée en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes des exponentielles trigonomé-

triques

ga.ïi^ eê>)i, eï3ij

en sorte qu'on aura "

(6) K = Sk/a,/'ê,rye'«i-'^'-ê»)ie^'^T^',

la sommation qu'indique S s'étendant à toutes les valeurs entières, positives, nulles ou négatives des quantités /, /', /"; et pour satisfaire aux équations données, il suffira de développer non seulement chaque coefficient, mais encore chaque inconnue, en une série de même forme, en posant, par exemple,

( 7 ) « = S 8/a, /g, /'y e'«-ï' e''^')' eny> ;

puis d'égaler entre eux, dans les deux membres de chacune des équations obtenues, les coefficients des puissances semblables des exponen-

350 SUR LES VIBRATIONS D'UN DOUBLE SYSTÈME, ETC. tielles

e«3;i, e^^V', eï^i.

En opérant comme on vient de le dire, et supposant que dans les développements des inconnues on néglige les termes où la somme des valeurs numériques des trois quantités

surpasse un nombre donné N, on obtiendra un nombre fini d'équations auxiliaires qui renfermeront, à la place de l'inconnue «, les inconnues

dont la première, «„, représentera précisément la valeur moyenne de «, considéré comme fonction de r, l), 3; puis, en éliminant de ces équations toutes le,s inconnues, à l'exception d'une seule, on formera une équation caractéristique

Ajoutons qu'on pourra, si l'on veut, à l'aide d'éliminations, réduire les équations auxiliaires à ne contenir d'autres inconnues que celles qui sont analogues à «„, par conséquent, celles qui représentent les valeurs moyennes des divers déplacements atomiques.

Il importe d'observer que les équations auxiliaires ainsi obtenues différeront, en général, même pour une valeur infinie du nombre N, de celles auxquelles se réduiraient les équations proposées, si l'on y remplaçait chaque coefficient périodique par sa valeur moyenne.

MÉMOIRE

SUR

LES SYSTÈMES ISOTllOPES

Mémoires de V Académie des Sciences, t. XXII, p. 6i5; i85o.

Dans le Mémoire lithographie, sous la date d'août i83G, et dans celui que j'ai présenté à l'Académie, le 17 juin 1889 (-), j'ai recherché ce que deviennent les équations des mouvements infiniment petits d'un ou même de deux systèmes homogènes de points matériels, quand elles acquièrent la propriété de ne pouYoir être altérées, tandis que l'on fait tourner les axes coordonnés autour de l'origine, c'est-à-dire, en d'autres termes, quand les systèmes donnés deviennent isotropes. Mais, dans cette recherche, les coefficients que renfermaient les équations linéaires données étaient supposés réduits à des quantités constantes; et, comme j'en ai fait la remarque, cette supposition n'est pas toujours conforme à la réalité. Dans un grand nombre de problèmes de Physique et de Mécanique, les équations linéaires auxquelles on se trouve conduit renferment des coefficients, non plus constants, mais périodiques. Il est vrai qu'alors l'intégration de ces équations linéaires et à coefficients périodiques peut être ramenée à l'intégration d'autres équations linéaires, à coefficients constants, savoir, de celles que j'ai

(,') Présenté dans la séance du iS décembre i84y.

(* > foiV le Tome VIII des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, et je Tome I des Exercices d Analyse et de Physique mathématique. {OEuvres de Cauchy, S. I, T. IV, et S. II, T. XI.)

désignées sous le nom A' équations auxiliaires, et qui déterminent les valeurs moyennes des inconnues. Mais, la forme de ces équations auxiliaires étant plus générale que celle des équations primitives, il devient nécessaire de généraliser les formules qui s'en déduisent, et spécialement celles qui représentent les mouvements infiniment petits des systèmes isotropes. Ajoutons qu'on peut obtenir aisément ces dernières formules, sans le secours du Calcul intégral, en s'appuyant sur quelques théorèmes fondamentaux relatifs aux fonctions isotropes de coordonnées rectilignes, c'est-à-dire aux fonctions qui ne sont pas altérées quand on fait' tourner les axes coordonnés autour de l'origine. Parmi ces théorèmes nous nous bornerons à citer le suivant :

Théorème. — Une fonction isotrope des coordonnées rectilignes de trois points dépend uniquement des dislances de ces points à l'origine, de leurs distances mutuelles et de la somme alternée dont la sixième partie représente, au signe près, le volume du tétraèdre dont ces distances sont les arêtes.

Remarquons, d'ailleurs, que le carré du volume d'un tétraèdre étant une fonction entière des carrés des six arêtes, on pourra réduire toute fonction isotrope des coordonnées rectilignes de trois points à une fonction de six quantités variables. Ajoutons qu'une telle fonction deviendra hémiirope, si elle change de signe avec les coordonnées elles-mêmes.

Quand on veut appliquer le théorème que nous venons d'énoncer à la recherche des conditions d'isotropie d'un système de points matériels, il convient de remplacer les trois équations qui déterminent les déplacements d'un point, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, par l'équation unique qui détermine, pour le même point, le déplacement mesuré parallèlement à un quatrième axe, arbitrairement choisi. En opérant ainsi, on se trouve immédiatement conduit aux équations que j'ai mentionnées dans la séance du i4 novembre 1842, et qui représentent avec tant de précision les phénomènes de polarisation circulaire produits par l'huile de térébenthine, l'acide tartrique, etc.

ANALYSE

§ l". — Caractères el propriétés d'une/onction isotrope des coordonnées rectiligncs de divers points.

Soient

"^> JKj ^', '^,9 y,, -S,; -^i,, y„, -s,,; ...

les coordonnées de divers points. P, P,, P,^, ... mesurées parallèlement à trois axes rectangulaires ou obliques. Une fonction de ces coordonnées sera dite isotrope, si on ne. l'altère pas <?n faisant subir à ces mêmes coordonnées les changements de valeurs qui résultent d'un mouvement de rotation quelconque imprimé aux axes autour de l'origine 0. Les fonctions de cette espèce se trouvant naturellement introduites dans le calcul par certaines questions de Physique ou de Mécanique, il importe de rechercher leur forme générale et leurs propriétés principales. Tel est l'objet dont nous allons ici nous occuper.

D'abord, toute quantité variable qui ne dépendra que des positions relatives des points donnés P, P,, P,^, ... et de l'origine 0, sera évidemment une fonction isotrope des coordonnées de ces points. Telles seront, en particulier, les fonctions qui exprim.eront les rayons vecteurs

menés de l'origine aux points P, P,, P^^, ...; les sinus et cosinus des

angles

compris entre ces rayons vecteurs; les distances mutuelles des points donnés; enfin, le volume du tétraèdre qui aura pour sommets trois de ces points et l'origine. Si, pour fixer les idées, on suppose que les points donnés se réduisent à trois P, P,, P,^, alors, en désignant par

les six distances