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a sans doute beaucoup d'avantage sur un aveugle qui les rencontre brusquement et par hasard; mais ce n'est pas assez d'entrevoîr une vërkë gëomëtrique dans* Tëloignement, il faut, pour ainsi dire , nous assurer d^elle , en la reconnaissant de plus près, et franchir rinterralle-qui nous en sëpare ;'or le calcul est le seul guide qui puisse^ conduire dans cette route, faire éviter les obstacles qui s'y rencontrent, ou avertir qu'ils sont ihsurmontablieSk Mais comme ce guide serait trop peu familier à la plupart de nos lecteurs, nous ne pouvons tout au plus, dans la question dont il s'agit , que diminuer le paradoxe , et dissiper les fausses raisons qui pourraient faire croire que la ligne droite est celle de la plus vite descente. Si un corps pesant se mouvait uniformément , c'est-à-dire , s'il" parcourait toujours en temps égaux des espaces égaux , il n'est pas douteux que la ligne droite, étant la plus courtede toutes, serait aussi celle qu'il décrirait en moins de temps. Mais un- corps pesant descend d'un mouvement accéléré , et le temps qu'il emploie à parcourir une ligne quelconque-, est la somme des temps qu'il met à parcourir les différentes parties. S'il se ment sur une ligne courbe qui passe par les deux points donnés, et qui tombe au-dessous de la ligne droite tirée par ces deux mêmes points , on voit au premier coup d'œil qu'il doit d'abord descendre phis verticalement, et par conséquent avec un* mouvement plus accéléré , que s'il décrivait la ligne droite. Il n'jr a dbnc rien d'absurde à croire qu'il puisse parcourir la ligne courbe en moins de temps. Yoilà j'usqu'oii la métaphysique peut nous conduire ; c'est au calbutseul à achever le reste et à faire entièrement évanouir le paradoxe , parce que c'est à lui seul à déterminer et à comparer entre eux lés deux temps. On trouve , par son secours , que la bracfystcH chrone doit être une portion decycloïde, courbe trës^ familière aux géomètres. C'est ceDeqiie décrit le point de la circonférence d^un cercle qui roule-sur un plan , on pour lui donner une origine plus connue , c'est celle que trace en l'air le clou de la cîreonférenced'une roue qui tourne et qui avance en même temps. La cycloide a un^ grand nombre de propriétés très-singulières , et celle d'être la courbe delà plus vite descente-n'est pas une des moins remarquables;

n ne sera peut-être pas inutile de donner une idée de la solution de Bemoulli ; nous la donnerons même d'autant plus volontiers, que cette* solution singulière peut fournir matière à quelques observations impartantes.

La courbe brachystochrone dbit être telle , que si on y prend à volonté une très-petite portion terminée par deux points quelconques , cette petite portidn soit parcourue en moins de temps

qa'une autre petito portion de courbe terminée par les deux mimes points ioBnioient proches. En effet, si cette derniëre portion était parcouroe en moins de tenips qfte la première , e(

Îu'oi> ôt&t à la courbe la première portion qu'eiUe avait « f>our lui onner l'autre , la courbe dans ce nouvel état serait parcourue en moins de temps que dans le premier état , et par conséquent elle ne serait pas dans son premier état la courbe de la plus vite descente; ce qui est contre la supposition. Qr la portion de courbe infiniment petite dont nous'parloiis, peut être regardée comme composée de deux petites lignes droites, dont chacune ^t parcourue avec nne vitesse différente, mais uniquement dépendante de la hauteur d'oii le corps est supposé tomber. Il faut donc trouver la position que doivent «voir ces deux petites l^g;nes pour être parcourues dans le moins de temps qu'il «est possible ; l'équation dilTérentielle qui détermine cette position ^aat çoUe de la çydoïde , et on y parvient assee (acilement

Mais Bemoulli fit plus que résoudre le prcMème de la plus vite descente ; il prouva qu'à était analogue à un aatseBon moins di£EîciIe; c'est ladédiarge de la coarbe qui décrit un corpuscule de lumière, en traversant un milieu dont les coudies sont d'une densité variable. On sait <pi'un rayon qui passe obliquement d'un milieu dans ua autre , ne continue pas son chemia da^s la même ligne droite, suivant laquelle il entre, mais qu'il s'en détourne d'autant plus que la densité du nouveau milieu diffère plus cle celle du milieu d'où il sort. Si donc un rayon de lumière traverse un fluide composé d'une infinité découches, chacune d'une densité différente, il doit à chaque instant s'écarter un peu de sa direction, et par conséquent décrire une courbe.. Cest ce que font les rayons en pénétrant notre atmosphère , dont les couches élastiques se compriment les unes les autres par leurs poids, et sont par conséquent d'autant plus oompiîmées et d'autant plus lieuses, qu'elles sont plus proches de nous. Bemoulli prouva que supposant une certaine loi dans les densités de ses couches, la courbe décrite par le rayon de lumière devait être une cydoïde, comme la courbe de la plus vite descente en était nne. Il £aut remarquer pourtant que dens sa solutioin il admet un principe contesté par plusieurs grands géomètres let habiles physiciens, savoir qu'un corpuscule de lumière qui va d'un point à on autre placé dans un milieu différent, doit y aller dan# le Cemps le plus court qu'il est possible. De Fermât avait le premier avancé ce principe , croyaut ébranler par des raisons «nétaphysiques l'explication ingénieuse que Descartes avait donnée de la réfraction ; Uuygheos l'avait ensuite adopté comme une conséquence de son hypothèse sur la propagation de la lumière; enfin

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Leîbiiilft Tayait soutenu comme favorable à ses idées sur le sysiëiiie des causes Jinales. On appelle ainsi cette partie de la pbj- •i<(ne, ou plutôt de la métaphjsi<[ue (ou peut-être ni de Tune ni de l'antre) y qui a pour but de dëcouYrir les lois de la nature par la fin que son auteur s'est proposé en établissant ces lois. €ette tbéorte est fondée sur les axiomes si Trais , mais si peu féconds et souvent si trompeurs y que rien ne ^e fait sans raison suf^ fisante , que la nature agit toujours par les voies les plus simples^ et sur quelques autres aussi certains et aussi inutiles. Le chanc»- Iter'-Bacon qui avait senti combien cette manière de philosopher était une voie stérile pour les découvertes , la comparait avec beaucoup de finesse et de vérité è une vierge consacrée à Dieu qui ne produit rien ; d'autres grands liodames n'ont pas été si sages y et quelques savans qui n'étaient pas de grands hommes , n'ont pas craint j même au prix des plus ridicules absurdftés » d'introduire dans ht géométrie les causes finales ; témoin le përe Tacquet, jésuite, qui , trouvant qn€4ques phénomènes de catoptrique en eontradictfon avec ce principe, ^que la nature prend toujours le plus court chemin ,^t:poit concilier les phénomènes et le principe , en disant que \a nainre prend le plus long , quand é*le ne saurait prendre le plus court. Les partisans modernes des causes finales, pins ctrconspocts et plus raisonnables , se contentent d'en faire l'application à quelques lois très-constatées d'aillears, et de la chercher dans d'autres , en setaisant sur le reste. Quoiqu'il en soit, et pour en revenir à la solution que donne Bernoulli du problème dont il s'agit , le principe métaphysique , en apparence , sur lequel cette solution est appuyée , peut n'être regardé , si l'on veut , que comme un principe purement géométrique, et la solution n'y perdra rien de son mérite.

En proposant aux géomètres le- problème de la plus vite descente, Bemoullf leur avait donné un certain espace de temps pour le résoudre. Ce terme qu'il prolongea étant expiré , on* ne vit paraître que quatre solutions. L'une, qui était de Newton , Alt envoyée sans nom d'auteur ; et Bernoulli dit que c'était un ongle du lùm qu'il était Sscile de reconnattre; les trois autres étaient de Jacques Bernoulli , frère aîné de celui dont nous par- Ions, de Leibnitr, cft du marquis de L'Hêpital. Presque toutes les nations savantes donnèrent chacune -im athlète , et peut-être un cinquième aurait-il été difficile à trouver.

Jacques Bernoulli avait donné à son frère les premières leçons de géométrie : il voyait son élève courir avec lui d'un pas égal la carrière dans laquelle il l'avait feit entrer ; et peutnêtre con-' servait^il un peu' trop à son égard ce ton de supériorité dont il est difficile de se défaire , quand une fois on l'a pris , mais que

la reconnaissance même a bien de la peine à souffrir %uand il est injaste. Le rifai ne voulait plus être traité en disciple : il semblait harceler, quoique légèrement, son ancieu maître, qui n'était pas homme à le souffirir ; et les^ questions fréquentes que Jean BemoulH proposait aux mathématiciens dans les Actes de Leipsick , étaient des attaques indirectes qui s'adressaient à so» aîné. Celui-ci se crut enfin assez provoqué pour en venir k ua coup d'éclat : faisant donc un dernier effort , il proposa publiquement à son frère le fameux problème des isopfSrimktrcs , et )oignit même à son cartel la promesse d'une certaine somme. Il fallait trouver parmi toutes les courbes de même longueur qui passent par deux pmnts donnés^, celle qui renferme avec la ligne droite tirée entre ces deux points, le plus grand espace possible ^ et celles qui , en tournant autour de cette ligne droite , engen-. drent le solide le plus grand, la surface courbe la plus^grande, etc. La question fut même proposée avec plus de généralité que nous ne lui en donnons dans cet énoncé. On n'ignorait pas que de toutes les figures isopérimètres ,. c'est-à-dire d'un égal contour , le cercle^ est celle qui renferme le plus grand espace ; mais voilà tout ce qu'on savait sur cette matière i il restait à trouver, par une méthode nouvelle et analytique , que le cercle avait en effet cette propriété ; il restait à détermii^er par cette même méthode la courbe qui, par sa révolution, forme la plus grande surface , celle qui donne le plus grand solide , etc. ; enfin à trouver une •infinité d autres courbes fort différentes du cercle.

Jean Bemoulli résplut assez promptement tontes les questions de son frère ; mais il donna sa solution sans analyse. Son adversaire prétendit que la solution était défectueuse , et non-seule* ment ne se crut point débiteur de la somme , mais s'engagea publiquement à trois choses : i**. A deviner au juste l'analyse de son frère; 2®. quelle qu'elle fAt, à y faire des paralogismes , si on la voulait publier ; 3*>. à donner la solution complète du problème ; ajoutant que s'il trouvait quelqu'un qui s'intéressât assez à l'avancement des sciences pour proposer quelque prix sur chacun de ces points , il s'engageait à perdre autant , s'il ne s'acquittait pas du premier ; le double, s'il ne s'acquittait pas au second ; le triple s'il manquait au troisième. On verra par la suite de ce récit qu'il ne risquait rien , au moins sur les deux derniers articles. Cette altercation produisit, de la part des deux frères, plusieurs écrits , oii l'aigreur semble quelquefois prendre la place de l'émulation ; mais puisque l'un des deux avait tort , il fallait bien que l'un des de^x se fichât.

L'Académie des sciences de Paris fut prise pour juge du différend ; et c'était l'arbitre le plus respectable que pussent choisir