ALGÈBRE

Dieu , l'homme et la nature ; voilà , suivant la division générale de l'Encyclopédie , les trois grands objets de l'étude du philosophe. Nous venons de voir quelle route il doit suivre dans l'étude des deux premiers ; le troisième , quoique moms important, présente un champ beaucoup plus vaste , par la multitude des parties qu'il renferme, et par les lumières que nous y pouvons acquérir. Car telle est la fatalité attachée à l'esprit humain,

DE PHILOSOPHIE. o6i

fjue -moins un sujet l'intéresse , plus il trouve presque toujours de facilité pour le connaître; et cela est si vrai que dans l'étude même de la nature, les premiers principes , dont il nous» importerait le plus d'être instruits , sont absolument cachés pour nous. Mais sans nous consumer en regrets inutiles sur les biens dont nous sommes privés , profitons de ceux dont il nous est permis de jouir.

L'étude de la nature est celle des propriétés des corps ; et leurs propriétés dépendent de deux choses , de leur mouvement et de leur figure. Ainsi les sciences qui s'occupent de ces deux points, c'est-à-dire , la mécanique et la géométrie , sont les deux clefs indispensablement nécessaires de la physique. La géométrie qui doit précéder , comme plus simple , doit elle-même être précédée par une autre science plus universelle , celle qui traite des propriétés de la grandeur en général , et qu'on appelle algèbre Deux raisons doivent donner à cette science un rang distingué dans des élémens de philosophie. La première , c'est que la connaissance de l'algèbre facilite infiniment l'étude de la géométrie et de la mécanique , et qu'elle est même absolument nécessaire à la partie transcendante de ces deux sciences , dont la physique , prise dans toute son étendue , ne saurait se passer. La seconde, c'est que s'il y a des sciences qui doivent avoir place par préférence dans des élémens de philosophie, ce sont sans doute celles qui renferment les connaissances les plus certaines accordées à nos lumières naturelles. Or l'algèbre tient le premier rang parmi ces sciences , puisqu'elle est l'instrument des découvertes que nous pouvons faire sur la grandeur.

Néanmoins toute certaine qu'elle est dans ses principes , et dans les conséquences qu'elle en tire , il faut avouer qu'elle n'est pas encore tout-à-fait exempte d'obscurité à certains égcrds (i). Est-ce la faute de l'algèbre ? ]Ne serait-ce pas plutôt celle des auteurs qui l'ont traitée jusqu'ici ? Que la mécanique , que la géométrie même nous laissent dans l'esprit quelques nuages sur des propositions démontrées d'ailleurs , on peut n'en être pas étonné. L'objet de ces deux sciences est matériel et sensible, et la connaissance parfaite de cet objet tient à celle des corps et de l'étendue dont nous ignorons la nature. Mais les principes de l'algèbre ne portent que sur des notions purement intellectuelles, sur des idées que nous nous formons à nous-mêmes par abstraction, en simplifiant et en généralisant des idées premières ; ainsi ces principes ne contiennent proprement que ce que nous y avons mis , et ce qu'il y a de plus simple dans nos perceptions ;

(i) Pour n'en citer qu'un seul exemple, je ne connais aucun ouvrage où cequi regarde la théorie des quaatités négatives soit parfaitement éciairci..

jls sont en quelque façon notre ouvrage ; comment peuvenl-iîs donc , par rapport à l'évidence , laisser encore quelque chose à désirer ?

Il y a lieu de croire que ces principes avaient dans l'esprit des inventeurs toute la netteté dont ils sont susceptibles ; mais rem-' plis et vivement pénétrés de ce qu'ils concevaient , ces grands génies ont cherché le moyen le plus simple et le plus court de rendre leurs idées; ils ont en conséquence imaginé des règles de calcul qui sont le résultat et le précis d'un grand nombre de combinaisons; et c'est dans ce résultat extrêmement réduit qu'ils ont caché leur marche; ils n'eu ont montré que le terme sans en détailler les progrès. L'algèbre est une espèce de langue qui a , comme les autres, sa métaphysique ; cette métaphysique a présidé à la formation de la langue; mais quoiqu'elle soit implicitement contenue dans les règles , elle n^j est pas développée ; le vulgaire ne jouit que du résultat; l'homme éclairé voit le germe qui l'a produit ; à peu près comme les grammairiens ordinaires pratiquent aveuglément les règles du langage, dont l'esprit n'est senti et aperçu que parles philosophes.

Cette métaphysique simple et lumineuse qui a guidé les inventeurs , est donc la partie que le philosophe doit s'appliquer à développer dans des élémens d'algèbre; les opérations de calcul les plus simples suffiront pour la faire entendre. A l'égard des opérations plus compliquées , qui ne renferment que des difficultés de pratique , on pourra en supprimer le détail , suffisamment expliqué dans une infinité d'ouvrages. Par ce moyen l'algèbre ne tiendra pas beaucoup de place dans des élémens de philosophie ; mais en la resserrant dans ce peu d'espace , on pourrait la présenter sous une forme presque entièrement nouvelle.

Il serait 2>eut-étre à propos de ne faire précéder la géométrie élémentaire que par la partie de l'algèbre qui est absolument nécessaire à cette géométrie , c'est-à-dire , par la théorie des proportions; on renverrait à la suite des élémens de géométrie les autres recherches dont l'algèbre s'occupe , entre autres l'analyse mathématique , ou la méthode pour résoudre les problèmes par les secours de l'algèbre. Il y a cette ditTérence en mathématique, entre l'algèbre et l'analyse, que l'algèbre est la science du calcul des grandeurs en général , et (jue l'analyse est le moyen d'employer l'algèbre à la solution des problèmes. L'usage que l'analyse mathématique fait de l'algèbre, pour trouver les inconnues au moyen des connues , est ce qui la distingue de l'analyse logique, qui n'est autre chose en général que l'art de découvrir ce qu'on ne connaît pas par le moyen de ce qu'oE

connaît. Tout algebriste se sert de l'analyse logique pour commencer et pour conduire le calcul ; mais en même temps le secours de l'algèbre facilite extrêmement l'application de cette analyse à !a solution des problèmes. ( J^oyez le paragraphe suivant.)

§ XI. Eclaircissement sur les élëmens d* Algèbre.

L'iMPERFECTiox quc nous avons remarque'e dans plusieurs des notions que donnent pour l'ordinaire les élémens de géométrie, ne se rencontre guère moins dans celles que présentent la plupart des élémens d'algèbre ; quelques exemples en seront la preuve.

La première , en un sens la plus essentielle des définitions que ces élémens doivent offrir , est celle de l'algèbre même. Il semble que les auteurs d'élémens se soient mis peu en yjeine de donner une idée nette de la nature de cette science et de son objet. Les uns disent que c'est l'art de faire sur les lettres de l'alphabet les mêmes opérations qu'on fait sur les chiffres ; définition ridicule à. tous égards. Les autres se bornent à dire que c'est la science du calcul des grandeurs en général; définition plus exacte , mais qui a besoin d'être plus développée qu'elle ne l'est ordinairement par les auteurs élémentaires.

Il faut d'abord partir de ce principe , que le calcul des grandeurs ne peut consister qu'à déterminer le rapport des grandeurs entre elles. Or il y a , comme on le verra à la fin du paragraphe XII, deux sortes de rapports; les uns qui peuvent être exprimés exactement par des nombres, soit entiers, soit rompus; les autres, qu'on appelle incommensurables, et qui ne peuvent être exprimés par des nombres que d'une manière approchée , mais qui peuvent être représentés , ou qu'on peut imaginer être représentés d'une autre manière, par exemple, par les rapports d'une ligne à une autre. Nous allons faire voir d'abord quelle est l'utilité des caractères algébriques pour représenter les nombres proprement dits , et les raj3ports qu'ils expriment ; nous verrons ensuite l'utilité de ces mêmes caractères pour représenter les rapports incommensurables.

Pour sentir quel est l'avantage d'exprimer les nombres par des caractères algébriques, il faut remarquer que l'arithmétique ordinaire a deux sortes de principes. Les uns sont dépendans des signes ou chiffres par lesquels on exprime les nombres, et ce sont ceux qu'on appelle proprement règles de l'arithmétique j règles qui sont attachées à la nature de ces signes, et qui seraient différentes, si au lieu de dix caractères dont nous nous servons pour exprimer tous les nombres possibles, nous en

^^i ÉUÉMENS

avions un plus grand ou un plus petit nombre , ou si au lieiï de disposer ces caractères comme nous le faisons ponr exprimer les nombres, nous les disposions autrement, et que par là nous changeassions et leur valeur intrinsèque et leur valeur relative. Mais outre les principes sur lesquels sont fondées ces règles, l'ariliimétique en a d'autres plus généraux, indépendans des signes par lesquels on peut exprimer les nombres , et uniquement attachés à la nature des nombres mêmes ; tels sont ceux-ci.

Si on retraiiche un plus petit nombre d'un phis grand , et qu'on ajoute au plus petit nombre ce qui résultera de cette opération , on aura le plus grand nombre.

Le produit de deux nombres , divise par Vun des deux produisans, donne l'autre produisant.

Le j.Toduit du quotient d'une division par le diviseur doit rendre le dividende. On pourrait en énoncer plusieurs autres

Ces sortes de prin(;ipes n'étant réellement que des projDriétés générales des rapports ou des nombres qui ont lieu pour quelques nombres que ce soit, et de quelque manière que ces nombres soient désignés , il s'ensuit d'abord que ces propositions gi^riérales peuvent être mises sous les yeux de la manière la plus claire el la plus simple, en supposant les nombres représentés par des caractères généraux; on a choisi pour exprimer ces caractères les lettres de l'alphabet, comme étant |>lus connues, et d'un usage plus familier et plus universel. Première utilité de l'algèbre, de >ervir à représenter et à démontrer d'une manière simple et facile les vérités qui ont rapport aux propriétés générales des nombres.

Ce n'est pas tout. Comme il y a des propriétés générales des nombres indépendantes de la manière dont ils sont exprimés , il doit y avoir aussi pour le calcul des nombres, des principes généraux par le moyen desquels on pourra exprimer, de la manière la plus simple et la plus abrégée qu'il sera possible, le résultat de la combinaison de ces nombres, et des opérations qui seront la suite de cette combinaison. Les règles pour trouver ce résultat sont les règles de l'algèbre. Ainsi l'addition algébrique n'est autre chose que le moyen d'exprimer delà manière la plus courte et la plus simple le résultat de l'addition de plusieurs nombres , en ne donnant à ces nombres aucune valeur particulière ; il en est de même de la soustraction, et des autres règles.

L'utilité de ces règles ne se borne pas à représenter de la manière la plus simple le résultat des opérations qu'on peut faire sur les nombres en général. Supposons qu'un ou plusieurs nombres, ou eu général une ou plusieurs quantités (car on a.

déjà dit que toute quantité pouvait être représente'e par un nombre), soient exprimés par des caractères algébriques; supposons de plus qne ces nombres soient connus et donnés, et qu'on propose de trouver un ou plusieurs autres nombres qui dépendent des nombres donnés par de certaines conditions , il est évident I". que par la généralité des caractères algébriques, on peut eîi primer ces conditions supposées entre les nombres cherchés et les uombres donnés. 2°. Que par la généralité des opérations algc'briques, on pourra pratiquer également ces opérations sur les nombres cherchés comme sur les nombres donnés. Or , en vert'i de ces opérations, l'algèbre enseigne à dégager les nombres cherchés d'avec les nombres donnés , en sorte qu'on ait la valeur des premiers exprimée de la manière la plus simple par un résultat qui ne contiendra plus que les seconds ; et les opérations que ce résultat indique étant pratiquées sur tels nombres qu'on voudra, pris à volonté, donneront la valeur des nombres cherchés qui seront relatifs à ces nombres pris à volonté, suivant les conditions exigées et proposées.

Je ne sais s'il est possible de donner une notion plus nette de l'algèbre à ceux qui n'en ont aucune. Peut-être ce qu'on vient de dire ne sera-t-il pas encore assez développé pour eux ; mais peut-être est-il nécessaire d'être au moins initié dans cette snence pour pouvoir s'en former une idée précise ; je ne doute point que ceux qui seront dans ce dernier cas ne trouvent juste et exacte celle que nous venons d'exposer. C'est sans doute d'après une notion semblable que Newton a donné à l'algèbre le nom (ï Arithmétique universelle; dénomination qui en effet exprime et renferme ce que nous venons de dire sur le véritable objet et la nature de cette science.

Après avoir fait sentir l'utilité des caractères algébriques pour exprimer les nombres proprement dits , il sera plus facile encore d'en faire sentir l'utilité pour exprimer les rapports incommen- S'irables. En premier lieu , ces rapports ont, pour ainsi dire , un droit de plus que les nombres à pouvoir être représentés par des caractères algébriques; puisque ces caractères n'ayant point, comme les nombres, de valeur fixe et déterminée, n'en sont que p'us propres à désigner des rapports qui ne peuvent être exprimés exactement par des nombres. En second lieu , les principes généraux énoncés ou indiqués ci-dessus, sur les propriétés générales des nombres et sur les résultats du calcul qu'on en peut faire , principes qui servent de base, comme nous l'avons dit, au calcul algébrique, ont également lieu pour les rapports incommensurables. De même , par exemple , qu'on double, qu'on triple, qu'on quadruple un nombre ordinaire en

:z6(j ELEMENS

le multipliant par 2, par 3, par 4, on double, on triple, on quadruple un rapport incommensurable en le multipliant par 2 , par 3, par 4? etc. ; on le réduit pareillement, ainsi que tout nombre , à la moitié , au tiers, au quart, en le divisant par 2 , par 3, par4î etc. Il en est de même d'une infinité d'autres Terités semblables, également communes à toutes sortes de rapports , soit exprimables par des nombres , soit incommensurables. En un mot, toutes les vérités sur les nombres, lesquelles ne supposeront pas, ou l'idée de nombres entiers en général, ou celle de tel nombre en particulier, ou la manière d'écrire ou de désigner les nombres par notre calcul arithmétique ordinaire, toutes ces vérités auront également lieu pour les rapports incommensurables. Le calcul algébrique, qui ne considère les rapports et les nombres que de la manière la plus générale et la plus abstraite , s'étend donc et s'applique a:\x rapports incommensurables , et même encore plus parfaitement à ces rapports qu'aux nombres proprement dits ; et sous ce nouveau point de vue , il mérite encore à plus juste titre le nom f^ arilhmétj'que universelle.

Nous verrons dans le paragrapbe XIII , d'après les notions que nous venons de donner de l'algèbre , comment elle s'applique à la géométrie. Mais avant que de finir , exposons encore quelques unes des fausses idées qu'on peut reprocher au commun des algébristes. Elles serviront, pour ainsi dire, de preuves justificatives apportées d'avance de ce que nous dirons dans l'un des articles suivans , sur l'abus de la métaphysique en géométrie, et surtout en algèbre ; et les idées nettes et précises que nous tâcherons ici de substituera ces idées fausses, pourront montrer en même temps un essai de la vraie métaphysique dont ces sciences sont susceptibles.

Les auteurs ordinaires d'élémens ne pèchent pas seulement par le peu de soin qu'ils ont de donner une idée nette de l'algèbre et de son but, mais encore par le peu d'exactitude des notions qu'ils attachent à certaines expressions. Pour abréger, je me bornerai à la notion des quantités négatives. Les uns regardent ces quantités comme au-dessous de rien, notion absurde en elle-même : les autres , comme exprimant des dettes, notion trop bornée , et par cela seul peu exacte : les autres , comme des quantités qui doivent être prises dans un sens contraire aux quantités qu'on a supposées positives ; notion dont la géométrie fournit aisément des exemples, mais qui est sujette à de fréquentes exceptions; puisqu'il est aisé de faire voir, par des exemples tirés aussi de la géométrie , que des quantités représentées par le calcul avec le signe négatif, doivent quelquefois être prises

du même sens que les quantités caractérisées par le signe positif. Qu'est-ce donc que les quantités négatives ? Il en faut distinguer de deux espèces.

Les premiers, par leur signe négatif, indiquent une fausse supposition qui a été faite dans l'énoncé du problème , supposition redressée par la solution. Si on demande un nombre qui ajouté à 20 fasse i5 , on trouvera 5 avec le signe négatif; ce qui marque qu'il aurait fallu énoncer le problème en cette sorte; trouver un nombre tel qu étant retranché de 20 , et non ajouté , le résultat de V opération soit i5. En voilà autant qu'il est nécessaire pour donner ici la vraie notion de cette première espèce de quantités négatives qui se rencontrent à tout moment dans les solutions de problèmes.

La seconde espèce de quantités négatives se rencontre principalement dans les problèmes oii le résultat du calcul paraît présenter plusieurs solutions ; elles indiquent alors des solutions du même problème, envisagé sous un point de vue un peu différent de celui que l'énoncé suppose, mais toujours analogue à ce preuiier sens.

Les quantités négatives de la première espèce montrent la généralité et l'avantage du calcul algébrique, qui redresse, pour ain i dire , le calculateur en partant de la supposition même qui aurait du l'égarer. Les quantités négatives de la seconde espèce montrent tout à la fois , et la richesse de cette science qui fait trouver dans la solution du problème jusqu'aux choses qu'on ne demandait pas , et en même temps , si on ose le dire , l'imperfection du calcul, qui , en donnant ce qu'on ne cherche pas et qu'on ne lui demande point , ne donne pas toujours ce qu'on lui demande avec toute la perfection qu'on pourrait exiger. C'est ce qui n'arrive que trop dans les questions algébriques; la solution d'un problème qui n'en a quelquefois réellement qu'une seulepossible (dans le sens oii il a été proposé), est souvent incorporée el comme amalgamée avec plusieurs autres solutions de problèmes analogues, mais différens; solutions qui, enveloppant et masquant, pour ainsi dire, la première, la rendent plus difficile à découvrir. Ceux qui ont quelque connaissance de ce qu'on appelle en algèbre la théorie des équations , savent par expérience la vérité de ce que nous venons de dire. Mais en voilà assez sur ce sujet, pour ne pas rebuter ceux de nos lecteurs à qui les élémens de cette science sont absolument inconnus.