XV. GÉOMÉTRIE

Muni des premières notions de l'algèbre, le philosophe s'en sert pour passer à la géométrie , qui est la science des propriétés de l'étendue , en tant qu'on la considère comme simplement étendue et figurée. ( Voyez Eclaircissement, § XII, p. 207. ) C'est pour déterminer plus facilement les propriétés de l'étendue, comme nous l'avons dit ailleurs , qu'on y considère d'abord une seule dimension , c'est-à-dire la longueur ou la ligne , ensuite deux dimensions qui constituent la surface^ enfin les trois dimensions ensemble d'oli résulte la solidité. C'est donc par une simple abstraction de l'esprit que le géomètre envisage les lignes comme sans largeur, et les surfaces comme sans profondeur. Ainsi les ventés que la géométrie démontre sur l'étendue sont des vérités purement hypothétiques. Ces vérités cependant n'en sont pas moms utiles, eu égard aux conséquences pratiques qui en résultent. Il est aisé de le faire sentir par une comparaison tirée de la géométrie même. On connaît dans cette science des lignes courbes qui doivent s'approcher continuellement d'une ligne droite , sans la rencontrer jamais, et qui néanmoin> , étant tracées sur le papier, se confondent sensiblement avec cette ligne droite au bout d'un assez petit espace. Il en est de même des positions de géométrie ; elles sont la limite intellectuelle des ventés physiques , le terme dont celles-ci peuvent approcher aussi près qu'on le désire, sans jamais y arriver exactement. Mais si les théorèmes mathématiques n'ont pas rigoureusement lieu dans la nature, ils servent du moins à résoudre , avec une précision suffisante pour la pratique , les différentes questions qu'on peut se proposer sur l'étendue. Dans l'univers il n'y a point de cercle parfait ; mais plus un cercle approchera de l'être, plus il approchera des propriétés rigoureuses du cercle parfait que la géométrie démontre ; et il peut en approcher à un degré suffisant jDour notre usage. Il en est de même des autres figures dont la géométrie détaille les propriétés. Pour démontrer en toute rigueur les vérités relatives à la figure des corps , on est obligé de supposer dans cette figure une perfection arbitraire qui n'y saurait être. En effet, si le cercle, par exemple, n'est pas supjDosé rigoureux, il faudra autant de théorèmes différens sur le cercle qu'on imaginera de figures différentes plus ou moins approchantes du cercle parfait; et ces figures elles-mêmes pourront encore être absolument hypothétiques , et n'avoir point de modèle existant dans la nature. Les lignes qu'on considère dans

la géométrie usuelle, ne sont ni parfaitement droites, ni parfaitement courbes , les surfaces ne sont ni parfaitement planes, ni parfaitement curvilignes; mais il est nécessaire de les supposer telles, jDour arriver à des vérités fixes et déterminées dont on puisse faire ensuite l'application plus ou moins exacte aux lignes et aux surfaces physiques.

Ces réflexions suffiront pour répondre à deux espèces de censeurs de la géométrie ; les uns, ce sont les sceptiques , accusent les théorèmes mathématiques de fausoelé , comme supposant oe qui n'existe pas; les autres, ce sont les physiciens iguorans en mathématique , regardent les vérités de géométrie comme fondées sur des hypothèses arbitraires , et comme des jeux d'esprit qui n'ont point d'application. L'usage qu'on fait tous les jours de la géométrie spéculative pour résoudre les questions de géométrie pratique, doit fermer la bouche aux uns et aux autres.

La seule manière de bien traiter les élémens d'une science exacte et rigoureuse , c'est d'y mettre toute la rigueur et l'exactitude possible. Nous doutons , par cette raison , si on doit absolument suivre dans des élémens de géométrie la méthode des inventeurs. Une telle méthode engage presque nécessairement à supposer comme vraies différentes propositions que les inventeurs ont aperçues comme d'un coup d'œil , mais dont la démonstration est nécessaire en rigueur géométrique.

Il n'en est pas de même de l'algèbre. Comme c'est une science purement intellectuelle et abstraite , dont l'objet n'existe point hors de nous, non-seulement on peut la traiter d'une manière également facile et rigolireuse en s'assujétissant à la marche des inventeurs , mais c'est la meilleure méthode qu'on puisse employer pour développer les élémens de cette science. Il sufSt pour cela de suivre l'ordre naturel des opérations de l'esprit, en s'épargnant seulement les tentatives inutiles ou fausses, que tout inventeur fait presque nécessairement avant d'arriver au but qu'il se propose.

Nous sommes pourtant bien éloignés de désapprouver sans restriction l'usage qu'on peut faire dans des élémens de géométrie de la méthode des inventeurs. Comme elle a le précieux avantage de piquer la curiosité, de faire pressentir à chaque pas celui qui doit suivre , et de ne point effrayer l'esprit par un appareil trop scientifique, nous la croyons très-propre à ceux qui n'ont pas pour but de se rendre profonds mathématiciens ; mais les esprits que la nature a destinés à faire ^des progrès dans cette science, doivent préférer la méthode rigoureuse.

Cependant, pour arriver à cette rigueur exacte , il ne faut pas cUerclier une rigueur imaginaire. Nous avons déjà vu de quelle

inutilité sont pour cet objet les axiomes dont les géomètres font si souvent usage ; nous avons observé dejDlus qu'en géométrie on doit supposer l'étendue telle que tous les hommes la conçoivent, sans se mettre en peine des objections et des subtilités scolastiques ; ajoutons qu'on doit supposer de même dans les élémens de géométrie les idées abstraites de surface plane et de ligne droite , sans faire de vains efforts pour réduire ces idées à qiselque notion plus simple. N'imitons pas un géomètre moderne, qui , par la seule idée d'un fil tendu, croit pouvoir démontrer les propriétés de la ligne droite indépendamment du plan ; et qui ne se permet pas même cette hypothèse , qu'on peut imaginer une ligne droite menée d'un point à un autre sur une surface plane ^ comme si la supposition d'un fil tendu pour représenter une ligne droite , était plus simple et plus rigoureuse que l'hypothèse dont on vient de parler; ou plutôt comme si cette supposition n'avait pas l'inconvénientde représenter par une image physique, imparfaite et grossière , une hypothèse mathématique et rigoureuse.

Nous ne prétendons pas pour cela qu'on doive supprimer des élémens de géométrie les définitions de la surface plane et de la ligne droite. Ces définitions sont nécessaires; car on ne saurait connaître les propriétés des lignes droites et des surfaces planes sans partir de quelque propriété simple de ces lignes et de ces surfaces, qui puisse être aperçue à la première vue de l'esprit, et par conséquent être prise pour leur définition. Ainsi on définit la ligne droite , la ligne la plus courte qu'on puisse mener d'un point à un autre , et la surface plane, celle à laquelle une ligne droite se peut appliquer en tout sens. Mais ces deux définitions, quoique peut-être préférables à toutes celles qu'on pourrait imaginer, ne renferment pas l'idée primitive que nous nous formons de la ligne droite et de la surface plane; idée si simple , et pour ainsi dire si indivisible et si une , qu'une définition ne peut la rendre plus claire , soit par la nature de cette idée même, soit par l'imperfection du langage.

En général , les définitions sont ce qui mérite le plus d'attention dans des élémens de géométrie , et d'où dépend surtout la perfection de ces élémens. C'est pourtant ce qu'on a le plus souvent négligé dans les élémens modernes. Nous n'en citerons qu'un exemple. L'auteur de VArt de penser définit l'angle, l'ouverture de deux lignes qui se rencontrent ; et il reprend Ëuclide d'avoir appelé l'angle un espace : la définition d'Euclide peut être défectueuse, mais ce n'est pas par le côté qu'on lui reproche ; car l'idée de l'ouverture formée par deux lignes suppose nécessairement celle de l'espace que ce^ lignes renferment.

Outre les définitions auxquelles on ne saurait apporter trop de soin, le philosophe doit encore avoir égard, dans les éiémens de géométrie, à deux autres points très-importans ; aux propositions fondamentales et à la manière de démontrer.

Les propositions fondamentales peuvent être réduites à deux ; la mesure des angles par les arcs de cercle , et le principe de la superposition. Ce dernier principe n'est point , comme l'ont prétendu plusieurs géomètres, une méthode de démontrer peu exacte et purement mécanique. La superposition , telle que les mathématiciens la conçoivent , ne consiste pas à appliquer grossièrement une figure sur une autre , pour juger par les yeux de leur égalité ou de leur différence , comme un ouvrier applique son pied sur une ligne pour la mesurer ; elle consiste à imaginer une figure transportée sur une autre , et à conclure de l'égalité supposée de certaines parties des deux figures , la coïncidence de ces parties entre elles , et de leur coïncidence la coïncidence du reste ; d'oii résulte l'égalité et la similitude parfaite des figures entières. Cette manière de démontrer a donc l'avantage, non-seulement de rendre les vérités palpables , mais d'être encore la plus rigoureuse et la plus simple qu'il est possible, en un mot, de satisfaire l'esprit en parlant aux yeux.

Les démonstrations qu'on peut employer en géométrie sont de deux espèces , directes ou indirectes. Les premières sont immédiatement déduites de la notion même de l'objet dont on veut établir quelque propriété ; ce sont celles qu'on doit employer de préférence , parce qu'elles éclairent en même temps qu'elles convainquent. Mais si le nombre de nos connaissances certaines est fort petit , celui de nos connaissances directes l'est encore davantage. Nous ignorons , par rapport à un grand nombre d'objets , ce qu'ils sont et ce qu'ils ne sont pas ; et nou.«; n'avons sur beaucoup d'autres que des idées négatives , c'està-dire , nous savons ce qu'ils ne sont pas bien mieux que ce qu'ils sont ; heureux encore dans notre indigence de posséder cette connaissance imparfaite et tronquée , qui n'est qu'une manière un peu plus raisonnée et un peu plus douce d'être ignorans. Or, dans tous ces cas , on sera forcé d'avoir recours aux démonstrations indirectes. Les principales démonstrations de ce genre sont connues sous le nom de réduction à V absurde ; elles consistent à prouver une vérité par les absurdités qui s'ensuivraient si on ne l'admettait pas. Dans cette classe doivent être placées toutes les démonstrations qui regardent les incommensurables , c'est-à-dire , les grandeurs qui n'ont aucune commune mesure entre elles. En effet , l'idée de l'infini entre nécessairement dans celle de ces sortes de quantités; ornous n'avons de l'infini qu'une

idée négative, puisque nous ne le concevons que par la ne'gatiou du fini; le mol même d'infini en est la preuve.

Tout ce que nous avons dit jusqu'à présent sur la manière de bien traiter les ëlémens de géométrie , doit nous faire conclure que de tels élémens ne sont pas l'ouvrage d'un géomètre ordinaire ; qu'il n'y a même aucun géomètre au-dessus d'une pareille entreprise , et que les Descartes , les Newton , les Leibnitz n'eussent pas été de trop pour la bien exécuter. Cependant il n'y a peut-être point de science dans laquelle on ait tant multiplié les élémens , sans compter ceux dont nous serons sans doute accablés encore ; et on peut remarquer que parmi cette m.ultitude de géomètres élémentaires, il n'y en a presque pas un qui, dans sa préface, ne dise plus ou moins de mal de ses prédécesseurs. Un ouvrage en ce genre , qui serait au gré de tout le m.onde , est encore à faire ; mais c'est peut-être une entreprise chimérique que de prétendre faire au gré de tout le monde un pareil ouvrage. Les différentes vues dans lesquelles on peut étudier les élémens de géométrie , rendent ces élémens susceptibles de différentes formes dont chacune peut avoir son avantage. I! ne s'agit ici que de savoir quelle eat la meilleure qu'on puisse leur donner dans des élémens de philosophie ; et c'est sur quoi nous avons taché de proposer nos vues.

Mais ce qui rend la plupart des élémens de géométrie si défectueux , c'est moins encore le plan suivant lequel on les traite, que l'incapacité de ceux qui l'exécutent. Ces élémens sont pour l'ordinaire l'ouvrage des mathématiciens médiocres , dont les connaissances finissent où se termine leur livre , et qui par cela même sont incapables de faire en ce genre un livre utile. Car il ne faut pas s'imaginer que pour avoir efïïeuré les principes d'une science , on soit en état de l'enseigner. C'est à ce préjugé, fruit de la vanité et de l'ignorance, qu'on doit attribuer l'extrême disette oii nous sommes presque en chaque science de bons élémens. L'élève à peine sorti des premiers sentiers , encore frappé des difficultés qu'il a éprouvées , et que souvent même il n'a surmontées qu'en partie , entreprend de les faire connaître et surmonter aux autres. Censeur et plagiaire tout ensemble de ceux qui l'ont précédé, il copie, transforme, étend, renverse, resserre, obscurcit, prend ses idées informes et confuses pour des idées claires , et l'envie qu'il a d'être auteur pour le désir d'être utile. C'est un homme qui ayant parcouru un labyrinthe à tâtons , croit pouvoir en donner le plan. D'un autre côté, les maîtres de l'art , qui par une étude longue et assidue en ont vaincu les ditficultés et connu les finesses , dédaignent de revenir sur leurs pas pour faciliter aux autres le chemin qu'ils ont eu tant dô

peine à se frayer eux-mêmes ; ou peut-être frappe's encore de la multitude et de la nature des obstacles qu'ils ont surmontés , ils redoutent le travail qui serait nécessaire pour les aplanir, et que la multitude sentirait trop peu pour leur eu tenir compte. Uniquejnent occupés de faire de nouveaux progrès dans l'art , pour s'élever, s'il leur est possible, au-dessus de leurs prédécesseurs et de leurs contemporains , et plus jaloux de l'admiration qne de la reconnaissance publique , ils ne pensent qu'à découvrir et à jouir, et préfèrent la gloire d'augmenter l'édifice au soin d'en éclairer l'entrée. Ils pensent que celui qui apportera comme eux, dans l'étude des sciences, un génie fait r>our les ai:profondir, n'aura pas besoin d'autres éîémens que de ceux qui les ont guidés eux-jnêmes; qu'en lui la nature et les réflexions suppléeront aux livres ; et qu'il est inutile de faciliter aux esprits lents et communs des connaissances qu'ils ne pourront jamais se rendre propres, puisqu'ils n'y pourront rien ajouter. Un peu plus de réflexion eût fait sentir combien cette manière de penser est nuisible à la gloire et au progrès des sciences; à leur gloire, parce qu'en les mettant à portée d'un plus grand nombre de personnes, on se procure un plus grand nombre de juges éclairés ; à leur progrès , parce qu'en facilitant aux génies heureux l'étude de ce qui est connu , on les met en état d'aller plus loin et plus vite. Tel est l'avantage que produiraient de bons élémens de chaque science, élémens qui ne peuvent être l'ouvrage que d'une main fort habile et fort exercée. En effet , si on n'est pas parfaitement instruit des vérités de détail qu'une science renferme , si par un fréquent usage on n'a pas aperçu la dépendance mutuelle de ces vérités , comment distinguera-t-on les propositions fondamentales dont elles dérivent , l'analogie ou la différence de ces propositions fondamentales, l'ordre qu'elles doivent observer entre elles , et surtout les principes au-delà desquels on ne doit pas remonter? C'est ainsi qu'un chimiste ne parvient à connaître les mixtes , qu'après des analyses fréquentes, et des combinaisons variées en toutes sortes de manières. La comparaison est d'autant plus juste, que ces analyses apprennent au chimiste non-seulement quels sont les principes dans lesquels un corps se résout, mais encore, ce qui n'est pas moins important, les bornes au-delà desquelles il ne peut se résoudre.

Les élémens de géométrie conduisent immédiatement à la géométrie des courbes , c'est-à-dire de toutes les courbes différentes du cercle. Car le cercle est la seule figure curviligne dont il soit question dans les éîém.ens de géométrie , à cause de la facilité de sa description , et de l'usage qu'on en fait pour résoudre la plupart des problèmes de la géométrie élémentaire.

274 ÉLEMENS

Or la géométrie des courbes demande nécessairement l'usage de l'algèbre. Ainsi le premier pas qu'on doit faire dans cette science, est l'explication des principes sur lesquels est appuyée l'application de l'algèbre à la géométrie. {JTojez Eclaircissement, § XIII 5 pag. 285.) C'est par oii l'on doit commencer au sortir des éléraens , parce que c'est alors que l'algèbre commence à rendre les démonstrations et les solutions plus faciles. Nous n'ignorons pas néanmoins qu'il y a plusieurs recherclies dans la géométrie des courbes , où l'on peut absolument se passer de l'analyse algébrique ; nous n'ignorons pas même avec combien d'éloges de très-grands géomètres ont parlé de l'utilité qu'on peut tirer de la méthode des anciens dans ces mêmes recherches , pour donner plus d'exercice à l'esprit et plus de rigueur aux démonstrations. Mais leurs raisons ne nous paraissent pas fort solides. En premier lieu , n'y a-t-il pas en géométrie assez de difficultés naturelles à vaincre pour ne pas en faire naître d'inutiles ? A quoi bon user toutes les forces de son esprit sur des connaissances qu'on peut acquérir avec moins de peine ? Les propriétés de la spirale, que de très-grands mathématiciens n'ont pu suivre dans Archimède, se démontrent d'un trait de yjlume jîar l'analyse ; serait-il raisonnable de consumer un temps précieux à suivre avec fatigue dans Archimède ce qu'il est si facile d'apprendre ailleurs? A l'égard de l'avanlage qu'on veut donner aux démonstrations faites à la manière des anciens , d'être plus rigoureuses que les démonstrations algébriques , cette prétention ne nous paraît guère mieux établie. La dénomination algébrique, il est vrai , a cela de particulier , que quand on aura désigné toutes les lignes des figures par des lettres , on pourra faire , au moyen de ces lettres, beaucoup d'opérations et de combinaisons sans songer à la figure , sans l'avoir même devant les yeux ; mais ces opérations même , toutes machinales qu'elles sont , ou plutôt parce qu'elles sont purement machinales , ont l'avantage de soulager l'esprit dans des recherches souvent très-pénibles , et pour lesquelles il a besoin de tous ses efforts ; l'analyse lui ménage , autant qu'il est possible, des instans nécessaires de délassement et de repos; il suffit de savoir que les principes du calcul sont certains; la main calcule en toute sûreté , et parvient enfin à un résultat auquel sans ce secours on ne serait point parvenu , ou auquel on ne serait arrivé qu'avec beaucoup de peine. Mais il ne tiendra qu'à l'analyste de donner ensuite à sa démonstration ou à sa solution la rigueur prétendue qu'on croit lui manquer ; il lui suffira pour cela de traduire cette déir.onstration dans le langage des anciens , comme Newton a fait la plupart des siennes. Nous couvieiidrons sans peine que l'usage

DE PHILOSOPIIÎE. î>;5

mécanique et trop fréquent d'une analyse facile et peu nécessaire , rendra l'esprit paresseux , prompt à se rebuter par les obstacles , et par là moins propre aux découvertes ; mais nous ne conviendrons jamais que l'analyse rende les démonstrations moins rigoureuses. On peut regarder la méthode des anciens comme une route tortueuse , difiicile et embarrassée , di.ns laquelle le géomètre exerce et faîigue ses lecteurs; l'analyste, placé à un point de vue plus élevé , voit celte route d'un coup d'œil ; il ne tient qu'à lui d'en parcourir tous lés sentiers , d'y conduire les autres , et de les y arrêter aussi long-temps qu'il veut. Enfin, et c'est ici le plus grand avantage de ia méthode analytique, combien de questions en géométrie auxquelles cetle méthode seule peut atteindre? Peut-être serons-nous contredits ici par les Anglais , grands partisans de la géométrie ancienne , sur la foi de Newton qui la louait, et qui s*en servait pour cacher sa route , en employant l'analyse pour se conduire luimême; mais ne serait-ce point aussi par trop d'attachement pour cette géométrie ancienne, que les Anglais n'ont pas fait en mathématique, depuis la mort de Newlon, tous les progrès qu'on aurait pu attendre d'eux? C'est à d'autres nations , et surtout aux Français, qu'on est redevable des no'hvelles découvertes qui ont si considérablement reculé les limites de l'astronomie physique. Qu'on essaie d'eraploytfr à ces recherches la méthode des anciens , on sentira bientôt l'impossibilité d'y réusir. Ce n'est donc qu'à des géomètres médiocres qu'il appartient de rabaisser l'analyse; jamais un art n'est décrié que par ceux qui l'ignorent , et qui trouvent , dit l'illustre historien de l'Académie des sciences , une espèce de consolation à traiter d'inutile ce qu'ils ne savent pas.

Un des principaux points de l'application de l'algèbre à la géométrie, est ce qu'on appelle aujourd'hui, quoiqu'assez improprement , le calcul de l'infini, et qui facilite d'une maiiière si surprenante des solutions que l'analyse ordinaire tenterait eu vain. {Voyez Eclaircissement, § XÏY, pag. 2t'8.) Le philosophe doit moins s'appliquer aux détails de ce calcul , qu'à bien développer les ])rincqie> qui en sont la base. Ce soin est d'autant plus nécessaire, que la plupart de ceux qui ont expliqué les règles du calcul de l'infini , ou en ont négligé les vrais priucipes , ou les ont présentés d'une manière très-fa usse. Après avoir abusé en métaphysique de la méthode des géomètres, il ue restait plus qu'à abuser de la métaphysique en géométrie, et c'est ce qu'on a fait. Non-seulement quelques auteurs ont cru pouvoir introduire dans la géométrie transcendante une logique ténébreuse , qu'ils ont nommée sublime ; ils ont même prétendu la faire

o^G ÉLÉMENS

servir à démontrer des vérités dont on était déjà certain par d'autres principes. C'était le moyen de rendre ces mérités douteuses, si elles avaient pu le devenir. On a regardé comme réellement existans dans la nature les infinis et les infiniment petits de différens ordres ; il était néanmoins facile de réduire cette manière de s'exprimer à des notions communes, simples et précises. Si les principes du calcul de Finfini ne pouvaient être soumis à de ; areil'.es notions , comment les conséquences déduites de ces principes par le calcul, pourraient-elles être certaines? Cette philosophie obscure et contentieuse , qu'on a cherché à introduire dans le siège même de Tévidence , est le fruit de la vanité des auteurs et des lecteurs. Les premiers sont flattés de pouvoir répandre un air de lïiystère et de sublimité sur leurs productions ; les autres ne haïssent pas l'obscurité , pourvu qu'il en résulte une apparence de merveilleux ; mais le caractère de la vérité est d'être simple.

Au reste , en suj)i30sant même que les principes métaphysiques dont on peut faire usage en géométrie , soient revêtus de toute là certitude et la clarté possible , il n'y a guère de propositions géométriques qu'on puisse démontrer rigoureusement avec le seul secours de ces principes Presque toutes demandent, si on peut parler de la sorte , la toise ou le calcul, et quelquefois l'un et l'autre. Cette manièi^ de démontrer paraîtra peut-être bien matérielle à certains esprits ; mais c'est presque toujours la seule qui soit sûre pour arriver à des combinaisons et à des résultats exacts. ( Voyez Eclaircissement , § XY, pag. 294. )

Il semble que les grands géomètres devraient être excellens niétaphysiciens , au moins sur les objets dont ils s'occupent ; cependant il s'en faut bien qu'ils le soient toujours. La logique de quelques uns d'entre eux est renfermée dans leurs formules , et ne s'étend point au-delà. On peut les comparer à un homme qui aurait !« sens de la vue contraire à celui du toucher, ou dans lequel le second de ces sens ne se perfectionnerait qu'aux dépens de l'autre. Ces mauvais métaphysiciens , dans une science oii il est si facile de ne le pas être , le seront à plus forte raison infailliblement , comme l'expérience le prouve, sur les matières oii ils n'auront point le calcul pour guide. Ainsi la géométrie qui mesure les corps, peut servir en certains cas à mesurer les esprits même.

Non-seulement l'esprit métaphysique et l'esprit géomètre ne se rencontrent pas toujours ensemble , il y a même moins d'union et d'affinité qu'on ne s'imagine entre deux genres d'esprit que Je vulgaire croit être fort analogues, celui du jeu et celui de la géométrie. L'esprit géomètre est sans doute un esprit de calcul et

de combinaison, mais de combinaison scrupuleuse et lenle, qui examine l'une après l'autre toutes les parties de son objet, qui les compare successivement entre elks, qui prend garde de n'en omettre aucune , et de les rapprocher par toutes leurs faces ; en un mot , qui ne fait qu'un pas à la fois , et qui a soin de le bien assurer avant que de passer au suivant. L'esprit du jeu est un esprit de combinaison rapide , qui embrasse d'un coup d'œil et comme d'une manière vague un grand nombre de cas , dont quelques uns même peuvent lui échapper, parce qu'il est moins assujèti à des règles qu'il n'est une espèce d'instinct perfectionné par l'habitude. D'ailleurs le géomètre peut se donner tout le temps nécessaire pour résoudre ses problèmes ; il fait un effort , se repose , et repart de là avec de nouvelles forces ; le joueur est obligé de résoudre ses problèmes sur-le-champ , et de faire dans un temps fixé et très-court tout l'usage possible de son esprit. Il n'est donc pas surprenant qu'un grand géomètre soit souvent un joueur très^médiocre.

Nous n'examinerons point une autre question qui n'a qu'un rapport très-indirect à notre sujet ; si les mathématiques donnent à l'esprit de la dureté et de la sécheresse. Nous nous contenterons de dire que si la géométrie , comme on l'a prétendu avec assez de raison , ne redresse que les esprits droits, elle ne dessèche et ne refroidit aussi que les esprits déjà préparés à cette opération par la nature. Mais une autre question peut-être plus importante et plus difficile , c'est de savoir quel genre d'esprit doit obtenir par sa supériorité le premier rang dans l'estime des hommes ; celui qui excelle dans les lettres , ou celui qui se distingue au même degré dans les sciences. Cette question est décidée tous les jours en faveur des lettres , à la vérité sans intérêt, par une foule d'écrivains subalternes, incapables, je ne dis pas d'apprécier Corneille et de lire Newton , mais de juger Campistron et d'entendre Euclide. Pour nous, plus timides ou plus justes , nous avouerons que la supériorité en ces deux genres nous paraît d'un mérite égal. D'ailleurs, si le littérateur et le bel-esprit du premier ordre a plus de partisans parce qu'il a plus de juges , celui qui recule les limites des sciences a de son côté des juges et des partisans plus éclairés. Qui aurait à choisir d'être Newton ou Corneille ferait bien d'être embarrassé , ou ne mériterait pas d'avoir à choisir.

§ XII. Éclaircissement sur les élémens de Géomélrie. Nous avons déjà donné dans le § ïY des Eclairciàsemeiis .

une esquisse légère du plan suivant lequel ces éle'mens doivent être traiîe's. Mais ce que nous en avons dit alors n'était que par forme d'exemple, et pour faire connaître par une espèce de tableau , emprunte de la science la plus exacte et la plus simple, les ditférens ordres de principes que les sciences renferment ou peuvent renfermer Nous allons ici envisager les élémens de géoméirie pris en eux-mêmes , et proposer quelques réflexions sur 'a meilleure manière de les traiter, et sur les inconvéniens oii l'on peut tomber à ce sujet.

On se plaint, et avec raison, de la disette réelle où nous sommes de bons élémens de cette science , au milieu de la malheureuse et stérile abondance d'ouvrages dont nous sommes inondés en cette partie. Tous les défauts qu'on reproche à ces ouvrages, se réduisent presque uniquement à un seul qui en est ia source coniuiune ; à ce que les idées n'y sont pas placées dans l'ordre naturel qui leur convient. Par là il arrive , ou qu'on suppose ce qui aurait besoin d'être démontré , ou qu'on prouve d'une manière peu rigoureuse ce qui devrait et pourrait être démontré en rigueur, ou qu'on démontre par des voies laborieuses et quelquefois insuffisantes , ce qui pourrait être démontré avec beaucoup plus de simplicité.

Pour placer les idées dans l'ordre naturel, il faut surtout se rendre attentifs aux définitions; non-seulement en y mettant toute la précision possible (ce qui n'a pas besoin d'être recommandé), mais en ne renfermant pas, dans la définition, des idées qu'elle ne doit pas contenir, et qui doivent en être la conséquence. Un exemple fera sentir parfaitement la nécessité du précepte que nous donnons ici , et les inconvéniens auxquels on s'expose en s'en écartant.

Si je veux définir les parallèles , voici, ce me semble, comment je dois m'y prendre pour ne mettre dans cette définition que ce qu'elle doit absolument renfermer. Je supposerai d'abord une ligne droite tirée à volonté ; sur cette ligne j'élèverai en deux points différens deux perpendiculaires que je supposerai égales, et par l'extrémité de ces perpendiculaires j'imaginerai une ligne droite que ]' appellerai parallcle à la ligne supposée. Il faudra déduire de cette définition toutes les propriétés des parallèles ; car elles y sont nécessairement contenues. Il faudra démontrer, *între autres choses , que la ligne parallèle à la ligne supposée , et qui en est également distante dans deux de ses points, a tous ses autres points. également distans de cette ligne; c'est-à-dire, que les perpendiculaires élevées en quelques points que ce soit sur la ligne supposée , et aboutissantes à la M^ne parallèle ^ sont toutes égales aux deux perpendiculaires par l'extrémité des-

DE PHILOSOPHIE. ^^:g

quelles celte parallèle a été tirée. Supposer cette ve'rité sans la démontrer , c'est supposer ce que la définition ne renferme et ne doit renfermer qu'implicitement; car cette déânition ne suppose et ne doit supposer que l'égalité des deux perpendiculaires, dont les extrémités suffisent pour déterminer la position de la parallèle) d'oii il faut conclure et prouver l'égalité de ces perpendiculaires avec toutes les autres. J'ose avancer , et je ne crains point d'être contredit par ceux qui y réfléchiront , que la proposition que nous présentons à démontrer ici , et en général la théorie des parallèles , est un des points les plus difficiles dans les élémens de géométrie ; et j'ajoute que cette théorie serait bien avancée par cette démonstration.

On parviendrait peut-être plus facilement à la trouver, si on avait une bonne définition de la ligne droite; par malheur cette définition nous manque. Il ne paraît pas possible d'eti donner une autre que cella dont presque tous les mathématiciens font usage; mais cette définition, comme nous l'avons dit ailleurs, exprime plutôt une propriété de la ligne droite, que sa notion primitive. Ce n'est pas que je veuille , avec quelques géomètres , chercher cette notion dans l'idée que la vision nous donne de la ligne droite^ en nous apprenant que les points de cette ligne se couvrent les uns les autres , lorsque l'œil se trouve placé dans son prolongement. Celte notion de la ligne droite serait trèspeu géométrique , i°. parce qu'il y a des lignes droites pour un aveugle , et que l'illustre Sanderson entre autres en avait une idée très-distincte sans en avoir jamais vu; 2". parce qu'il serait impossible de savoir que la lumière se répand en ligne droite, si, pour connaître la rectitude d'une ligne, nous n'avions d'autre moyen que d'examiner si les points de cette ligne se cachent les uns les autres , quand l'œil est placé dans son prolongement. Si la lumière se propageait en suivant une ligne circulaire d'une courbure déterminée, et que l'œil fût placé sur la circonférence d'un tel cercle , tous les points de ce cercle se cacheraient les uns les autres, et cependant la ligne sur laquelle ils seraient placés ne serait pas droite.

On ne définirait pas mieux la ligne droite, en disant avec d'autres auteurs que c'est une ligne dont tous les points sont dans la même direction. Car qu'est-ce que direction? Et comment en peut-on avoir l'idée , si on n'a déjà celle de ligne droite?

On est donc comme forcé d'en revenir à la définition ordinaire, que la ligne droite est celle qui est la plus courte d'un point à un autre. Mais il est aisé de sentir que cette définition n'est pas telle qu'on pourrait le désirer. En premier lieu, d'oii sait-on que d'un point à un autre il n'y a qu'un seul chemin qui

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5oit Je plus court? Pourquoi ne pourrait-il pas y en avoir plusieurs, tous diffërenSjtous égaux, et tous les plus courts? On n'est persuadé de la vérité contraire, et on ne la suppose dans la définition de la ligne droite , que parce qu'on a déjà dans l'esprit ou plutôt dans les sens, si je puis parler de la sorte, une notion de la ligrie droite qui renferme implicitement cette vérité. C'est cette notion qu'il faudrait exprimer; mais les termes, et peut-être les idées , nous manquent pour cela. Hoc opiis , hic labor est.

En second lieu, supposons qu'en effet la ligne droite soit le plus court chemin d'un point à un autre, que ce plus court chemin oit unique, et qu'il n'y en ait pas deux égaux; je vois clairement comment on peut conclure de là , que si on veut mener une ligne droite d'un point à un autre, tous les points par lesquels doit passer cette ligne, sont nécessairement donnés , et que la ligne qui joint deux quelconques de ces points, est aussi la plus courte qu'on puisse mener ou imaginer de l'un à l'autre. Mais je ne vois pas avec la même évidence, en parlant de la définition supposée, qu'une ligne droite, tirée par deux points , ne puisse être prolongée que d'une seule manière , ou ce qui revient au même , que deux lignes droites, tirées d'un même point à deu^ autres points , ne puissent pas avoir une partie commune : je ne dis pas (\ue cela ne soit évident, je dis (et je me flatte qu'on en conviendra après y avoir fait attention) que cela ne suit pas évideminent de la définition supposée, mais d'une notion primitive de la ligne droite que nous avons dans l'esprit , sans pouvoir en quelque façon la rendre par des expressions ; idée dont la définition supposée n'est que la suite.

La définition et les propriétés de la ligne droite , ainsi que des lignes parallèles, sont donc l'écueil, et, pour ainsi dire, le scandale des élémens de géométrie. Je ne crains point que les mathématiciens philosophoo taxent de puérilité les réflexions que je viens de faire, puisqu'elles ont pour objet, non-seulement de porter la plus grande précision dans une science dont la précision est l'âme , mais de montrer par des exemples frappans la nécessité et la rareté des bonnes définitions.

On peut faire sentir l'un et l'autre par un nouvel exemple , tiré des mêmes élémens de géométrie, par la définition de l'angle. Pour s'en former une idée nette, il faut nécessairement, et y faire entrer l'idée de Tespace que l'angle renferme, et en même lemps borner cet espace; puisque autrement la grandeur de l'angle dépendrait de celle des lignes qui le comprennent , ce i[ui est contraire à la vraie notion qu'on doit s'en former. Il faut donc supposer un arc de cercle décrit du sommet de l'angle comme centre, et d'un rayon pris à volonté, mais qui soit ton-

jours le même pour quelque angle que ce soit; et on appellera angle l'espace terminé par cet arc de cercle ; par ce moyen on viendra à bout de démontrer avec précision et clarté toutes les propositions qui concernent les angles. Remarquons en passant que la mesure des angles par les arcs de cercle décrits de leuv sommet , est fondée sur l'uniformité du cercle , qui fait que toutes ses parties sont semblables et toujours disposées de la même manière par rapport aux rayons qui y aboutissent ; cette uniformité, qui se prouve par le principe de la superposition, est un point sur lequel on n'appuie jieut-être pas assez dans les élémens ordinaires , et qui est pourtant le principe fondamental de la théorie des angles.

Au reste , la définition de l'angle qu'on vient de donner suppose que les deux côtés de cet angle soient des lignes droites , et non une ligne droite et une ligne courbe, comme seraient un arc de cercle et sa tangente. Ce dernier angle , si on peut lui donner ce nom , a été le sujet d'une grande dispute entre les géomètres , pour savoir s'il était comparable ou non à l'angle rectiligne , c'est-à-dire, formé par des lignes droites. Il est aisé de voir que ce n'est absolument qu'une question de nom. Tout dépend de l'idée qu'on attache en cette occasion au mot angle. Si on entend par ce mot une portion finie de l'espace compris entre la courbe et sa tangente , il n'est pas douteux que cet espace ne soit comparable à une portion finie de celui qui est renfermé par deux lignes droites qui se coupent. Si on veut y attacher l'idée ordinaire de l'angle formé par deux lignes droites, on trouvera , pour peu qu'eu y réfléchisse , que celte idée prise absolument et sans modification, ne peut convenir à l'angle de contingence, parce que dans l'angle de contingence une des lignes qui le forme est courbe. Il faudra donc donner pour cet angle une définition particulière ; et cette définition , qui est arbitraire , étant une fois bien fixée , il ne pourra plus y avoir de difficulté sur la question dont il s'agit. Une bonne preuve que cette question est purement de nom , c'est que les géomètres sont d'ailleurs entièrement d'accord sur toutes les propriétés qu'ils démontrent de l'angle de contingence ; qu'entre un cercle et sa tangente on ne peut faire passer de lignes droites ; qu'on y peut faire passer une infinité de lignes circulaires , et ainsi du reste. Il en est à peu près de la querelle sur l'angle de contingence, comme de la fameuse question des forces vives, où l'on ne dispute que faute de s'entendre (i) , et oii tout le monde est d'accord sur le fond , en différant dans les termes r et c'est à peu près ce qu'on doit

(t) Voyez l'article de la INlccanique, p. agg.

penser Se toutes les discussions métaphysiques qui partagent; quelquefois les mécaniciens et les géomètres.

Si on doit s'attacher , dans les élémens de géométrie , à ne mettre dans les déiinitions que ce qui est nécessaire , pour donner plus de précision et de rigiteur aux propositions qu'on en déduit, il est un autre écuei! qu'on doit éviter avec soin; c'est celui de ne pas développer suffisamment l'idée qu'on doit attacher à certaines expressions. La géométrie, même élémentaire, et toutes les parties des mathématiques font souvent usage d'expressions de cette espèce, qui dans le sens métaphysique qu'elles présentent, paraissent d'abord peu exactes , mais qui ne doivent être regar- <îees que comme des manières abrégées de s'exprimer , que les mathématiciens ont inventées pour énoncer une vérité dont le développement et l'énoncé exact auraient demandé beaucoup de mots. Il faut donc , avant que de faire usage de ces expressions, fixer d'une manière nette et jx'écise la notion qu'elles renferment.

On dit, par exemple, qu'un parallélogramme est le produit de sa base par sa hauteur. Que signifie cette proposition ? Qu'est-ce que le produit de la base par la hauteur , c'est-à-dire, la multiplication d'une ligne par une autre ? Est-ce qu'on multiplie des lignes par des lignes? Non certainement; car dans toute multiplication, une des deux quantités au moins doit être un nombre abstrait; multiplier, c'est prendre un certain nombre de fois une certaine chose ou un certain nombre de choses ; on peut multiplier une ligne par un nombre, par exemple par 3, ce qui signifie qu'on prendra cette ligne trois fois , mais on ne multiplie point une ligne par une ligne ; cette opération ne présente aucune idée nette. Quelques mathématiciens, il est vrai, ont dit que la multiplication d'une ligne par une ligne consistait à prendre une de ces lignes autant de fois qu'il y a de points dans l'autre, ce qui produit une surface. Mais cette notion est sujette à beaucoup de difficultés. Elle suppose que la surface est composée de lignes, et la ligne de points; elle supjîose que pour prendre une ligne autant de fois qu'il y a de points dans une autre, il faut que cette autre ligne soit élevée perpendiculairement' sur la première : car si le coté d'un parallélogramme n'est pas perpendiculaire à la base , alors le parallélogramme n'est plus le produit du côté par la base ; cependant^ suivant les notions que se forment de la surface les mathématiciens que nous combattons, on ne peut disconvenir que dans la surface du parallélogramme la base ne se trouve répétée autant de fois que le côté a de points ; à moins qu'on ne veuille admettre dans une ligne des points plus grands* les uns

que les autres, ce qui jette dans de nouvelles absurdités. Que signifie donc cette proposition , que la mesure d'un parallélogramme rectangle est le produit de sa base par sa hauteur ? Elle signifie que si on suppose la base divisée en un certain nombre de parties égales , par exemple de pouces ou de lignes, et la hauteur en un certain nombre des rncmi'S parties égales, c'est-à-dire de pouces ou de ligii;-s , le rapporf du parallélogramme rectangle au carré de chacune de ses parties, sera égal au rapport que le produit des deux nombres de division de la base et de la hauteur aura avec l'unité. Par exemple, supposons la base divisée en loo lignes ou pouces, et la hauteur en 25 ; le produit de ces deux nombres, qui est 25oo , c'est-à-dire le rapport de ce nombre à l'unité, exprimera le rapport du parallélogramme rectangle au carré fait d'une ligne ou d'un pouce ; ce parallélogramme contenant en effet aSoo petits carrés d'un pouce ou d'une ligue. Ainsi, dire qu'un parallélogramme est le produit de sa base par sa hauteur, c'est une manière abrégée d'exprimer la proposition que nous venons d'énoncer, et dont renonciation rigoureuse et développée aurait demandé trop d'étendue et de circonlocution. Dans les sciences on peut se servir utilement de ces sortes d'expressions abrégées, quoique peu exactes en elles-mêmes : je dis plus; on a besoin, pour ne point trop fatiguer l'esprit, de s'en servir souvent , pourvu qu'on ait soin de bien fixer le sens précis qui doit y être attaché. C'est par malheur ce qu'on ne fait pas toujours, et ce qui peut quelquefois être reproché aux géomètres même.

Il est aisé de conclure de cet exemple et de plusieurs autres qu'on pourrait y joindre, que le mot de niesiirc en mathématique renferme l'idée, d'un rapport implicitement exprimé. Or il est certains rapports qui offrent plus de difficultés que les autres, soit pour en présenter la notion d'une manière bien nette, soit pour les démontrer d'une manière rigoureuse : ce sont les rapports des quantités incommensurables. On dit, par exemple, que la diagonale du carré esta son côté comme la racine carrée de 2 est à i; pour avoir une idée bien nette de la vérité que cette proposition exprime , il faut d'abord remarquer qu'il ri y a point de racine carrée du nombre 2, ni par conséquent de rapport proprement dit entre cette racine et l'unité, ni par conséquent de rapport proprement dit entre la diagonale et le côté d'un carré, ni par conséquent enfin, d'égalité entre c^s rapports , puisqu'il n'y a point proprement d'égalité entre des rapports qui n'existent pas. Mais il faut remarquer, en même temps, que si on ne peut trouver un nombre qui multiplié par lui-même produise 2 , on peut trouver des

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nombres qui multiplies |iar eux-mêmes produisent un nombre aussi approchant de 2 qu'on voudra, soit en dessus, soit en dessous. Or si on a deux nombres quelconques, dont l'un donne un carré plus grand que 2 , mais avec si peu de différence qu'on voudra, et l'autre un carré plus petit que 2, avec si peu de différence qu'on voudra, une ligne qui aurait avec le côté du carré un rapport exprimé par le premier de ces nombres , serait toujours plus grande que la diagonale , et une ligne qui aurait avec le même côté du carré un rapport exprimé par le second nombre, serait plus petite que la même diagonale. Voilà le développement de cette proposition , que la diagonale est au coté du carré comme la racine carrée de 1 est à i.W. en est de même de toutes les autres propositions qui regardent des rapports incommensurables ; et cela suffit pour faire voir quel sens précis on j doit attacher.

Cette facilité qu'on a de représenter les rapports incommensurables, non par des nombres exacts, mais par des nombres qui en ajoprochent aussi près qu'on voudra , sans jamais exprimer rigoureusement ces rapports , est cause que les mathématiciens ont étendu la dénomination de nombre aux rapports incommensurables , quoiqu'elle ne leur appartienne qu'improprement, puisque les mots nombre et nombrcr supposent une désignation exacte et précise, dont ces sortes de rapports ne sont pas susceptibles. Aussi n'y a-t-il proprement que deux sortes de nombres , les nombres entiers comme 2 , 3,4? etc. , et les nombres rompus , on fractions, comme 4, y, ;|, etc., ou |, \^ ^, etc. Les premiers représentent les rapports de deux grandeurs, dont l'une contient l'autre une certaine quantité de fois exactement, comme 2 fois , 3 fois , 4 fois ; les seconds expriment le rapport de deux grandeurs, dont l'une contient exactement une certaine quantité de fois, la moitié, le tiers, le quart, le cinquième de l'autre, et ainsi de suite; les rapports représentés par des nombres rompus peuvent même se réduire très-aisément à des rapports représentés par des nombres entiers ; car quand je dis, par exemple, qu'une ligne est les | d'une autre ligne, c'est comme si je disais que la première ligne est à la seconde dans le rapport du nombre entier 3 au nombre entier 4-

De là il est aisé de voir que si les rapports incommensurables sont regardés comme des nombres , c'est par la raison que s'ils ne sont pas des nombres proprement dits, il ne s'en faut rien , 2)our ainsi dire, qu'ils n'en soient réellement; j^uisque la différence d'un rapport incommensurable à un nombre proprement dit, peut être aussi j^etite qu'on voudra.

Deux autres raisons ont fait ranger les rapporls iiicomraen-

surables parmi les nombres : la première, c'est que ces rapport* ont plusieurs propriétés qui leur sont communes avec les nombres, et peuvent être soumis à plusieurs égards à un calcul semblable à celui des nombres, comme nous le verrons plus en détail dans les deux paragraphes suivans ; la seconde , c'est que si on veut donner au mot nombre une idée plus étendue que celle qu'on lui donne ordinairement , et qui ne renferme proprement que les nombres entiers et \t?> fractions , alors les rapports incommensurables peuvent y être compris, puisque ces rapports, quoiqu'ils ne puissent pas être désignés rigoureusement par l'arithmétique, peuvent être, sinon exprimés, au moins représentés par la géométrie ; par exemple , le rapport de la racine carrée de 2 à l'unité , lequel ne peut être exprimé aritJnnétiquement^ peut être représenté ^éomélriquemeiit , par le rapport de la diagonale du carré à son côté. Il en est de même d'une infinité d'autres rapports incommensurables , que la géométrie rej^résente aisément par les rapports de certaines lignes ; par exemple, la racine carrée de 3 peut être représentée par le rapport du double de la hauteur d'un triangle équilatéral au côté du même triangle ; celle de 5 par le rapport de la diagonale d'un parallélogramme rectangle au petit côté de ce même parallélogramme , en supposant la base double de la hauteur ; et ainsi de mille autres exemples de cette espèce qu'on pourrait multiplier à l'infini. Cette remarque sur la possibilité de représenter les rapports incommensurables par la géométrie , iion> sera utile dans la suite pour faire connaître quel est l'avantage de l'application de l'analyse à cette science. C'est ce qu'on verra plus bas dans un article particulier ; mais il est nécessaire de donner auparavant quelque idée du calcul algébrique. ( Voyez V article Algèbre, p. 260 , et /'Éclaircissement , § XI, p. 263. ;

§ XIII. Eclaircissement sur V application de V algèbre à Ic^ géométrie , p. 274-

Pour se faire une idée de cette application , et en comprendre les avantages , il faut se rappeler les principes suivans.

La géométrie est, comme nous l'avons dit ailleurs, la science des propriétés de l'étendue, considérée simplement en tant qu'étendue et figurée. ^

Ces propriétés consistent en grande partie dans le rapport qu'ont entre elles les différentes parties de l'étendue figurée.

Par conséquent , un des grands objets de la géométrie est de connaître et de calculer le rapport des lignes les unes avec les autres, celui des surfaces entre elles, et celui dessolides entre eux.

Ces rapports peuvent être , ou exprime's par des nombres , ou incommensurables.

Le rapport des surfaces, ou pour abre'ger, les surfaces mêmes, peuvent être représentés , comme nous l'avons expliqué plus haut, par le produit de deux lignes, en regardant ces lignes comme exprimées par des nombres qui en indiquent le rapport.

Il n'est pas même nécessaire que le rapport de ces lignes soit commensurabl^ et quel qu'il soit, le produit des quantités qui expriment ce rapport représentera la surface.

De même et par la même raison un solide ou corps géométrique , ayant les trois dimensions , peut être représenté par le produit de trois lignes, c'est-à-dire de trois quantités, dont le rapport soit le même que celui de ces lignes.

Or les caractères algébriques désignant également bien , soit les noiîibres , soit les rapports incommensurables, comme on l'a \u ci-dessus, ces caractères peuvent servir parfaitement à représenter les lignes , en sorte que le produit de deux caractères algébriques peut exprimer une surface , celui de trois un solide , etc.

Par conséquent les opérations qu'on pourra faire sur ces caractères , les rapports qu'on y découvrira , en un mot les vérités qu'on pourra tirer de leur combinaison par des opérations algébriques , exprimeront , étant traduites du langage algébrique en langage géométrique , des vérités qui seront relatives au rapport des lignes , des surfaces et des solides.

Par la même raison , les opérations algébriques qui servent à résoudre les questions qu'on peut proposer sur les nombres , serviront aussi à résoudre les questions géométriques qu'on peut proposer sur le rapport des lignes, des surfaces et des solides; et par conséquent en général à résoudre la plupart des questions qui ont rapport à cette science. En effet , ces questions étant analysées , se réduisent pour l'ordinaire à trouver certains rapports entre certaines lignes, certaines surfaces, certains solides; puisque la plupart des propriétés des figures consistent, ou dans le rapport qu'il y a entre quelques unes de leurs parties, déterminées d'une certaine manière , ou dans le rapport de certaines lignes tirées dans ces figures , ou dans le rapport de ces figures , prises dans leur enlier ou par parties , avec d'autres figures aussi prises dans leur entier ou par parties , et ainsi du reste.

Toutes ces considérations suiïiraierft* pour faire sentir l'usage et l'utilité de l'application de l'algèbre à la géométrie. Mais il est surtout une branche de cette science , oii l'analyse algébrique est extrêmement utile ; c'est la théorie des courbes.

Pour s'en convaincre , il faut considérer d'abord la manière

dont on détermine la nature d'une courbe. On rapporte les

Cl ^.^^^ points de cette courbe CABQ par des

^\ . lignes AD, BE, QO, qu'on appelle or-

1^1 \ données , à une ligne droite fixe et indéfi-

I \ ^ nie CR tirée dans le plan de cette courbe,

\ et sur laquelle ces lignes AD, BE, QO,

\ sont perpendiculaires ; les parties CD , CE,

O ÏQ CO, de la ligne CR, s'appellent les abs-

1 ci s s es.

On sent bien que , puisque la nature de la courbe CABQ est déterminée, la longueur de chaque ordonnée D A, doit être déterminée par rapport à l'abscisse correspondante CD, puisque c'est la longueur plus ou moins grande DA de cette ordonnée qui donne par son extrémité le jioint correspondant A de la courbe. La nature de la courbe consiste donc dans un certain rapport, une certaine loi qui s*observe entre chaque ordonnée, comme D A, et l'abscisse C D correspondante. Par exemple , dans la courbe appelée parabole , le carré de chaque ordonnée est égal au parallélogramme rectangle qui aurait pour hauteur l'abscisse correspondante , et pour base une ligne toujours la même, appelée paramètre : si donc on suppose que cette ligne toujours la même soit appelée a, que chaque abscisse soit appelée x , et l'ordonnée correspondante j", le carré de j' sera égal au produit de a par .r, ce qui s'exprime algébriquement en cette sorte yj'- = ax. C'est là ce qu'on appelle V équation de la courbe , dont tous les points, comme l'on voit, sont déterminés par cette écjuation. Il en est de même de toutes les autres courbes; elles ont chacune leur équation particulière, qui sert à déterminer leurs points ; et ces équations, dont l'invention est due à Descartes , sont une des branches les plus belles et les plus fécondes de l'application de l'algèbre à la géométrie.

Ayant l'équation entre les j et les x , c'est-à-dire entre les ordonnées et les abscisses , l'algèbre enseigne à en déduire l'équation entre les différences des abscisses et celle des ordonnées ; or nous ferons voir dans la section sur les principes niétaphjsiques du calcul infinitésimal, comment la connaissance du rapport entre ces différences donne la limite de ce rapport , comment cette limite donne les tangentes de la courbe , et en général comment ce calcul i^Ç'.i limites des rapports est la clef du calcul différentiel et intégral. Nous n'en pourrions dire davantage , ni nous faire entendre sur les détails oîi nous entrerions à ce sujet, sans donner un traité complet d'algèbre , de géométrie et de calcul infinitésimal \ ce qui n'est pas ici notre objet , et qui a

d'ailleurs été exécuté dr.ns un grand nombre d'ouvrages. Ce que nous nous sommes proposé ici , c'est 5eu!eà]uent de présenter sur l'algèbre et son application à la géométrie des notions simples , nettes et précises, à des personnes à qui d'antres occupations ne permettent pas de s'appliquer à ces sciences et à' en faire leur objet. JNous croyons que le peu que nous avons dit suffira pour leur donner ces notions, et pour leur fniie sentir l'usage et l'utilité de l'analyse mathématique dans la science des propriétés de l'étendue.

§ XIV. Eclaircissement sur les principes mêtaphjsiques du calcul infini it sirnal , p. 2^5.

Pour se former des notions exactes de ce que \^ géomètres appellent calcul infinitésimal , il faut d'abord fixer d'une manière bien nette l'idée que nous avons de l'infini.

Pour peu qu'on y réfléchisse , on verra clairement que cette idée n'est qu'une notion abstraite. Nous concevons une étendue finie quelconque, nous faisons ensuite abstraction des bornes de cette étendue , et nous avons l'idée de l'étendue infinie. C'est de la même manière , et même de cette manière seule , que nous pouvons concevoir un nombre infini, une durée infinie, et ainsi du reste.

Par cette définition ou plutôt cette analyse , on voit d'abord à quel point la notion de Finjuii est ])our ainsi dire vague et imparfaite en nous; on voit qu'elle n'est proprement que la notion d'indéfini, pourvu qu'on entendepar ce mot une quantité vague à laquelle on n'assigne point de bornes , et non pas , comme on le peut supposer dans un autre sens , une quantité à laquelle on conçoit des bornes sans pourtant les fixer d'une manière précise.

On voit encore par cette notion que Vinfmi , tel que l'analyse le considère, est proprement la limite du fini, c'est-à-dire le terme auquel le fini tend toujours sans jamais y arriver, mais dont on peut supposer qu'il approche toujours de plus en plus quoiqu'il n'y atteigne jamais. Or c'est sous ce point de vue que la géométrie et l'analyse bien entendues considèrent la quantité infinie ; un exemple servira à nous faire entendre.

Supposons celte suite de nombres fractionnaires à l'infini , f ? i? i? ri? ^t^- > ^t ^^"^^ ^^ ^^"'^^' ' ^'"^ diminuant toujours de la moitié : les mathématiciens disent et prouvent que la somme de cette suite de nombres, si on la suppose poussée à i'miini , est égale à i. Cela signifie, si on veut ne parler que d'ajuès des idées claires , que !e nombre i est la hmite de la somme de cette suite de nombres ; c'est-à-dire, que plus on prendra de nombres

dans celle suite, plus la somme de ces nombres approchera tl'etre égale à i , et qu tille poiuTa cii approcher aussi pies qu'on voudra. Cette dernière condition est nécessaire pour compléter vjl'idee attachée au mot limile. Car le nombre 2., par exemple , n'est pas la limite de la somme de celte suite, parce (jne, quelque nombre de termes qu'on y prenne, la somme à la vérité approchera toujours de plus ea plus du nombre ?, , mais, ne pourra en approcher aussi près qu'on voudra, puique la différence sera toujours plus grande que l'unité.

De même quand onditc[uelasoramede cette suite 2, 4, 8, 16. etc. ou de toute autre qui va en croissant, est infinie . on \eut dire que plus on prendra de termes de celte suite , plus la somme «n sera grande , et qu'elle peut être égale à un nombre aussi grand qu'on voudra.

Telle est la notion qu'il faut se former de Vmfini , au moins par rapport au point de vue sous lequel les mathématiques le considèrent ; idée nette , simple , et à l'abri de toute chicane.

Je n'examine point ici s'il y a en effet des quantités infinies actuellement existantes ; si l'espace est réellement infini ; si la durée est infmie ; s'il y a dans une portion finie de matière un nombre réellement infini de particules. Toutes ces questions sont étrangères à l'infini des mathématiciens , qui n'est absolument , comme je viens de le dire , que la limite des quantités finies ; limite dont il n'est pas nécessaire en mathématiques de supposer l'existence réelle ; il suffit seulement que le fini n'y atteigne jamais.

La géométrie , sans nier l'existence de l'infini actuel , ne suppose donc point , au moins nécessairement, l'infini comme réellement existant ; et celte seule considération suffit pour résoudre un grand nombre d'objections qui ont été proposées sur l'infini mathématique.

On demande , par exemple , s'il n'y a pas des infinis plus grands les uns que les autres, si le carré d'un nombre infini n'est pas infiniment plus grand que ce nombre? La réponse est facile au géomètre : un nombre infini n'existe pas pour lui, an moins nécessairement; l'idée de nombre infini n'e>t pour lui qu'une idée abstraite, qui exprime seulement une limile intellectuelle à laquelle tout nombre fini n'atteint jamais.

Quand on parle en géométrie d'infinis du second et iu troisième ordre , il est aisé d'attacher des notions nettes à ces expressions , sans se jeter dans une métaphysique obscure et contentieusc. Si on dit, par exemple , lorsque telle ligne devient infinie , telle autre ligne qui en dépend est infinie du second ©rdre, cela signifie que le rapport de la seconde ligne à la pre- I. 19

ago ÉLÉMENS

luière (en les supposant toutes deux finies) est d'autant plus grand que celte première est plus grande ; et que ce rapport peut être supposé plus grand qu'aucun nombre fini qu'on voudra assigner. •*

Si on dit que la seconde ligne est infinie du troisième ordre , cela signifie, en s'exprimant nettement, que le produit de la seconde ligne , par une ligne finie quelconque , est d'autant plusgrand par rapport au carré construit sur la première , que cette première est plus grande ; et que le rapport peut être plus grand qu'aucun rapport fini.

De mêine, quand on dit qu'une courbe est un polygone d'une infinité de côtés , on veut dire que cette courbe est la limite des polygones qu'on peut lui inscrire et lui circonscrire , c'est-k-dire que pi us ces polygones auront de côtés, plus ils approcheront d'être égaux à la courbe , dont on peut supposer qu'ils diffèrent aussi peu qu'on voudra , en augmentant à volonté le nombre de leurs côtés.

C'est ainsi qu'on peut attacher des notions nettes , simples et "précises , aux expressions dans lesquelles entrent le terme ou l'idée à^injini. Ces expressions , si communes dans la haute géométrie , sont dans la classe de plusieurs autres que nous offre cette science , ainsi que nous l'avons déjà observé plus haut (i) ; expressions , qui , comme nous l'avons dit , dans le sens métaphjsique quelles présentent , paraissent peu exactes ; mais qui ne doii'ent être regardées que comme des manières abrégées de s'exprimer , que les mathématiciens ont inventées pour énoncer une vérité ^ dont le développement et V énoncé exact auraient demandé beaucoup plus de mots.

Ce que j'ai dit sur la quantité infinie , je le dis de même de la quantité infiniment petite. Le calcul de l'infini ne suppose point l'existence de ces sortes de quantité. Il est nécessaire de développer celte idée.

Je veux , par exemple , trouver la tangente d'une courbe C AB au point A. Je prends d'abord deux points à volonté A , B, sur cette ligne courbe , et par ces deux points, je tire une ligne droite AB, indéfiniment prolongée vers Z et vers X, laquelle coupe la courbe , comme cela est évident; j'appelle cette ligne une .vecante; j'imagine ensuite une ligne fixe ^ CE, placée à volonté dans le plan sur lequel est tracée la courbe; et par les deux points A, B, quç (0 Voyez le § XII, sur le» Élcmens de Geome'uie, p. 277.

fai pris sur la courbe, je mène des ordonnées AD, BE, perpendiculaires à ceUe ligne fixe CE, rpie ponr abréger j'appelle Vaxe de la courbe. Il est d'abord évident que la posilion de la sécante est déterminée par la distance DE des deux ordonnées €t par leur dilïérence BO; en sorte que, si on connaissait cette distance et cette dilTéreiice, ou même le rapj^ort de !a dis'ance des ordonnées à leur différence , on aurait \n position de la sécante. Imaginons à jDrésent que des deux points A , B , que nous avons supposés sur la courbe, il y en ait un, prjr exemple B, qui se rapproche continuellement de l'autre poiot A; et que par cet autre point A, qu'on suppose fixe, on ait tiré une tangente AP à la courbe; il est aisé de voir que la sécante AB, tirée par ces deux points A, B, dont l'un est supposé se rapprocher de plus en plus de l'autre, approchera continueliement de la tangente , et enfin deviendra la tangente même , lorsque les <Ieux points se seront confondus en un seul. La tangente est donc la limite des sécantes, le terme dont elles approchent de plus en plus, sans pourtant jamais y arriver tant qu'elles sont sécantes, mais dont elles peuvent approcher aussi près qu'on voudra. Or nous venons de voir que la position delà sécante se détermine par le rapport de la différence BO des ordonnées, à leur distance DE. Donc si on cherche la limite de ce rapport, c'est-àdire la valeur dont ce rapport approche toujours de plus en plus à mesure que l'une des ordonnées s'approche de l'autre , cette limite donnera la position de la tangente, puisque la tangente est la limite des sécantes.

En quoi consiste donc le calcul qu'on appelé différentiel? A trouver la limite du rapport entre la diitérence finie de deux quantités, et la différence finie de deux autres quantités, qui ont avec les deux premières une analogie dont la loi est connue.

Il est évident que plus chacune de ces différences es\ petite, plus leur rapport approche de la limite qu'on cherche. Il est de plus évident que tant que ces différences ne sont pas absolument nulles , le rapport n'est pas exactement égal à cette limite; et que lorsqu'elles sont nulles , il n'y a plus de rapport proprement dit: car il n'y a poinC de rapport entre deux choes qui n'existent point; mais la limite du rapport que ces différences avaient entre elles lorsqu'elles étaient encore quelque chose , cette limite n'est pas moins réelle ; et c'est la valeur de cette limite qui conduit, comme nous l'avons vu, à déterminer la position de la tangente.

Pour faire entendre par un exemple ce que je viens de dire sur la limite des rapports , je suppose deux quantités dont la seconde soit égale au double de la première plus au carré de

cette première ; il est évident 1°. que le rapport de la seconde à la première sera toujours plus grand que le nombre Jewx, tant que la première et la seconde auront quelque valeur ; 0.^. que le rapport de la seconde à la première approchera d'autant plus d'être égal à deux , que cette première sera plus petite , et que ce rapport peut approcher aussi près qu'on voudra du nombre deux , en prenant la première quantité aussi petite qu'il le faudra. D'oii il s'ensuit que le nombre 2 est la limite du rapport de ces deux quantités ; lorsque la première des deux quantités devient nulle , la seconde devient aussi évidemment nulle ; et il est vrai de dire qu'elles n'ont alors proprement aucun rapport, mais il n'est pas moins vrai ni moins évident que 2 est la limite de leur rapport tant qu'elles sont quelque chose.

Comme le rapport des différences approche d'autant plus de sa limite , que ces différences sont plus petites , c'est pour cette raison qu'on suppose la limite du rapport représentée par le rapport des différences infiniment petites. Mais encore une fois ce rapport de différences infiniment petites n'est qu'une façon abrégée d'exprimer une 'notion plus exacte et plus rigoureuse , la limite du rapport des différences finies. Car les différences. infiniment petites, ou n'existent pas réellement , ou du moins n'ont pas besoin d'être supposées réellement existantes , pour cléterminer rigoureusement et exactement cette limite.

Quelques mathématiciens ont défini la quantité infiniment petite 5 celle qui s'évanouit , considérée non pas avant quelle s'évanouisse , non pas après qu'elle est évanouie , mais dans le moment inéme ou elle s'évanouit. Je voudrais bien savoir quelle idée nette et précise on peut espérer de faire naître dans l'esprit par une semblable définition? Une quantité est quelque chose ou rien ; si elle est quelque chose , elle n'est pas encore évanouie ; si elle n'est rien , elle est évanouie tout-à-fait. C'est une chimère que la supposition d'un état moyen entre ces deux-là.

Ce que nous avons dit plus haut des infinis de différens ordres , s'applique de soi-même aux différens ordres d'injïniment petits. Quand on dit qu'une quantité est infiniment petite du second ordre , c'est-à-dire infiniment petite par rapport à une quantité qui est déjà infiniment petite elle-même , cela signifie seulement que le rapport de la première de ces quantités à la seconde est toujours d'autant plus petit que cette seconde quantité est supposée plus petite , et que le rapport peut être supposé aussi petit qu'on le veut , eu imaginant la seconde quantité assea petite pour cela.

De même, une quantité infiniment petite du troisième ordre, est "celle dont le produit par une quantité finie est d'autant plus petit par rapport au carre d'une autre quantité , que cette dernière est supposée plus petite ; de manière que ce rapport peut être supposé aussi petit qu'on voudra.

Par ces principes il est aisé de voir l'utilité du calcul différentiel pour découvrir la nature et les propriétés des courbes. Car le principe de ce calcul consistant à regarder les courbes comme la limite des polygones , il est clair que les quantités unies dont le rapport déterminerait les propriétés de ces polygones , deviennent nulles dans les courbes ; et qu'au lieu du rapport de ces quantités, c'est la limite de leur rapport que le calcul différentiel détermine , pour trouver par ce moyen les propriétés des courbes , considérées comme limite des polygones.

D'après cette notion , on voit que le calcul différentiel ne donne, pour ainsi dire , les propriétés d'une courbe qu'à chaque point , puisqu'il se borne à donner en chaque point la limite du rapport de certaines quantités qui s'évanouissent dans la courbe, et qui sont finies dans le polygone.

Le calcul différentiel est la première branche du calcul infinitésimal ; la seconde s'appelle le calcul intégral. Nous venons d'expliquer en quoi consiste le calcul différentiel. Que fait le calcul intégral? 11 donne le moyen de remonter, lorsque cela se peut , de la limite du rapport entre les différences des quantités finies , au rapport même de ces quantités. En assignant ce dernier rapport , il conduit autant qu'il est possible à la connaissance de la courbe dans telle étendue finie qu'on peut juger à propos , en fournissant le inoyen d'inscrire à cette courbe tel polygone qu'on voudra , ou , ce qui revient au même , de connaître les propriétés de ce polygone et la position de ses côtés.

Comme il n'y a point de problème , susceptible de l'application des calculs différentiel et intégral , qu'on ne puisse réduire à la détermination d'une courbe , et à la connaissance de ses propriétés , il s'ensuit que ce qu'on vient de dire pour faire connaître la métaphysique de ces calculs et leur usage dans la recherche des propriétés des courbes , s'applique aisément à toute autre question susceptible de l'application des mêmes calculs.

En voilà donc assez pour ceux qui ne veulent avoir sur cet objet que des notions générales, mais exactes.

^9/f ÉLÉMENS

§ XV. Eclaircissement sur Vusage et sur Vabus de la métaphjsi(]ue en géométrie , et en général dans les sciences mathé" ma tiques , page 276.

La métapliysique , selon le point de vue sous lequel on l'envisage , est la plus satisfaisante ou la plus futile des connaissances humaines ; la plus satisfaisante quand elle ne considère que des objets qui sont à sa portée, qu'elle les analyse avec netteté et avec ])récision , et qu'elle ne s'élève point dans cette analyse au-delà de ce qu'elle connaît clairement de ces mêmes objets ; la plus futile, lorsque, orgueilleuse et ténébreuse tout à la fois, elle s'enfonce dans une région refusée à ses regards , qu'elle disserte sur les attributs de Dieu , sur la nature de l'âme , sur la liberté , et sur d'autres sujets de cette espèce , où toute l'antiquité philosophique s'est perdue , et ou la philosophie moderne ne doit pas espérer d'être plus heureuse. C'est de cette science de ténèbres qu'un grand monarque disait il y a peu de temps , dans une lettre digne d'être lue par tous les philosophes et par tous les rois : lin y a point assez de données enmétaphjsique ; nous créons les principes que nous appliquons à cette science , et ils ne nous sen'ent quà nous égarer plus méthodiquement ; ce qui me persuade de plus en plus que la façon dont existe VKtrc suprême , la manière dont cet univers a été formé , la nature de ce qui se passe en nous , sont des choses qu'il ne nous importe pas de connaître , sans quoi nous les connaîtrions . Pour^ni que Vhomme sache distinguer le bien et le mal, qu'il ait un penchant déterminé pour Vun et de l'aversion pour l'autre ; pounni qu'il •soit assez maUre de ses passions pour qu'elles ne le tyrannisent pas , et ne le précipitent point dans l'infortune , c'est , je crois , assez pour le rendre heureux ; le reste des connaissances métapljsiques , dont on s'efforce en vain d'arracher le secret à la nature , ne nous serviî^ait qu'à contenter notre curiosité insatiable, autant cpi elles seraient d'ailleurs inutiles à notre usage ; . l'homme jouit , il est fait pour cela ; que lui faut-il dai^antage ?

Ce n'est donc pas de cette métaphysique couverte de nuages qu'il sera question ici , mais d'iaie métaphysique plus faite pour nous, yjlus terre à terre, de celle qu'on peut porter dans les sciences naturelles , et principalement dans la géométrie et les diiféreutes parties des mathématiques.

A proprement parler, il n'y a point de science qui n'ait sa métaphjsique , si on entend par ce mot les principes généraux sur lesquels une science est appuyée , et qui sont comme le germe des vérités de détail qu'elle renferme et qu'elle expose ; principes d'oii il faut partir pour découvrir de nouvelles vérités

ou auxquels il est nécessaire de remonter pour mettre au creuset les vérités qu'on croit découvrir.

Cependant comme le mot métaph/ysique ne doit s'appliquer proprement, et suivant son sens véritable, qu'aux objets immatériels , on ne donne point proprement de partie métaphysique aux sciences qui ont des objets palpables et sensibles : c'est par cette raison que la médecine , la pharmacie , la botanique , la chimie n'ont point de métaphysique , par la même raison , la physique particulière y qui entre dans le détail des propriétés des corps matériels , n'en a pas non plus ; mais la. phjsi'qite gé^ nérale en a une , parce que cette physique a pour objet des choses abstraites, comme l'espace en général , le mouvement et le temps en général , les propriétés générales de la matière. La grammaire a de même sa métaphysique, en tant qu'elle analyse les idées dont les mots ne sont que les exj^ressions ; la musiquç a la sienne , en tant qu'elle remonte aux sources du plaisir que l'harmonie et la mélodie nous causent. Enfin la géométrie , qui s'occupe , comme la physique générale , des propriétés de l'étendue abstraite , mais de l'étendue en tant que yF^wree, au lieu que la physique générale la considère en tant que divisible et mobile , la géométrie , dis-je , a aussi sa métaphysique comme la physique générale ; c'est de cette dernière métaphysique qu'il est ici principalement question.

En toutes choses, dit la morale pratique, il faut considérer la fin; en toutes choses, dit la saine métaphysique spéculative , il faut considérer le principe. Or quel est le principe de la géométrie ? La nature de l'étendue , non pas peut-être telle qu'elle est , mais telle que nous la concevons , c'est-à-dire comme composée de parties semblables entre elles , et comme étant susceptible de trois dimensions , que nous pouvons considérer , ou toutes ensemble , ou deux à deux , ou chacune séparément.

Le premier usage de la métaphysique en géométrie, est de donner d'après cette notion des idées claires du solide , de la surface , de la ligne ; Vabus serait de disserter sur la nature de l'étendue, sur l'existence du point mathématique, qui n'est qu'une abstraction de l'esprit, sur la nature de la ligne droite qu'il nous est si difficile de bien définir , quoique nous la connaissions assez par sa propriété principale pour en déduire évidemment toutes les autres. Voyez à ce sujet nos réflexions précédentes sur les E'émens de géométrie ^ § XÏI.

\2usage et Vabus de la métaphysique en géométrie peuvent aussi se faire sentir tout à la fois dans la manière de traiter certaines questions qui ont partagé les géomètres, par exemple, daus celle de Y angle de contingence , dont nous avons parlé plus

liant : on verra Vahus de la mëtaphysicpie dans les difTicultes dont o'i a embrouillé cette question , faute d'avoir fixé nette- ■n^ex\^ l'idée qu'on devait attacher au mot angle ^ on apercevra V rsage de la métaphysique dans l'examen de la véritable idée qu'on doit attacher à ce mot , examen au moyen duquel toute cette controverse se réduit à une question de nom. Nous avons déjà remarqué , à l'occasion de cette controverse même , que ce rCeA pas le seul exemple de pareilles disputes élevées dans le sein df's mathématiques , et qui , au grand scandale de l'évidence dont cette science se glorifie , ont partagé quelquefois les savans les plus éclairés et les plus célèbres.

Uusage et Vabiis de la métaphysique peuvent encore avoir lîeu dans la solution de certains problèmes ; on tombe dans Vabus , en voulant employer les raisonnemens métaphysiques à résoudre des questions pour lesquelles nous avons un guide plus sur , le calcul et l'analyse qui ne peuvent nous égarer, au lieu qu'une métaphysique vague et hasardée , quelquefois même une métaphysique claire et simple en apparence , peut nous égarer souvent. Qu'on demande , par exemple, quelle est la ligne qu'un. Corps pesant doit décrire pour aller d'un point donné à un autre point donné dans le temps le plus court qu'il est possible ; un métaphysicien , surtout s'il avait le malheur d'être un peu géomètre, répondrait tout d'un coup, et sans hésiter, que la ligue qu'on cherche est une ligne droite; parce que cette ligne étant la plus courte de toutes , doit par conséquent être parcourue en moins de temps qu'aucune autre. Le métaphysicien se tromperait ; une analyse exacte fait voir que la ligne cherchée est une courbe. Mais que peut faire la métaphysique, et en quoi consiste ici son véritable usage 7 Elle peut , quand le problème est résolu, éclairer l'esprit jusqu'à un certain point sur le résultat de la solution , dissiper le paradoxe auquel cette solution semble conduire , faire connaître comment il est possible qu'une certaine ligne courbe, quoique plus longue que la ligne droite, soit néanmoins parcourue en moins de temps.

La métaphysique peut faire encore plus ; elle peut même , non yjas faire trouver la solution des problèmes , mais faire entrevoir en plusieurs cas la route qu'on doit suivre pour arriver à cette solution ; elle y parvient par un examen attentif des circonstances de la question proposée. Par exemple , dans celle dont il s'agit, elle nous montre que la propriété d'être la courbe de la plus vile descente, doit avoir lieu non-seulement dans la courbe prise en total , mais dans chacune de ses parties infiniment petites ; d'oii l'on voit que la question se réduit à trouver ime courbe dont chaque partie infiniment petite soit parcourue

clans un temps plus court que toute autre petite partie cle courbe p-T-^sant par les mêmes extrémités ; dès lors la voie est , pour ainsi dire, ouverte au calcul , et le problème est réduit à une pure (!{uestion d'analyse. On peut voir ce que nous avons dit sur cela dans l'Eloge de M. BernouUi , à l'occasion de cette question même, dans nos Mélanges ; nous avons tâché d'y exposer tout à la fois Vusnge et Vaùus qu'on peut faire de la métaphysique dans cette question, envisagée même sous divers autres points de vue-, un tel exemple sera plus utile pour faire sentir cet a/jus et cet usage , que des préceptes généraux sans application. Enfin Vii.sage etVabus de la métaphysique en géométrie peuvent surtout avoir lieu dans deux parties considérables de cette dernière science , dans l'application de l'analyse à la géométrie , et dans le calcul infinitésimal.

Nous l'avons déjà dit ailleurs, une métaphysique aussi fine que vraie a présidé à l'invention du calcul algébrique , de l'application de ce calcul à la géométrie, et surtout du calcul infinitésimal. Cette métaphysique lumineuse et simple, qui a guidé les inventeurs , leur a fait imaginer des formules ou façons abrégées de s'exprimer, dans lesquelles toute cette métaphysique est, pour ainsi dire, enveloppée; mais ces signes abrégés ont cela de commode, qu'ils réduisent presque toute la science à des opérations purement mécaniques. Ces opérations sont k la métaphysique qui a guidé les inventeurs , ce que les règles usuelles de la grammaire sont à la métaphysique des idées d'après lesquelles ces règles ont été établies ; métaphysique qui ne peut être connue et sentie que par les philosophes , au lieu que les règles qui en sont le résultat sont à la portée de la multitude , et destinées à son usage. De ïnême , dans les arts mécaniques , l'esprit et le génie des inventeurs se trouve , si on peut parler de la sorte , réduit et concentré dans un petit nombre d'opérations manuelles , d'autant plus admirables , que leur simplicité les met à portée d'être exécutées par les mains les plus grossières, par des hommes bien éloignés de se douter de l'esprit qui met leurs doigts en mouvement ; à peu près comme le corps est guidé par une âme qu'il ne connaît point.

C'est donc cette métaphysique primitive , que le philosophe doit chercher dan*, les opérations algébriques , dans l'application de ces opérations à la géométrie, et dans le calcul infinitésimal. Pour y parvenir et ne s'égarer jamais , il doit toujours avoir devant les yeux cette grande vérité , que la métaphysique qu'il cherche doit être aussi simple et aussi lumineuse que les opérations qui en sont le résultat sont sûres et faciles ; parce qu'il eût été impossible que des principes obscurs et alambiqués eussent

conduit à des conséquences qui ne le fussent pas. Un géomètre €{ui par de vaines subtilités métaphysiques obscurcirait la géométrie , mériterait d'être appelé le Scot des mathématiques , et avec bien plus de raison que les argumentateurs scolastiques ne méritent ce nom en philosophie ; car souvent ces derniers embrouillent par leurs subtilités ce qui était déjà très-obscur par soi-même ; celui-là embrouillerait par les siennes ce qui peut être réduit à des notions claires.

On trouvera , je pense , le caractère de lumière et de simplicité que nous désirons , dans les notions métaphysiques que nous avons données ci-dessus de la nature des opérations algébriques, de celle des rapports incommensurables , et surtout de celle des quantités négatives , sur lesquelles tant de géomètres demi-philosophes se sont formé des idées si fausses (i).

Mais c'est principalement dans le calcul infinitésimal que Vusage et Vabus de la métaphysique peuvent se faire également sentir. Nous le disons avec peine , et sans vouloir outrager les mânes d'un homme célèbre qui n'est plus; il n'y a peut-être point d'ouvrage oii l'on trouve des preuves plus fréquentes de V abus àonl nous parlons , que dans l'ouvrage très-connu de M. de Fontenelle , qui a pour titre : Eléjnens de la géométrie de Vinfini ; ouvrage dont la lecture est d'autant plus dangereuse aux jeunes géomètres , que l'auteur y présente ses sophismes avec une sorte d'élégance, et, pour ainsi dire, de grâce, dont le sujet ne paraissait pas susceptible. Il semble que les ouvrages géométriques de ce philosophe soient destinés à produire , sur les jeunes gens qui entrent dans la carrière des sciences, le même effet que ses ouvrages de belles-lettres sur les jeunes littérateurs ; celui d'égarer les uns et les autres par des défauts d'autant plus propres à séduire, qu'ils se trouvent, et agréables par eux-mêmes , et joints d'ailleurs à des beautés réelles. La grande source des erreurs de M. de Fontenelle est d'avoir voulu réaliser l'infini, et conséquemment en faire la base réelle de ses calculs ; au lieu de le regarder , ainsi que nous l'avons fait (2) , comme la limite à laquelle le fini ne peut jamais atteindre , et de chercher dans cette notion si simple et si vraie l'explication des paradoxes que les résultats de ce calcul semblent présenter. Voici le raisonnement de l'illustre secrétaire de l'Académie des sciences pour établir l'existence réelle de la grandeur infinie :

(i) J'ai donne dans mes Opuscules mathématiques, t. i , p. 204, la vraie raison , si je ne me trompe, du principe de la multiplication des signes dans les •jnantite's négatives. Je ne connais aucun algebristequiait pense à cette raison, que je crois cependant la ve'ritable, ne fût-ce que par son cxticme simplicité.

(1) Voyez rcclaircisscment sur les principes Wt'tapbysiq^ucâ du calcul in-fitiitésimal j dans le paragraphe procèdent.

DE PHILOSOPHIE. sgcj

La grandeur , dit-il, est susceptible d'augmentation sans Jin. Elle nest donc pas et ne peut être supposée dans le même cas que si elle n'était jjas susceptible d'augmentation sans Jin: or, si elle n^ était pas susceptible d'augmentation sans fin , elle res^ terait toujours finie ; donc étant susceptible d'augmentation sans fin ^ elle peut être supposée infinie. 11 est aisé de répondre que la différence entre la grandeur susceptible d'augmentation sans fin, et la grandeur qui ne le serait pas, ne consiste point en ce que la seconde resterait toujours finie , au lieu que la première peut être supposée infinie,; mais en ce que la seconde reste finie sans pouvoir passer certaines limites , au lieu que la première peut être supposée aussi grande qu'on voudra , en demeurant néanmoins toujours finie.

Aussi quel a été le fruit du principe hasardé d'oli notre illustre philosophe est parti? De le mener à des conséquences dont l'absurdité aurait du lui ouvrir les yeux sur ce principe même. Il donne , par exemple , pour réellement existantes , des quantités c[\\'\\ ^Y^^^^^ finies indéterminabtes ., et qui ne sont, selon lui , ni finies , ni infinies ; comme si de pareilles quantités n'étaient pas un véritable être de raison , dont il est impossible de se former aucune idée. Il est vrai que cette conclusion absurde est la suite nécessaire du principe , que la grandeur peut être supposée infinie ; car il est clair que dans son passage du fini à l'infini , qui ne saurait être un passage brusque, elle ne peut être ni finie ni infinie. C'est encore en vertu du même principe, que IVJ. de Fontenelle a distingué diflérens ordres d'infinis et d'infiniment petits, qui n'existent pas plus les uns que les autres; qu'il a distingué de înême deux espèces d'infinis , l'infini métaphj-sique et l'infini géométrique , aussi chimériques l'un que l'autre, quand on voudra leur attribuer une existence réelle.

Nous avons tâché, dans l'éclaircissement particulier sur les principes du calcul infinitésimal , d'exposer la vraie métaphysique qui sert de base à ces principes, et à laquelle nous n'avons rien à ajouter ici ; cette métaphysique, et celle que nous avons tâché de répandre dans tout ce que nous avons dit ci-dessus, peuvent donner une idée suffisante de celle qui doit être employée en géométrie , et de celle qui doit y être proscrite.

XYI. MÉCANIQUE.

Les principes de la géométrie et ceux de l'algèbre renferment tout ce dont le philosophe a besoin pour arriver à la mécanique. Cette science mérite de nous arrêter.

3oe ÉLÉMENS

Il résulte de ce que nous avons dit ailleurs sur la clarté et l'utilité des notions abstraites (i) , que pour traiter, suivant la meilieure méthode possible, quelque partie des mathématiques que ce soit, nous pourrions même dire quelque science que ce puisse <Hre , il est nécessaire non-seulement d'y introduire et d'y appliquer, autant qu'il se peut, des connaissances puisées dans des sciences plus abstraites, et par conséquent plus simples, mais <;ncore d'envisager de la manière la plus abstraite et la plus simple qu'il se puisse , l'objet particulier de cette science; de ne rien supposer , ne rien admettre dans cet objet , que les propriétés que la science même qu'on y traite y suppose. De là résultent deux avantages : les principes reçoivent toute la clarté dont ils sont susceptibles; ils se trouvent d'ailleurs réduits au plus petit nombre possible, et par ce moyeu ils ne peuvent manquer, comme nous l'avons dit encore, d'acquérir en même temps plus d'étendue.

On a pensé depuis iong-temps , et même avec succès, à remplir dans les mathématiques une partie du plan que nous venons de tracer : on a appliqué heureusement l'algèbre à la géoaiétrie, la géométrie à la mécanique, et chacune de ces trois sciences à toutes les autres , dont elles sont la base et le fondement. Mais on n'a pas été si attentif, ni à réduire les principes de ces sciences au plus petit nombre, ni à leur donner toute la clarté qu'on pouvait désirer. La mécanique surtout est celle qu'il paraît qu'on a négligée le plus à cet égard : aussi la plupart de ses principes , ou obscurs par eux - mêmes , ou éiTC,ncés et démontrés d'une manière obscure, ont-ils donné lieu à j)lusieurs questions épineuses.

Le philosophe mécanicien doit donc se proposer deux choses : de reculer les limites de la mécanique, et d'en aplanir l'abord ; il doit se proposer, de plus, de remplir en quelque sorte un de ces objets par l'autre , c'est-à-dire , non-seulement de déduire les principes de la mécanique des notions les plus claires , mais encore de les étendre en les réduisant ; de faire voir tout à la fois , et l'inutilité de plusieurs principes qu'on avait employés jusqu'ici dans la mécanique , et l'avantage qu'on peut tirer de la combinaison des autres pour le progrès de cette science. Pour donner une idée des moyens par lesquels on peut remplir ces dilTérentes vues, il ne sera peut-être pas inutile d'entrer ici dans un examen raisonné de la science dont il est question.

Le mouvement et ses propriétés générales sont le premier et le principal objet de la mécanique ; cette science suppose l'existence du mouvement , et nous la supposerons aussi comme avouée et

(i) Voyez le Discours préliminaire de rEncyclopcdie , p. 3i de ce volurae.

DE PHILOSOPHIE. 3oi

recounue de tous les philosophes. A l'égard de la nature du mouvement , les mêmes philosophes sont là-dessus fort partagés. Rien n'est plus naturel, sans doute, que de concevoir le mouvement comme l'application successive du mobile aux difler entes parties de l'espace indéfini, que nous imaginons comme le lieu des corps : mais cette idée suppose un espace dont les partie» soient pénétrabîes et immobiles ; or personne n'ignore que le* cartésiens ( secte qui à la vérité n'existe presque plus aujourd'hui ) ne reconnaissent point d'espace distingué des corps , et qu'ils regardent l'étendue et la matière comme une même chose. Il faut convenir qu'en partant d'un pareil principe , le mouvement serait la chose la plus difficile à concevoir , et qu'un cartésien aurait peut-être beaucoup plus tôt fait d'en nier l'existence que de chercher à en définir la nature. Néanmoins , quelque absurde que nous paraisse l'opinion de ces philosophes , et quelque peu de clarté et de précision qu'il y ait dans les principes métaphysiques sur lesquels ils s'efforcent de l'appuyer , nous n'entreprendrons point de la réfuter ici : nous nous contenterons, en nous attachant aux notions communes , de concevoir l'espace indéfini comme le lieu des corps, soit réel , soit supposé, et de regarder le mouvement comme le transport du mobile d'un lieu dans un autre.

La considération du mouvement entre quelquefois dans les recherches de géométrie pure ; ainsi on imagine souvent les lignes droites ou les courbes, comme engendrées par le mouvement continu d'un point, les surfaces par le mouvement d'une ligne , les solides enfin par celui d'une surface. Mais il y a entre la mécanique et la géométrie cette différence, non-seulement que dans celle-ci la génération des figures par le mouvement est, pour ainsi dire , arbitraire et de pure élégance, mais encore que la géométrie ne considère dans le mouvement que l'espace parcouru, au lieu que dans la mécanique on a de plus égard au temps que le mobile emploie à parcourir cet espace. {^Voyez EcLAiRCissEjiENT, § XYI, page 3l5).

On ne peut comparer ensemble deux choses d'une nature différente, telles que l'espace et le temps : mais on peut comparer le rapport des parties du temps avec celui des parties de l'espace parcouru. Le temps par sa nature coule uniformément, et la mécanique suppose cette uniformité. Du reste, sans connaître le temps en lui-même, et sans en avoir de mesure précise, nous ne pouvons représenter plus clairement le rapport de ses parties, que par celui des portions d'une ligne droite indéfinie. On peut donc comparer le rapport des parties du temps à celui des parties de l'espace parcouru , comme ou compare en

3o2 ÉLÉMENS

géométrie le rapport des parties d'une ligne à celui des parties d'une autre ligne; d'où il est aisé de voir que, par l'application seule de la géométrie et du calcul , ou peut , sans le secours d'aucun autre principe, trouver les propriétés générales du mouvement, varié suivant une loi quelconque. Mais comment arrivet-il que le mouvement d'un corps suive telie ou telle loi particulière ? C'est sur quoi la géométrie seule ne peut riei nous apprendre, et c'est aussi ce qu'on peut regarder comme le premier problème qui appartienne immédiatement à ia mécanique.

On voit d'abord fort clairement qu'un corps ne peut se donner le mouvement à lui-même. Il ne peut donc être tiré du repos que par l'action de quelque cause étrangère. Mais continue-t-il à se mouvoir de lui-même , ou a-t-il besoin pour se mouvoir de l'action répétée de la cause? Quelque parti qu'on, pût prendre là-dessus, il sera toujours incontestable que l'existence du mouvement étant une fois supposée sans aucune autre hypothèse particulière , la loi la plus simple , qu'un mobile puisse observer dans son mouvement, est la loi d'uniformité, et c'est par conséquent celle qu'il doit suivre. Le mouvement est donc uniforme par sa nature : il est vrai que les preuves qu'on a données jusqu'à jîrésent de ce principe, ne sont peut-être pas fort convaincantes; le philosophe fera sentir les diflicultés qu'on peut y opposer , et montrera le chemin qu'on doit prendre pour éviter de s'engager à les résoudre (i).

Cette loi d'uniformité, essentielle au mouvement considéré en lui-même , fournit une des meilleures raisons sur lesquelles la mesure du temps, par le mouvement uniforme, paraisse appuyée. Quoique cette discussion ne soit pas absolument essentielle à la mécanique, cependant, comme elle n'y est pas non plus entièrement étrangère, nous entrerons ici dans quelque détail à ce sujet.

Comme le rapport des parties du temps nous est inconnu en lui-même, l'unique moyen que nous puissions employer pour découvrir ce rapport, c'est d'en chercher quelque autre plus sensible et mieux connu , auquel nous puissions le comparer. On aura donc trouvé la mesure du temps la plus simple, si on vient à bout de comparer, de la manière la plus simple qu'il soit possible, le rapport des parties du temps avec celui de tous les rapports qu'on connaît le mieux. De là il résulte que le mouvement uniforme est la mesure du temps la plus simple. Car, d'un côté , le rapport des parties d'une ligne droite est celui que

(i) Voyez sur cela la première partie du Traité de Dynamique , art. 6, 7 cl 8 de la nouvelle édition.

DE PHILOSOPHIE. 3o3

nous saisissons le plus facilement ; et de l'autre il n'est point de rapports plus aisés à comparer entre eux, que des rapports égaux. Or, dans le mouvement uniforme , le rapport des parties du tempi est égal à celui des parties correspondantes de la ligne parcourue. Le mouvement uniforme nous donne donc tout à la fois le moyen, et de comparer le rapport des parties du temps au rapport qui nous est le plus sensible , et de faire celte comparaison de la manière la plus simple ; nous trouvons donc dans le mouvement uniforme la mesure la plus simple du temps.

Je dis outre cela que la mesure du temps , par le mouvement uniforme, est, indépendamment de sa simplicité, celle dont il est le plus naturel de penser à se servir. En effet , comme il n'y a point de rapport que nous connaissions plus exactement que celui des parties de l'espace, et qu'en général un mouvement quelconque , dont la loi serait donnée , nous conduirait à découvrir le rapport des parties du temps, par l'analogie connue de ce rapport avec celui des parties de l'espace parcouru , il est clair qu'un tel mouvement serait la mesure du temps la plus exacte, et par conséquent celle qu'on devrait mettre en usage préférablement à toute autre. Donc, s'il y a quelque espèce particulière de mouvement, où l'analogie entre le rapport des parties du temps et celui des parties de l'espace parcouru, soit connue indépendamment de toute hypothèse et par la nature du mouvement même , et que cette espèce particulière de mouvement soit la seule à qui cette propriété appartienne , elle sera nécessairement la mesure du temps la plus naturelle. Or il n'y a que le mouvement uniforme qui réunisse les deux conditions dont nous venons de parler. Car le mouvement d'un corps est uniforme par lui-même : il ne devient accéléré ou retardé qu'en vertu d'une cause étrangère , et alors il est susceptible d'une infinité de lois différentes de variation. La loi d'uniformité , c'est-à-dire l'égalité entre le rapport des temps et celui des espaces parcourus , est donc une propriété du mouvement considéré en lui-même. Le mouvement uniforme n'en est par là que plus analogue à la durée, et par conséquent plus propre à en être la mesure, puisque les parties de la durée se succèdent aussi constamment et uniformément. Au contraire, toute loi d'accélération ou de diminution dans le mouvement est arbitraire , pour ainsi dire , et dépendante de circonstances extérieures. Le mouvement non uniforme ne peut être par conséquent la mesure naturelle du temps. Car, en premier lieu , il n'y aurait pas de raison pourquoi une espèce particulière de mouvement non uniforme fut la mesure première du temps plutôt qu'une autre. En second lieu, on ne pourrait îOiesurer le temps par un mouvement non uniforme, sans avoir

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découvert auparavant, par quelque moyen particulier, l'analogie entre le rapport des temps et celui des espaces parcourus , qui conviendrait au mouvement proposé. D'ailleurs, comment connaître cette analogie autrement que par l'expérience, et l'expérience ne supposerait-elle pas qu'on eût déjà une mesure du temps fixe et certaine?

Mais le moyen de s'assurer , dira-t-on , qu'un mouvement soit ])arfaitement uniforme? Je réponds d'abord qu'il n'y a non ])lus aucun mouvement non uniforme dont nous sachions exactement la loi, et qu'ainsi cette difficulté yjrouve seulement que nous ne pouvons connaître exactement et en toute rigueur le rapport des parties du temps; mais il ne s'ensuit pas de là que le ïuouvement uniforme n'en soit , par sa nature seule , la première et la plus simple mesure. Aussi , ne pouvant avoir de mesure du temps précise et rigoureuse , c'est dans les mouvemens à peu près uniformes que nous en cherchons la mesure au moins approchée. Nous avons trois moyens de juger qu'un mouvement e&t à peu près uniforme ; i". Quand le corps oui se meut parcourt des espaces égaux , dans des temps que nous avons lieu de juger égaux ; et nous avons lieu de juger les temps égaux, quand nous avons observé, par une expérience réitérée , qu'il se passe durant ces temps des effets semblables, que nous avons lieu de juger devoir durer également long-temps : ainsi nous avons lieu de juger que les temps qu'une même clepsydre met à se vider, sont égaux; si donc pendant ces temps un corps parcourt des espaces égaux , nous avons lieu de juger que son mouvement est uniforme. ?.". Quand nous avons lieu de croire que l'effet de la cause accélératrice ou retardatrice, s'il y en a une , ne peut être qu'insensible : c'est par la réunion de ces deux moyens qu'on a jngé que le mouvement de la terre autour de son axe est uniforme ; et cette supposition non-seulement n'est point contredile par les autres phénomènes célestes , mais elle paraît même s'y accorder ],arfaitement. 3°. Quand nous comparons le mouvement dont il s'agit à d'autres mouvemens , et que nous observons la même loi dans les uns et les autres. Ainsi , si plusieurs corps se meuvent de manière que les espaces qu'ils parcourent durant un même temps soient toujours entre eux , ou exactement , ou à peu près <lans le même rapport , on juge que le mouvement de ces corps est ou exactement , ou au moins à très-peu près uniforme. Car si un corps qui se meut uniformément parcourt un certain espace durant un temps pris à volonté, et qu'un autre corps , se mouvant aussi uniformément , parcoure un autre espace pendant le même temps, le rapport des espaces sera toujours le même , soit qu« les deux corps aient commencé à se mouvoir dans le

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snéme instant , ou dans clés instans dilTerens ; et le mouvement uniforme est le seul qui ait cette propriété. C'est pourquoi si on divise le temps en parties quelconques , égales ou inégales à volonté , et si on trouve que les espaces parcourus par deux corps durant une même partie de ce temps , sont toujours dans le même rapport , plus le nombre des parties du temps sera grand , plus on sera en droit de conclure que le mouvement de chaque corps est uniforme.

Aucun de ces trois moyens n'est exact dans la rigueur géométrique; mais ils suffisent, surtout quand ils sont répétés et réunis, pour tirer une conclusion valable, sinon sur l'uniformité absolue du mouvement, au moins sur l'uniformité très-approchée.

Après cette digression, qui même, à proprement parler, n'en «st pas une , sur la mesure du temps par le mouvement, revenons aux principes de la mécanique.

J^a. force d'inertie, c'est-à-dire , la propriété qu'ont les corps de persévérer dans leur état de repos ou de mouvement , étant une fois établie, il est clair que le mouvement, qui a besoin d'une cause pour commencer au moins à exister, ne saurait non plus €tre accéléré ou retardé que par une cause étrangère. Or, quelles sont les causes capables de produire ou de changer le mouvement <Ians les corps ? Nous n'en connaissons jusqu'à présent que de deux: sortes. Les unes se manifestent à nous en même temps que l'eiFet qu'elles produisent , ou plutôt dont elles sont l'occasion : ce sont celles qui ont leur source dans l'action sensible et mutuelle des corps, résultante de leur impénétrabilité: elles se réduisent à l'impulsion et à quelques autres actions dérivées de celles-là. Toutes les autres causes ne se font connaître que par leur effet , et nous en ignorons entièrement la nature : telle est la cause qui fait tomber les corps pesans vers le centre de la terre, et celle qui retient les planètes dans leurs orbites.

Nous verrons bientôt comment on peut déterminer les effets de l'impulsion , et des causes qui peuvent s'y rapporter. Pour nous en tenir ici à celles de la seconde espèce, il est clair que lorsqu'il est question des effets produits par de telles causes , ces effets doivent toujours être donnés indépendamment de la connaissance de la cause, puisqu'ils ne peuvent en être déduits». C'est ainsi que sans connaître la cause de la pesanteur , nous apprenons , par l'expérience, que les espaces décrits par un corps qui tombe , sont entre eux comme les carrés des temps. En général, dans les mouvemens variés dont les causes sont inconnues , il est évident que l'effet, produit par la cause , soit dans un ;emps fini, soit dans un instant, doit toujours être donné par Téqua-

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tion entre les temps et les espaces : cet effet une fois connu, et le principe de la force d'inertie supposé, on n'a plus besoin que de la géométrie seule et du calcul , pour découvrir les propriétés de ces sortes de niouvemens. Pourquoi donc aurions-nous recours à ce principe dont tout le monde fait usage aujourd'hui , que la force accélératrice ou retardatrice est proportionnelle à l'élément de la vitesse? principe appuyé sur cet unique axiome vague et obscur , que l'effet est proportionnel à sa cause. Nous n'examinerons point si ce principe est de vérité nécessaire; nous avouerons seulement que les preuves qu'on en a apportées jusqu'ici , ne nous paraissent pas hors d'atteinte : nous ne l'adopterons pas non plus , avec quelques géomètres, comme de vérité purement contingente ; ce qui ruinerait la certitude de la mécanique , et la réduirait à n'être plus qu'une science expérimentale : nous nous contenterons d'observer que , vrai ou douteux , clair ou obscur, il est inutile à la mécanique , et que par conséquent il doit en être banni.

Nous n'avons fait mention jusqu'à présent que du changement produit dans la vitesse du mobile par les causes capables d'altérer son mouvement : et nous n'avons point encore cherché ce qui doit arriver , si la cause motrice tend à mouvoir le corps dans une direction différente de celle qu'il a déjà . Tout ce que nous apprend dans ce cas le principe de la force d'inertie , c'est que le mobile ne peut tendre qu'à décrire une ligne droite , et à la décrire uniformément : mais cela ne fait connaître ni sa vitesse ni sa direction. On est donc obligé d'avoir recours à un second principe, c'est celui qu'on appelle la composition des raouvemens , et par lequel on détermine le mouvement unique d'un corps qui tend à se mouvoir suivant différentes directions à la fois avec des vitesses données. Dans la démonstration que le philosophe donnera de ce principe , il tâchera d'une part d'éviter toutes les difïicultés auxquelles sont sujettes les démonstrations qu'on en donne communément, et en même temps de ne pas déduire d'un grand nombre de propositions compliquées, un principe qui , étant l'un des premiers de la mécanique, doit nécessairement être appuyé sur des preuves simples et faciles.

Comme le mouvement d'un corps qui change de direction , peut être regardé comme composé du mouvement qu'il avait d'abord et d'un nouveau mouvement qu'il a reçu , de même le mouvement que le corps avait d'abord peut être regardé comme com|X)sé du nouveau mouvement qu'il a pris, et d'un autre qu'il a perdu. De là il s'ensuit que les lois du mouvement changé par quelques obstacles que ce puisse être , dépendent uniquement des lois du mouvement détruit par ces mêmes obstacles. Car il

est évident qu'il suffit de décomposer le mouvement qu'avait le corps avant la rencontre de l'obstacle , en deux autres mouvemens , tels que l'obstacle ne nuise point à l'un , et qu'il anéantisse l'autre. Par là on peut non-seulement démontrer les lois du mouvement changé par des obstacles insurmontables , les seules <|u'on ait trouvées jusqu'à présent par cette méthode ; on peut encore déterminer dans quel cas le mouvement est détruit par ces mêmes obstacles. A l'égard des lois du mouvement changé par des obstacles qui ne sont pas insurmontables en eux-mêmes , il eit clair, par la même raison , qu'en général il ne faut , pour déterminer ces lois, qu'avoir bien constaté celles de l'équilibre. Or, quelle doit être la loi générale de l'équilibre des corps ? Tous les géomètres conviennent que deux corps, dont les directions sont opposées , se font équilibre quand leurs masses sont ea raison inverse des vitesses avec lesquelles ils tendent à se mouvoir; mais il n'est peut-être pas facile de démontrer cette loi en toute rigueur , et d'une manière qui ne renferme aucune obscurité ; aussi la plupart des géomètres ont-ils mieux aimé la traiter d'axiome, que de s'appliquer à la prouver. Cependant, si on y fait attention , on verra qu'il n'y a qu'un seul cas où l'équilibre se manifeste d'une manière claire et distincte; c'est celui oii les masses des deux corps sont égales, et leurs vitesses égales et opposées. Le seul parti qu'on puisse prendre , ce me semble , pour démontrer l'équilibre dans les autres cas, est de les réduire, s'il se peut , à ce premier cas simple et évident par lui-même.

Le principe de l'équilibre , joint à ceux de la force d'inertie et du mouvement composé , nous conduit donc à la solution de tous les problèmes oii l'on considère le mouvement d'un corps, en tant qu'il peut être altéré par un obstacle impénétrable et mobile, c'est-à-dire en général par un autre corps à qui il doit nécessairement communiquer du mouvement pour conserver au moins une partie du sien. De là ces lois générales de la communication du mouvement, que les philosophes ont enfin trouvées, après avoir long-temps ignoré qu'il y en eût, et après s'être longtemps trompé sur les lois véritables.

Si les principes de la force d'inertie, du mouvement composé , et de l'équilibre, sont essentiellement différens l'un de l'autre, comme on ne peut s'empêcher d'en convenir ; et si d'un autre côté , ces trois principes suffisent à la mécanique , c'est avoir réduit cette science au plus petit nombre de principes possibles , que d'établir sur ces trois principes toutes les lois du mouvement des corps dans des circonstances quelconques.

A l'égard des démonstrations de ces principes en eux-mêmes , le plan qu'on doit suivre pour leur donner toute la clarté et la

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simplicité dont elles sont susceptibles , est de les déduire toujours de la considération seule du mouvement, envisagé de la manière la plus simple et la plus claire. Tout ce que nous voyons bien distinctement dans le mouvement d'un corps , comme nous l'avons déjà dit ailleurs , c'est qu'il parcourt un certain espace , et qu'il emploie un certain temps à le parcourir. C'est donc de cette seule idée qu'on doit tirer tous les principes de la mécanique , quand on veut les démontrer d'une manière nette et précise; en conséquence de cette réflexion , le philosophe doit , pour ainsi dire , détourner la vue de dessus les causes motrices, pour n'envisager uniquement que le mouvement qu'elles produisent ; il doit surtout entièrement proscrire les forces inhérentes au corps en mouvement, êtres obscurs et métaphysiques, qui ne sont capables que de répandre les ténèbres sur une science claire par elle-même.

C'est par cette même raison qu'il s'abstiendra d'entrer dans l'examen de la fameuse question des forces in'ves. Cette question qui , pendant trente ans , a partagé les géomètres , consiste à savoir si la force des corps en mouvement esi, proportionnelle au produit de la masse par la vitesse , ou au produit de la masse par le carré de la vitesse : par exemple , si un corps double d'un autre , et qui a trois fois autant de vitesse , a dix-huit fois autant de force ou six fois autant seulement. Malgré les disputes que cette question a causées , l'inutilité parfaite dont elle est pour la mécanique , doit la bannir d'un livre d'élémens ; cependant le erand bruit qu'elle a fait, les hommes célèbres qui l'ont traitée , l'intérêt que les savans y ont pris, nous déterminent à exposer ici très-succinctement les principes qui peuvent servir à la résoudre.

Quand on parle de la force des corps en mouvement, ou l'on n'attache point d'idée nette au mot qu'on prononce , ou l'on ne peiit entendre parla, en général, que la propriété qu'ont les corps qui se meuvent, de vaincre les obstacles qu'ils rencontrent, ou de leur résister. Ce n'est donc ni par l'espace qu'un corps parcourt uniformément , ni par le temps qu'il emploie à le parcou-' rir, ni enJinpar la considération simple , unique et abstraite de sa masse et de sa vitesse, qu'on doit estimer immédiatement la force; c'est uniquement par les obstacles qu'un corps rencontre , et par la résistance que lui font ces obstacles. Plus l'obstacle qu'un corps peut vaincre, ou auquel il peut résister, est considérable , plus on peut dire que sa force est grande ; pourvu que , srms vouloir représenter par ce mot un prétendu être qui réside dans le corps, on ne s'en serve que comme d'une manière abrégée d'exprimer un fait ; à peu près comme on dit qu'un corps a deux fois autant de vitessç qu'un autre, au lieu de dire qu'il par-

couft en temps égal deux fois autant d'esjiace, sans prétendre pour cela que ce mot de DÏtesse représente un être inhérent au corps. Ceci bien entendu, il est clair qu'on peut opposer au mouvement d'un corps trois sortes d'obstacles : ou des obstacles invincibles qui anéantissent tout-à-fait son mouvement , quel qu'il puisse être : ou des obstacles qui n'aient précisément que la résistance nécessaire pour anéantir le mouvement du corps, et qui l'anéantissent dans un instant; c'est le cas de l'équilibre : ou enfin des obstacles qui anéantissent le mouvement peu à peu ; c'est le cas du mou*'enient relardé. Comme les obstacles insurmontables anéantissent également toutes sortes de mouvement, ils ne peuvent servir à faire connaître la force : ce n'est donc que dans l'équilibre ou dans le mouvement retardé qu'on doit en chercher la mesure. Or tout le monde convient qu'il y a équilibre entre deux corps, quand les produits de leurs masses, par leurs vitesses virtuelles , c'est-à-dire par les vitesses avec lesquelles ils tendent à se mouvoir, sont égaux de part et d'autre. Donc dans l'équilibre le produit de la masse par 1^ vitesse , ou , ce qui est la même chose , la quantité du mouvement, peut représenter la force. Tout le monde convient aussi que dans le mouvement retardé , le nombre des obstacles vaincus est comme le carré de la vitesse ; en sorte qu'un corps qui a fermé un ressort , par exemple , avec une certaine vitesse , pourra avec une vitesse double fermer, ou tout à la fois, ou successivement, non pas deux, mais quatre ressorts semblables au premier , neuf avec une vitesse trij)!e, et ainsi du reste. D'où les partisans des forces vives concluent que la force des corps qui se meuvent actuellement, est en général comme le produit de la masse par le carré de la vitesse. Au fond , quel inconvénient pourrait-il y avoir à ce que la mesure des forces fut différente dans l'équilibre et dans le mouvement retardé, puisque, si l'on ne veut raisonner que d'après des idées claires , on doit n'entendre, parle mot de force , que l'effet produit en surmontant l'obstacle ou en lui résistant? Il faut avouer cependant que l'opinion de ceux qui regardent la force comme le produit de la masse par la vitesse, peut avoir lieu non-seulement dans le cas de l'équilibre, mais aussi dans celui du mouvement retardé, si dans ce dernier cas on mesure la force , non par la quantité absolue des obstacles, mais par la somme des résistances de ces mêmes obstacles. Car on ne saurait douter que cette somme de résistances ne soit proportionnelle à la quantité de mouvement, puisque, de l'aveu de tout le monde , la quantité de mouvement que le corps perd à chaque instant, est proportionnelle au produit de la résistance par la durée infiûitaeut petite de l'instant , et que la somme de ces pro-

3io ÉLÉMENS

duits est évidemment la résistance totale. Toute la difficulté se réduit donc à savoir si on doit mesurer la force par !a quanfi'é absolue des obstacles, ou par la somme de leurs résistances, li paraîtrait plus naturel de mesurer la force de celte dernière manière ; car un obstacle n'est tel qu'en tant qu'il résiste ; et c'est à proprement parler la somme des résistances qui est l'ôbitacle vaincu; d'ailleurs, en estimantainsi la force, on a l'avantage d'avoir pour l'équilibre et pour le mouvement retardé une mesure coramu'ie. Néanmoins comme nous n'avons d'idée préci>e et distincte du mot de force , qu'en restreignant ce terme à exprimer un efïèt, je crois qu'on doit laisser chacun le maître de se décider comme il voudra là -dessus; et toute la question ne peut plus consister que dans une discussion métaphysique très-futile , ou dans une dispute de mots plus indigne encore d'occuper des philo ophes.

Tout ce que nous venons de dire sufîit pour le faire sentir à nos lecteur?. Mais une réflexion bien naturelle achèvera de les en convaiiicre. Soit qu'un corps ait une simple tendance à se mouvoir avec une certaine vitesse, tendance arrêtée par quelque obstacle; soit qu'il se meuve réellement et uniformément avec cette vitesse; soit enfin qu'il commence à se mouvoir avec cette même vitesse , laquelle se consume et s'anéantisse peu à peu par quelque cause que ce puisse être , dans tous ces cas, l'effet produit par le corps est différent , mais le corps considéré en luiinéme n'a rien de plus dans un cas que dans un autre ; seulement l'action de la cause qui produit l'effet est différemment appliquée. Dans le premier cas , l'effet se réduit à une simple tendance, qui n'a point proprement de mesure précise , puisqu'il n'en résulte aucun mouvement ; dans le second , l'effet est l'espace parcouru uniformément dans un temps donné , et cet effet est proportionnel à la vitesse; dans le troisième, l'effet est l'espace parcouru jusqu'à l'extinction totale du mouvement , et cet effet est comme le carré de la vitesse. Or ces différens effets sont évidemment produits par une même cause ; donc ceux qui ont dit que la force était tantôt comme la vitesse, tantôt comme son carré, n'ont pu entendre parler que de l'effet, quand ils se sont exprimés de la sorte. Cette diversité d'effets, provenant tous d'une même cause , peut servir , pour le dire en passant , à faire voir le peu de justesse et de précision de l'axiome prétendu si souvent mis en usage , sur la proportionnalité des causes à leurs effets.

Enfin ceux même qui ne seraient pas en état de remonter jusqu'aux principes métaphysiques de la question des forces vives, verront aisément qu'elle n'est qu'une dispute de mots, s'ils considèrent que les deux partis sont d'ailleurs entièrement d'accord sur les principes fondamentaux de l'équilibre et

DE PHILOSOPHIE. 3ii

du mouvement. Qu'on propose le même problème de mécanique à résoudre à deux géomètres , dont l'un soit adversaire et l'autre partisan des forces vives, leurs solutions, si elles sont bonnes, seront toujours parfaitement d'accord ; la question de la mesure des forces est donc entièrement inutile à la mécanique , et même sans aucun objet réel. Aussi n'aurait-elle pas sans doute enfanté tant de volumes, si on se fût attaché à distinguer ce qu'elle renfermait de clair et d'obscur. En s'y prenant ainsi, on n'aurait eu besoin que de quelques lignes pour décider la question ; mais il semble que la plupart de ceux qui ont traité cette matière, aient craint de la traiter en pende mots.

La réduction de toutes les lois de la mécanique à trois, celle de la force d'inertie , celle du mouvement composé , et celle de l'équilibre , peut servir à résoudre le grand problème métaphysique, proposé depuis peu par une des plus célèbres académies de l'Europe , si les lois du moui>emfint et de l équilibre des corps sont de i^érilé nécessaire ou contingente? Pour fixer nos idées sur cette question, il faut d'abord la réduire au seul sens raisonnable qu'elle puisse avoir. Il ne s'agit pas de décider si l'auteur de la nature aurait pu lui donner d'autres lois que celles que nous y observons; dès qu'on admet un être intelligent, capable d'agir sur la matière , il est évident que cet être peut , à chaque instant , la mouvoir et l'arrêter à son gré, ou suivant des lois uniformes, ou suivant des lois qui soient différentes pour chaque instant et pour chaque partie de matière ; l'expérience continuelle des mouvemens de notre corps , nous prouve assez que la matière , soumise à la volonté d'un principe pensant , peut s'écarter dans ses mouvemens de ceux qu'elle aurait véritablement si elle était abandonnée à elle-même. La question proposée se réduit donc à savoir si les lois de l'équilibre et du mouvement qu'on observe dans la nature, sont différentes de celles que la matière abandonnée à elle-même aurait suivies ; développons cette idée. Il est de la dernière évidence , qu'en se bornant à supposer l'existence de la matière et du mouvement , il doit nécessairement résulter de cette double existence certains effets ; qu'un corps mis en mouvement par quelque cause , doit ou s'arrêter au bout de quelque temps, ou continuer toujours à se mouvoir ; qu'un corps qui tend à se mouvoir à la fois suivant les deux côtés d'un parallélogramme , doit nécessairement décrire , ou la diagonale , ou quelque autre ligne ; que quand plusieurs corps en mouvement se rencontrent et se choquent, il doit nécessairement arriver, en conséquence de leur impénétrabilité mutuelle , quelque changement dans l'état de tous ces corps , ou au moins dans l'état de quelques uns d'entre eux. Or des différens eifels possibles , soit

3i2 ELEMENS

dans le mouvement d'un corps isolé , soit clans celui de plusieurè corps qui agis-.ent les uns sur les autres, il en est un qui , dans cliaque cas, doit infailliblement avoir lieu , en conséquence de l'existence seule de la matière , et abstraction faite de tout autre principe différent, qui pourrait modifier cet effet ou l'altérer. Voici donc la route qu'un philosophe doit suivre pour résoudre la question dont il s'agit. Il doit tâcher d'abord de découvrir par le raisonnement quelles seraient les lois de la statique et de la mécanique dans la matière abandonnée à elle-même ; il doit examiner ensuite par l'expérience quelles sont ces lois dans l'univers; si les unes et les autres sont différentes , il en conclura que les lois de la statique et de la mécanique , telles que l'expérience les donne, sont de vérité contingente, puisqu'elles seront la suite d'une volonté particulière et expresse de l'Etre suprême ; si au contraire les lois données par l'expérience s'accordent avec celles que le raisonnement seul a fait trouver, il en conclura que les lois observées sont de vérité nécessaire; non pas en ce sens que Je Créateur n'eût pu établir des lois toutes différentes, mais en ce sens qu'il n'a pas jugé à propos d'en établir d'autres que celles qui résultaient de l'existence même de la matière.

Or il est démontré qu'un corps abandonné à lui-même , doit persister éternellement dans son état de repos ou de mouvement uniforme ; il est démontré de même que , s'il tend à se mouvoir à la fois suivant les deux côtés d'un parallélogramme quelconque, îa diagonale est la direction qu'il doit prendre de lui-même, et pour ainsi dire , choisir entre toutes les autres. Il est démontré enfin que toutes les lois de la communication du mouvement entre les corps se réduisent aux lois de l'équilibre, et que les lois de l'équilibre se réduisent elles-mêmes à celles de l'équilibre de deux^orps égaux , animés en sens contraires de vitesses virtuelles égales. Dans ce dernier cas, les mouvemens des deux corps se détruiront évidemment l'un l'autre; et par une conséquence géométrique, il y aura encore nécessairement équilibre, lorsque les masses seront en raison inverse des vitesses; il ne reste plus qu'à savoir si le cas de l'équilibre est unique, c'est-à-dire , si quand les masse:- ne seront pas en raison inverse des vitesses , un des corps devra nécessairement obliger l'autre à se mouvoir. Or il est aisé de sentir que dès (ju'il y a un cas possible et nécessaire d'équilibre, il ne saurait y en avoir d'autres : sans cela les lois du choc des coi-ps , qui se réduisent nécessairement à celles de l'équilibre, deviendraient indéterminées; ce qui ne saurait être, puisqu'un corps venant en choquer un autre , il doit nécessairement en résulter un eflet unique , suite indispensable de l'exisience et de l'impénétrabilité de ces corps. On peut d'ailleurs dé-

DE PHILOSOPHIE. 3i3

montrer l'unité cle la loi d'équilibre par un autre raisonnement, trop mathématique pour être développé dans cet essai , mais que j'ai tâché de rendre sensible dans un autre ouvrage (t).

De toutes ces réflexions il s'ensuit que les lois connues de la statique et de la mécanique, sont celles qui résultent de Texistence de la matière et du mouvement. Or l'expérience nous prouve que ces lois s'observent en effet dans les corps qui nous environnent. Donc les lois de l'équilibre et du mouvement , telles que l'observation nous les fait connaître , sont de vérité nécessaire. Un métaphysicien se contenterait peut-être de le prouver , en disant qu'il était de la sagesse du Créateur et de la simplité de ses vues, de ne point établir d'autres lois de l'équilibre et du mouvement , que celles qui résultent de l'existence même des corps , et de leur impénétrabilité mutuelle. Mais nous avons cru devoir nous abstenir de cette manière de raisonner, parce qu'il nous a paru qu'elle porterait sur un principe trop vague; la nature de l'Etre suprême nous est trop cachée, pour que nous puissions connaître directement ce qui est ou n'est pas conforme aux vues de sa sagesse ; nous pouvons seulement entrevoir les effets de cette sagesse dans l'observation des lois de la nature , lorsque le raisonnement mathématique nous aura fait voir la simplicité de ces lois, et que l'expérience nous en aura montré les applications et l'étendue.

Cette réflexion peut servir, ce me semble , à nous faire apprécier les démonstrations que plusieurs philosophes ont données des lois du mouvement d'après le principe des causes finales , c'est-à-dire d'après les vues que l'auteur de la nature a dû se proposer en établissant ces lois. De j^areilles démonstrations ne peuvent avoir de force , qu'autant qu'elles sont précédées et appuyées par des démonstrations directes et tirées de principes qui soient plus à notre portée; autrement il arriverait souvent qu'elles nous induiraient en erreur. C'est pour avoir suivi cette route, pour avoir cru qu'il était de la sagesse du Créateur de conserver toujours la même quantité de mouvement dans l'univers, que Descartes s'est trompé sur les lois de la percussion. Ceux qui l'imiteraient courraient risque, ou de se tromper comme lui, ou de donner pour un principe général ce qui n'aurait lieu que dans certains cas, ou enfin de regarder comme une loi primitive de la nature, ce qui ne serait qu'une conséquence purement mathématique de quelques formules.

Quand on demande au reste si les lois du mouvement sont de vérité nécessaire, il n'est question que de celles par lesquelles le mouvement se communique d'un corps à un autre; et nullement

(i) Daitc de Dynamique , art. 4^ ^^ 47-

3i4 . ÉLÉMENS

de celles en vertu desquelles un corps paraît se mouvoir sans aucune cause d'impulsiou. Telles sont, par exemple, les loi- de la pesanteur, supposé, comme bien des philosophes le croient aujourd'hui, que ces lois n'aient pas l'impulsion pour can.se. Dans cette supposition il est évident que les lois dont il sî>.g'J ne pourraient être en aucun sens de vérité nécessaire; que la chiile des corps pesans serait la suite d'une volonté immédiate et particulière du Créateur ; et que sans cette volonté expresse, un corps placé en l'air y resterait en repos. La multitude, il est vrai, accoutumée à voir tomber un corps dès qu'il n'est pas soutenu , croit que cette seule raison suflit pour obliejer le corps à descendre. Mais il est facile de détruire ce préjugé par une réflexion bien simple. Supposons un corps placé sur une table horizontale : pourquoi ne se meut-il pas horizontalement le long de la table, puisque rien ne l'en empêche? Pourquoi ne se meut-il pas de bas en haut, puisque rien ne s'oppose à son mouvement en ce sens? Pourquoi enfin se meut-il de haut en bas préférablement à toute autre direction , puisque par lui-même il est évidemment indifférent à se mouvoir dans un sens plutôt que dans un autre? Ce n'e^t donc pas sans raison que les philosophes s'étonnent de voir tomber une pierre ; et ce phénomène si com- 3nun est en effet un des plus surprenans que nous présente la nature.

La manière dont agit cette force inconnue , qui fait tomber les corps vers la terre, n'est guère plus facile à concevoir que la force même. Tous les philosophes y^araissent convenir que la vitesse avec laquelle les corps qui tombent commencent à se mouvoir, est absolument nulle ; pourquoi donc quand on soutient un corps pesant qui tend à tomber, éprouve-t-on une résistance qu'on n'éprouve point dans tout autre sens que le sens vertical? On dira peut-être que dans les instans qui suivent le premier, la vitesse avec laquelle le corps tend à descendre, augmentera et deviendra finie, au lieu que dans tout autre sens elle demeure toujours nulle , le corps n'a^'ant aucune tendance à se mouvoir que dans le seul sens vertical. On peut, je le veux, expliquer par là pourquoi un corps pesant qu'on soutient, tombera si on l'abandonne à lui-même : mais on n'explique pas encore une fois pourquoi on ne peut le soutenir sans effort. Caria vitesse finie que le corps doit acquérir dans les instans qui suivront le premier moment de la chute , n'existe pas encore en ce premier moment , qui est celui oii l'on soutient le corps ; elle ne peut donc produire aucune résistance à vaincre. Dira-t-on que la vitesse avec laquelle les corps pesans tendent à descendre au premier instant, n'est pas absolument nulle, mais seulement

DE PHILOSOPITIE. 3i5

très-petite? On se jette alors dans une autre difficulté. Car suivant îliypofhèse généralement admise par les philosophes , l'action de ]a pesanteur est continue, et tend à chaque instant à imprimer au corps la même vitesse qu'au premier instant ; ainsi cette vitesse , si elle était finie au premier instant , serait infinie au bout d'un temps fini , ce qui est contraire aux observations. Yoilà donc un problème que nous laissons à résoudre aux mécaniciens philosophes.

§ XVI. Eclaircissement sur V espace et sur le temps , page 3oi.

Les philosophes demandent si l'espace a une existence indépendante de la matière , et le temps une existence indépendante des êtres existans; y aurait-il un espace s'il n'y avait point c^e corps, et une durée s'il nj avait rien ? Ces questions viennent, ce me semble, de ce qu'on suppose à l'espace et au temps plus de réalité qu'ils n'en ont.

Et premièrement, quant à l'espace, supposons trois corps contigus qui se touchent immédiatement : imaginons pour un moment que celui du milieu soit oté , il restera entre les deux corps extrêmes un espace dont l'étendue sera égale à celle qu'occupait le corps du milieu; cet espace a bien évidemment une existence indépendante de ^elle de ce troisième corps, puisqu'il existe également, soit que ce troisième corps soit mis entre les deux corps extrêmes , ou qu'il en soit 6té; avec cette différence que dans le premier cas l'espace est impénétrable , c'est-à-dire qu'on ne peut y placer un nouveau corps , et que dans le second on peut y placer un corps dont l'étendue soit égale à celle de cet espace. D'un autre côté , quand le troisième corps est placé entre les deux autres, les deux espaces dont on vient de parler , l'un pénétrable , l'autre impénétrable, n'en font plus qu'un : le premier est donc anéanti ; car on ne peut pas dire que ce soit le second, puisque cet espace impénétrable appartient au troisième corps placé entre les deux autres , et que ce troisième corps existe évidemment. Otons à présent ce troisième corps, en laissant les deux autres à leur place; l'espace pénétrable, auparavant anéanti, renaîtra tout à coup et sera comme créé de nouveau. Or cette succession d'anéantissement et de création , qu'on peut multiplier tant qu'on voudra , est une chose absurde , si on suppose que l'espace soit un être réel , une substance , en un mot autre chose , si je puis parler de la sorte , qu'une simple capacité , propre à recevoir l'étendue impénétrable. Les enfans qui disent (fue le vide n'est rien ont raison , parce qu'ils s'en tiennent aux

3i6 ELÉMENS

simples notions du sens commun ; et les philosophes qui veulent réaliser le vide , se perdent dans leurs spéculations.

A l'égard du temps , il est d'abord certain que nous n'en avons la notion que par la succession de nos idées ; il ne l'est pas moins que ce n'est pas la succession de nos idées qui fait le temjDS , puisque le temps a une mesure indépendante de nos idées, mesure que nous fournit le mouvement des corsos. Mais y aurait-il un temps , s'il n'y avait rien du tout ? Oui et non ; comme on peut dire qu'il y aurait un lieu et qu'il n'y en aurait pas s'il n'y avait point de corps ; qu'il y aurait un lieu, parce qu'il y aurait un espace prêt à recevoir les corps ; qu'il n'y en aurait pas , parce que l'idée de lieu suppose celle du corps qui l'occupe. De même s'il n'y avait rien , il n'y aurait point de temps, parce que l'idée de temps est relative à des êtres qui existent successivement ; et il y en aurait un, parce que le temps ne serait alors que la simple possibilité de succession dans des êtres qui n'existeraient pas; succession qni n'est rien de réel, qu'autant qu'il y a réellement des êtres existans.

Quoi qu'il en soit de cette discussion sur l'espace et sur le temps, nous ne saiirions trop insister sur ce que nous avons déjà dit ailleurs, qu'elle est absolument étrangère et inutile à la mécanique. Cette science ne suppose autre chose que les notions naturelles de l'espace et du temps , telles qu'elles sont dans tous les hommes ; notions très-simples et très-nettes par elles-mêmes, et que la philosophie seule a le privilège d'obscurcir et d'embrouiller.

Mais les questions que nous venons de proposer sur la nature du temps et de l'espace , nous fourniront l'occasion d'un éclaircissement utile sur la définition que les mécaniciens donnent de la vitesse.

La vitesse d'un corps qui se meut uniformément est égale , disent-ils , à l'espace divisé par le temps ; ou , comme s'expriment d'autres mathématiciens, le résultat de cette division est la mesure de la vitesse. Cette manière de s'exprimer, prise à la rigueur, ne présente point d'idée nette ; car on ne saurait diviser l'espace par le temps; on ne divise point une quantité par une autre de nature différente; diviser une lieue par une heure, c'est comme si on voulait savoir combien de fois une heure est contenue dans une lieue , et on voit bien que cette question n'a pas de sens. Que veut donc dire celte proposition , la vitesse est égale à l'espace di\'isë par le temps ? Cela veut dire , que si deux corps se meirvent uniformément, leurs vitesses seront entre elles comme les nombres qui expriment les rapports des espacés qu'ils parcourent , sont aux nombres qui expriment les rapports

icies temps employés à parcourir ces espaces. Qu'un corps qui se meut uniformément fasse 100 toises en 6 minutes, et un autre i5 toises en 2 minutes, les vitesses seront entre elles comme le rapport des espaces , c'est-à-dire comme le rapport de 100 à 25 est au rapport des temps , c'est-à-dire au rapport de 6 à 2; ces vitesses seront donc comme 4 à 3 , et ainsi du reste.

Cet éclaircissement sur la définition de la vitesse est analogue à celui que nous avons donné plus haut sur la mesure des parallélogrammes par le produit de leur base €t de leur hauteur ; et l'un et l'autre servent à montrer quel soin on doit apporter dans les élémens de mathématiques , pour développer les idées que certaines définitions ne présentent pas avec toute la précision nécessaire.