AU TRAITÉ DE DYNAMIQUE

Où les lois de Véquilibre sont réduites au plus petit nombre jjossible , et dcmnntrées d'une manière nouvelle, et oii Von donne un principe général pour trouver le mouvement de plusieurs corps qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque.

l i A certitude des mathématiques est un avantage que ces sciences doivent principalement à la simplicité de leur objet. Il faut avouer même que comme toutes les parties des mathématiques n'ont pas un objet également simple , aussi la certitude proprement dite , celle qui est fondée sur des principes nécessairement vrais et évidens par eux-mêmes, n'appartient ni également, ni de la même manière , à toutes ces parties. Plusieurs d'entre elles, appuyées sur des principes physiques , c'est-à-dire sur des vérités d'expérience , ou sur de simples hypothèses, n'ont, pour ainsi dire, qu'une certitude d'expérience, ou même de pure supposition. Il n'y a , pour parler exactement , que celles qui traitent du calcul des grandeurs , et des propriétés générales de l'étendue, c'est-à-dire l'algèbre, la géométrie et la mécanique , qu'on puisse regarder comme marquées au sceau de l'évidence. Encore y a-t-il dans la lumière que ces sciences présentent à notre esprit, une espèce de gradation et, pour ainsi dire, de nuance à observer. Plus l'objet qu'elles embrassent est étendu, et considéré d'une manière générale et abstraite, plus aussi leurs principes sont exempts de nuages et faciles à saisir. C'est par cette raison que la géométrie est plus simple que la mécanique, et Tune et Fautre plus simples que l'algèbre. Ce paradoxe ne paraîtra point tel à ceux qui ont étudié ces sciences

3r)7 SUR LES LOIS

en pliilosoplies : les notions les plus abstraites , celles ([ue le commun des hommes regarde comme les plus inaccessibles , sont souvent celles qui portent avec elles une plus grande lumière : l'obscurité semble s'emparer de nos idées, à mesure que nous examinons dans un objet plus de propriétés sensibles ; l'impénétrabilité , ajoutée à l'idée de l'étendue , semble ne nous offrir qu'un mystère de plus; la nature du mouvement est une énigme pour les jîliilosophes ; le principe métaphysique des lois de la percussion ne leur est pas moins caché ; en un mot , plus ils approfondissent l'idée qu'ils se forment de la matière et des propriétés qui la représentent, plus cette idée s'obscurcit, et paraît vouloir leur échapper; plus ijs se persuadent que l'existence des objets extérieurs , appuyée sur le témoignage équivoque de nos sens , est ce que nous connaissons le moins imparfaitement en eux.

Il résulte de ces réflexions que pour traiter suivant la meilleure méthode possible quelque partie des mathématiques que ce soit (nous pourrions même dire que ce puisse être) , il est nécessaire non-seulement d'y introduire et d'y appliquer autant qu'il se peut des connaissances puisées dans des sciences plus abstraites, et par conséquent plus simples, mais encore d'envisager de la manière la plus abstraite et la plus simple qu'il se puisse, l'objet particulier de cette science ; de ne rien sujDposer , ne rien admettre dans cet objet, que les propriétés que la science même qu'on y traite y suppose. De là résultent deux avantages : les principes reçoivent toute la clarté dont ils sont susceptibles ; ils se trouvent d'ailleurs réduits au plus petit nombre possible, et par ce moyen ils ne peuvent manquer d'acquérir en même temps plus d'étendue , puisque l'objet d'une science étant nécessairement déterminé, les principes en sont d'autant plus féconds, qu'ils sont en plus petit nombre.

On a pensé depuis long-temps, et même avec succès, à remplir dans les mathématiques une partie du plan que nous venons de tracer : on a appliqué heureusement l'algèbre à la géométrie, la géométrie à la mécanique , et chacune de ces trois sciences à toutes, dont elles sont la base et le fondement. Mais on n'a pas été si attentif, ni à réduire les principes de ces sciences au plus petit nombre , ni à leur donner toute la clarté qu'on pouvait désirer. La mécanique surtout est celle qu'il jiaraît qu'on a négligée le plus à cet égard : aussi la plujDart de ses principes, ou obscurs par eux-mêmes , Ou énoncés et démontrés d'une manière obscure, ont-ils donné lieu à plusieurs questions épineuses. En général , on a été plus occupé jusqu'à présent à augmenter l'édifice qu'à en éclairer l'enlrée ; et on a pensé principalement

à rélever , sans donner à ses fondemens toute la solidité convenable.

Je me suis proposé dans cet ouvrage de satisfaire à ce double objet, de reculer les limites de la mécanique, et d'en aplanir l'abord ; et mon but principal a été de remplir en quelque sorte un de ces objets par l'autre, c'est-à-dire, non-seulement de déduire les principes de la mécanique des notions les plus claires, mais de les appliquer aussi à de nouveaux usages; de faire voir tout à la fois , et l'inutilité de plusieurs principes qu'on avait employés jusqu'ici dans la mécanique , et l'avantage qu'on peut tirer de la combinaison des autres pour le progrès de cette science; en un mot, d'étendre les principes en les réduisant. Telles ont été mes vues dans le traité que je mets au jour. Pour faire connaître au lecteur les moyens par lesquels j'ai tâché de les remplir, il ne sera peut-être pas inutile d'entrer ici dans un examen raisonné de la science que j'ai entrepris de traiter.

Le mouvement et ses propriétés générales sont le premier et le principal objet de la mécanique ; cette science suppose l'existence du mouvement , et nous la supposerons aussi comme avouée et reconnue de tous les physiciens. A l'égard de la nature du mouvement , les philosophes sont au contraire fort partagés là-dessus. Rien n'est plus naturel, je l'avoue, que de concevoir le mouvement comme l'application successive du mobile aux différentes parties de l'espace indéfini , que nous imaginons comme le lieu des corps : mais cette idée suppose un espace dont les parties soient pénétrables et immobiles ; or personne n'ignore que les Cartésiens, secte qui à la vérité n'existe presque plus aujourd'hui, ne reconnaissent point d'espace distingué des corps, et qu'ils regardent l'étendue et la matière comme une même chose. Il faut convenir qu'en partant d'un pareil principe, le mouvement serait la chose la plus difficile à concevoir, et qu'un Cartésien aurait peut-être beaucoup plutôt fait d'en nier l'existence, que de chercher à en définir la nature. Au reste, quelque absurde que nous paraisse l'opinion de ces philosophes, et quelque peu de clarté et de précision qu'il y ait dans les principes métaphysiques sur lesquels ils s'efforcent de l'appuyer , nous n'entreprendrons point de la réfuter ici : nous nous contenterons de remarquer que pour avoir une idée claire du mouvement , on ne peut se^ dispenser de distinguer au moins par l'esprit deux sortes d'étendue : l'une qui soit regardée comme impénétrable , et qui constitue ce qu'où appelle proprement les corps ; l'autre, qui étant considérée simplement comme étendue, sans examiner si elle est pénétrable ou non , soit la mesure de la distance d'un corps ù un autre , et les parties envisagées comme

fixes et immobiles , puissent servir à juger du repos ou du mouvement des corps. Il nous sera donc toujours permis de concevoir un espace indéfini comme le lieu des corps, soit rëel, soit supposé , et de regarder le mouvement comme le transport du mobile d'un lieu dans un autre.

La considération du mouvement entre quelquefois dans les recherches de géométrie pure ; c'est ainsi qu'on imagine souvent les ligues, droites ou courbes, engendrées par le mouvement continu d'un point , les surfaces par le mouvement d'une ligne , les solides enfin par celui d'une surface. Mais il y a entre la mécanique et la géométrie cette différence , non-seulement que dans celle-ci la génération des figures par le mouvement est , pour ainsi dire, arbitraire et de pure élégance, mais encore que la géométrie ne considère dans le mouvement que l'espace parcouru ; au lieu que dans la mécanique on a égard de plus au temps que le mobile emploie à parcourir cet espace.

On ne peut comparer ensemble deux choses d'une nature différente , telles que l'espace et le temps : mais on peut comparer le rapport des parties du temps avec celui des parties de l'espace parcouru. Le temps par sa nature coule uniformément, et la mécanique suppose cette uniformité. Du reste, sans connaître le temps en lui-même et sans en avoir de mesure précise, nous ne pouvons représenter plus clairement le rapport de ses parties, que par celui des portions d'une ligne droite indéfinie. Or l'analogie qu'il y a entre le rapport des parties d'une telle ligne, et celui des }3arlies de l'espace parcouru par un corps qui se meut d'une manière quelconque, peut toujours être exprimée par une équation : on peut donc imaginer une courbe, dont les abscisses représentent les portions du temps écoulé depuis le commencement du mouvement, les ordonnées correspondantes désignant les espaces parcourus durant ces portions de temps : l'équation de cette courbe exprimera, non le rapport des temps aux espaces, mais , si on peut parler ainsi, le rapport du rapport que les parties de temps ont à leur unité, à celui que les parties de l'espace parcouru ont à la leur. Car l'équation d'une courbe peut être considérée , ou comme exprimant le rapport des ordonnées aux abscisses, ou comme l'équation entre le rapport que les ordonnées ont à leur unité, et le rapport que les abscisses correspondantes ont à la leur.

Il est donc évident que par l'application seule de la géométrie et dii calcul , on peut, sans le secours d'aucun autre principe, trouver les ])ropriétés générales du mouvement, varié suivant une loi quelconque. Mrtis comment nrrive-t-il que le mouvement d'un corps suive telle m\ telle loi particulière? C'est sur quoi la

DE L'ÉQUILIBRE. 3çp

géométrie seule ne peut rien nous apprendre, et c'est aussi ce qu'on peut regarder comme le premier problème qui appartienne immédiatement à la mécanique.

On voit d'abord fort clairement qu'un corps ne peut se donner le mouvemeat à lui-même. Il ne peut donc être tiré du repos que par l'action de quelque cause étrangère. Mais contiriue-t-il à se mouvoir de lui-même, ou a-t-il besoin, pour se mouvoir, de l'action répétée de la cause ? Quelque parti qu'on pût prendre là-dessus , il sera toujours incontestable que l'existence du mouvement étant une fois supposée sans aucune autre hyp^Jtbèse particulière , la loi la plus simple qu'un mobile puisse observer dans son mouvement , est la loi d'uniformité, et c'est par conséquent celle qu'il doit suivre, comme on le verra plus au long dans le premier chapitre de ce traité. Le mouvement est donc uniforme par sa nature : j'avoue que les preuves qu'on a données jusqu'à présent de ce principe ne sont peut-être pas fort convaincantes : on verra dans mon ouvrage les difficultés qu'on peut y opposer, et le^cbemin que j'ai pris pour m'eugager à les résoudre. Il me s0mble que cette loi d'uniformité essentielle au mouvement considéré en lui-même , fournit une des meilleure* raisons sur lesquelles la mesure du temps par le mouvement uniforme puisse être appuyée. Aussi j'ai cru devoir entrer làdessus dans quelque détail , quoiqu'au fond cette discussion puisse paraître étrangère à la mécanique.

ha force cV inertie , c'est-à-dire la propriété qu'ont les corps de persévérer dans leur état de repos ou de mouvement, étant une fois établie, il est clair que le mouvement, qui a besoin d'une cause pour commencer au moins à exister, ne saurait non plus être accéléré ou retardé que par une cause étrangère. Or quelles sont les causes capables de produire ou •de changer le mouvement dans les corps ? Nous n'en connaissons jusqu'à présent que de deux sortes : les unes se manifestent à nous en même temps que l'efTet qu'elles produisent , ou plutôt dont elles sont l'occasion : ce sont celles qui ont leur source dans l'action sensible et mutuelle des corps , résultante de leur impénétrabilité : elles se réduisent à l'impulsion et à quelques autres actions dérivées de celle-là : tontes les autres causes ne se font connaître que par leur effet, et nous en ignorons entièrement la nature : telle est la cause qui fait tomber les corps pesans vers le centre de la terre , celle qui retient les planètes dans leurs orbites , etc. Nous verrons bientôt comment on peut déterminer les eflets de l'impulsion, et des causes qui peuvent s'y rapporter ; pour iious en tenir à colles de la seconde espèce , il est clair quç

lorsqu'il est question des effets produits par de telles causes , ces effets doivent toujours être donnés indépendamment de la connaissance de la cause , puisqu'ils ne peuvent en être déduits : c'est ainsi que , sans connaître la cause de la pesanteur , nous apprenons par l'expérience que les espaces décrits par un corps qui tombe , sont entre eux comme les carrés des temps. En général, dans les mouvemens variés dont les causes sont inconnues, il est évident que l'effet produit par la cause, soit dans un temps fini, soit dans un instant, doit toujours être donné par l'équation entre les temps et les espaces : cet effet une fois connu, et le principe de la force d'inertie supposé , on n'a plus besoin que de la géométrie seule et du calcul , pour découvrir les propriétés de ces sortes de mouvemens. Pourquoi donc aurions-nous recours à ce principe dont tout le monde fait usage aujourd'hui, que la force accélératrice ou retardatrice est proportionnelle à l'élément de la vitesse ? principe appuyé sur cet unique axiome vague et obscur , que l'effet est proportionnel à sa cause. Nous n'examinerons point si ce principe est de vérité nécessaire ; nous avouerons seulement que les preuves qu'on en a apportées jusqu'ici ne nous paraissent pas hors d'atteinte : nous ne l'adopterons pas non plus, avec quelques géomètres , comme de vérité purement contingente , ce qui ruinerait la certitude de la mécanique, et la réduirait à n'être plus qu'une science expérimentale : nous nous contenterons d'observer que vrai ou douteux , clair ou obscur , il est inutile à la mécanique, et que par conséquent il doit en être banni.

Nous n'avons fait mention jusqu'à présent que du changement produit dans la vitesse du mobile par les causes capables d'altérer son mouvement : et nous n'avons point encore cherché ce qui doit arriver , si la cause motrice tend à mouvoir le corps dans une direction différente de celle qu'il a déjà. Tout ce que nous apprend dans ce cas le principe de la force d'inertie, c'est que le mobile ne peut tendre qu'à décrire une ligne droite, et à la décrire uniformément : mais cela ne fait connaître ni sa vitesse ni sa direction. On est donc obligé d'avoir recours à un second principe, c'est celui qu'on appelle la composition des mouvemens, et par lequel on détermine le mouvement unique d'un corps qui tend à se mouvoir suivant différentes directions à la fois avec des vitesses données. On trouvera dans cet ouvrage une démonstration nouvelle de ce principe, dans laquelle je me suis proposé, et d'éviter toutes les difficultés auxquelles sont sujettes les démonstrations qu'on en donne communément, et en même temps de ne pas déduire d'un grand nombre de propositions

compliquées , un principe qui e'tant l'un des premiers de la mécanique , doit nécessairement être appuyé sur des preuves simples et faciles.

Gomme le mouvement d'un corps qui change de direction peut être regardé comme composé du mouvement qu'il avait d'abord , et d'un nouveau mouvement qu'il a reçu , de même le mouvement que le corps avait d'abord peut être regardé comme composé du nouveau mouvement qu'il a pris , et d'un autre qu'il a perdu. De là il s'ensuit que les lois du mouvement changé par quelques obstacles que ce puisse être, dépendent uniquement des lois du mouvement détruit par ces mêmes obstacles. Car il est évident qu'il sufifit de décomposer le mouvement qu'avait le corps avant la rencontre de l'obstacle , en deux autres mouvemens tels , que l'obstacle ne nuise point à l'un , et qu'il anéantisse l'autre. Par là , on peut non-seulement démontrer les lois du mouvement changé par des obstacles insurmontables , les seules qu'on ait trouvées jusqu'à présent par cette méthode ; on peut encore déterminer dans quel cas le mouvement est détruit par ces mêmes obstacles. A l'égard des lois du mouvement changé par des obstacles qui ne sont pas insurmontables en euxmêmes , jl est clair , par la même raison , qu'en général il ne faut , pour déterminer ces lois, qu'avoir bien constaté celles de l'équilibre.

Or quelle doit être la loi générale de l'équilibre des corps ? Tous les géomètres conviennent que deux corps dont les directions sont opposées, se font équilibre quand leurs masses sont en raison inverse des vitesses avec lesquelles ils tendent à se mouvoir ; mais il n'est peut-être pas facile de démontrer cette loi en toute rigueur , et d'une manière qui ne renferme aucune obscurité ; aussi la plupart des géomètres ont-ils mieux aimé !a traiter d'axiome, que de s'appliquer à la prouver. Cependant ti l'on y fait attention , on verra qu'il n'y a qu'un seul cas oii l'équilibre se manifeste d'une manière claire et distincte ; c'est celui oii les masses des deux corps sont égales, et leurs vitesses égales et opposées. Le seul parti qu'on puisse prendre , ce me semble, pour démontrer l'équilibre dans les autres cas, est de les réduire, s'il se peut , à ce premier cas simple et évident pcr lui-même. C'est aussi ce que j'ai tâché de faire ; le lecteur jugera si j'y ai réussi.

Le principe de l'équilibre, joint à ceux de la force d'inertie et du mouvement composé , nous conduit donc à la solution de toiis les problèmes où l'on considère le mouvement d'un corps, eu tant qu'il peut être altéré par un obstacle impénétrable et mobile , c'est-à-dire en général par un autre corps à qui il doit I. 26

nécessairement communiquer du mouvement pour conserver

au moins une partie du sien. De ces principes combinés on peut

donc aisément déduire les lois du mouvement des corps qui se

choquent d'une manière quelconque, ou qui se tirent par le

moyen de quelque corps interposé entre eux , et auquel ils sont

attachés.

Si les principes de la force d'inertie , du mouvement composé et de l'équilibre , sont essentiellement différens l'un de l'autre , conime on ne peut s'empêcher d'en convenir; et si , d'un autre côté, ces trois principes suffisent à la mécanique, c'est avoir réduit cette science au plus petit nombre de principes possible , que d'avoir établi sur ces trois principes toutes les lois du mouvement des corps dans des circonstances quelconques , comme j'ai tâché de le faire dans ce traité.

A l'égard des démonstrations de ces principes en eux-mêmes , le plan que j'ai suivi pour leur donner toute la clarté et la simplicité dont elles m'ont paru susceptibles , a été de les déduire toujours de la considération seule du mouvement, envisagé de la manière la plus simple et la plus claire. Tout ce que nous voyons, bien distinctement dans le mouvement d'un corps , c'est qu'il parcourt un certain espace , et qu'il emploie un certain temps à le parcourir. C'est donc de cette seule idée qu'on doit tirer tous les principes de la mécanique, quand on veut les démontrer d'une manière nette et précise ; ainsi on ne sera point surpris qu'en conséquence de cette réflexion , j'aie, pour ainsi dire, détourné la vue de dessus les causes motrices^ pour n'envisager uniquement que le mouvement qu'elles produisent; que j'aie entièrement proscrit les forces inhérentes au corps en mouvement, êtres obscurs et métaphysiques, qui ne sont capables que de répandre les ténèbres sur une science claire par elle-même.

C'est par cette raison que j'ai cru ne devoir point entrer dans l'examen de la fameuse question des forces vwes. Cette question qui depuis trente ans partage les géomètres , consiste à savoir si la force des corps en mouvement est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse, ou au produit de la masse par le " carré de la vitesse : par exemple , si un corps double d'un autre, et qui a trois fois autant de vitesse , a dix-huit fois autant de force, ou six fois autant seulement. Malgré les disputes que cette question a causées, l'inutilité parf^ute dont elle est pour la mécanique, m'a engagé à n'en faire aucune mention dans l'ouvrage que je donne aujourd'hui : je ne crois pas néanmoins devoir passer entièrement sous silence une opinion dont Leibnitz a cru pouvoir se faire honneur , comme d'une découverte , que le grand Bernoulli a depuis si savamment et si heureusement

approfondie , que Marc-Lauriii a fait tous ses efforts pour renverser, et à laquelle enfin les écrits d'un grand nombre de mathématiciens illustres ont contribué à intéresser le public. Ainsi , sans fatiguer le lecteur par le détail de tout ce qui a été dit sur cette question , il ne sera pas hors de propos d'exposer ici trèssuccinctement les principes qui peuvent servir à la résoudre.

Quand on parle de la force des corps en mouvement, ou l'on n'attache point d'idée nette au mot qu'on prononce , ou l'on ne peut entendre par là en général que la propriété qu'ont les corps qui se meuvent, de vaincre les obstacles qu'ils rencontrent, ou de leur résister. Ce n'est donc nt par l'espace qu'un corps parcourt uniformément , ni par le temps qu'il emploie à le parcourir, ni enfin par la considération simple, unique et abstraite de sa masse et de sa vitesse qu'on doit estimer immédiatement la force; c'est uniquement par les obstacles qu'un corps rencontre, et par la résistance que lui font ces obstacles. Plus l'obstacle qu'un corps peut vaincre , ou auquel il peut résister, est considérable , plus on peut dire que s3l force est grande , pourvu que sans vouloir représenter par ce mot un prétendu être qui réside dans le corps , on ne s'en serve que comme d'une manière abrégée d'exprimer un fait , à peu près comme on dit qu'un corps a deux fois autant de vitesse qu'un autre , au lieu de dire qu'il parcourt en temps égal deux fois autant d'espace, sans prétendre pour cela que ce mot de vitesse représente un être inhérent au corps.

Ceci bien entendu , il est clair qu'on peut opposer au mouvement d'un corps trois sortes d'obstacles : ou des obstacles invincibles qui anéantissent tout-à-fait son mouvement, quel qu'il puisse être , ou des obstacles qui n'aient précisément que la résistance nécessaire pour anéantir le mouvement du corps, et qui l'anéantissent dans un instant , c'est le cas de l'équilibre; ou enfin des obstacles qui anéantissent le mouvement peu à peu , c'est le cas du mouvement retardé. Comme les obstacles insurmontables anéantissent également toutes sortes de mouvemens, ils ne peuvent servir à faire connaître la force : ce n'est donc que dans l'équilibre ou dans le mouvement retardé qu'on doit en chercher la mesure. Or tout le monde convient qu'il y a équilibre entre deux corps, quand les produits de leurs masses par leurs vitesses virtuelles , c'est-à-dire par les vitesses avec lesquelles ils tendent à se mouvoir, sont égaux de part et d'autre. Donc, dans l'équilibre, le produit de la masse par la vitesse, ou, ce qui est la même chose, la quantité de mouvement peut représenter la force. Tout le monde convient aussi que , dans le mouvement retardé, le nombre des obstacles vaincus est comme le carré de la vitesse ; en sorte qu'un corps qui a fermé un res-

4oo ' SUR LES LOIS

sort, par exemple, avec une certaine vitesse, pourra avec une vitesse double fermer , ou tout à la fois , ou successivement , non pas deux , mais quatre ressorts semblables au premier , neuf avec une vitesse triple , et ainsi du reste ; d'oii les partisans des forces vives concluent que la force des corps qui se meuvent actuellement, est en général comme le produit de la masse par le carré de la vitesse. Au fond , quel inconvénient pourrait-il y avoir à ce que la mesure des forces fut différente dans l'équilibre et dans le mouvement retardé , puisque , si on veut ne raisonner que d'après des idées claires,, on doit n'entendre parle mot Ae force que l'effet produit en surmontant l'obstacle ou en lui résistant ? Il faut avouer cependant que l'opinion de ceux qui regardent la force comme le produit de la masse par la vitesse , peut avoir lieu non -seulement dans le cas de l'équilibre, mais aussi dans celui du mouvement retardé, si dans ce dernier cas on mesure la force , non par la quantité absolue des obstacles , mais par la somme des résistances de ces mêmes obstacles. Car on ne saurait douter que cette somme de résistances ne soit proportionnelle à la quantité de mouvement , puisque , de l'aveu de tout le monde, la quantité de mouvement que le corps perd à chaque instant est proportionnelle au produit de la résistance par la durée infiniment petite de l'instant , et que la somme de ces produits est évidemment la résistance totale. Toute la difficulté se réduit donc à savoir si on dmt mesurer la force par la quantité absolue des obstacles , ou par la somme de leurs résistances. Il paraîtrait plus naturel de mesurer la force de cette dernière manière ; car un obstacle n'est tel qu'en tant qu'il résiste, et c'est, à proprement parler, la somme des résistances qui est l'obstacle vaincu : d'ailleurs , en estimant ainsi la force , on a l'avantage d'avoir pour l'équilibre et pour le mouvement retardé une mesure commune : néanmoins , comme nous n'avons d'idée précise et distincte du mot de force qu'en restreignant ce terme à exprimer un effet, je crois qu'on doit laisser chacun le maître de se décider comme il voudra là-dessus ; et toute la question ne peut plus consister que dans une discussion métaphysique très-futile , ou dans une dispute de mots, plus indigne encore d'occuper des philosophes.

Tout ce que nous venons de dire suffit assez pour le faire sentir à nos lecteurs ; mais une réflexion bien naturelle achèvera de les en convaincre. Soit qu'un corps ait une simple tendance à se mouvoir avec une certaine vitesse, tendance arrêtée par (•uelque obstacle , soit qu'il se meuve réellement et uniformément avec cette vitesse, soit enfin qu'il commence à se mouvoir avec cette même vitesse, laquelle se consume et s'anéantisse

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peu à peu par quelque cause que ce puisse être , dans tous ces cas , l'effet produit par le corps est différent , mais le corps considéré en lui-même n'a rien de plus dans un cas que dans un autre; seulement l'action de la cause qui produit l'effet, est différemmeiit appliquée. Dans le premier cas , l'effet se réduit à une simple tendance qui n'a point proprement de mesure précise, puisqu'il n'en résulte aucun mouvement ; dans le second, l'effet est l'espace parcouru uniformément dans un temps donné, et cet effet est proportionnel à la vitesse ; dans le troisième , l'effet est l'espace parcouru jusqu'à l'extinction totale du mouvement , et cet effet est comme le carré de la vitesse. Or ces différens effets sont évidemment produits par une même cause ; donc ceux qui ont dit que la force était tantôt comme la vitesse, tantôt comme son carré , n'ont pu entendre parler que de l'effet , quand ils se sont exprimés de la sorte. Cette diversité d'effets provenant tous d'une même cause , peut servir, pour le dire en passant, à faire voir le peu de justesse et de précision de l'axiome prétendu , si souvent mis en usage , sur la proportionnalité des causes à leurs effets.

Enfin ceux même qui ne seraient pas en état de remonter jusqu'aux principes métaphysiques de la question des forces vives, verront aisément qu'elle n'est qu'une dispute de mots , s'ils considèrent que les deux partis sont d'ailleurs entièrement d'accord sur les principes fondamentaux de l'équilibre et du mouvement. Qu'on propose le même problème de mécanique à résoudre à deux géomètres , dont l'un soit adversaire et l'autre partisan des forces vives, leurs solutions, si elles sont bonnes , seront toujours parfaitement d'accord; la question de la mesure des forces est donc entièrement inutile à la mécanique , et même sans aucun objet réel. Aussi n'aurait-elle pas sans doute enfanté tant de volumes, si on se fut attaché à distinguer ce qu'elle renfermait de clair et d'obscur. En s'y prenant ainsi , on n'aurait eu besoin que de quelques lignes pour décider la question ; mais il semble que la plupart de ceux qui ont traité cette matière, aient craint de la traiter en peu de mots.

La réduction que nous avons faite de toutes les lois de la mécanique à trois , celle de la force d'inertie , celle du mouvement composé et celle de l'équilibre , peut servir à résoudre le grand problème métaphysique , proposé depuis peu par une des plus célèbres académies de l'Europe, si les lois de la sta-^ tique et de la mécanigue sont de vérité nécessaire ou contingente? Pour fixer nos idées sur cette question , il faut d'abord la réduire au seul sens raisonnable qu'elle puisse avoir. Il ne s'agit pas de décider si l'auteur de la nature aurait pu lui

4o2 SUR LES LOIS

donner d'autres lois que celles que nous y observons ; dès qu'on admet un être intelligent capable d'agir sur la matière , il est évident que cet être peut à chaque instant la mouvoir et l'arrêtera son gré, ou suivant des lois uniformes , ou suivant des lois qui soient différentes pour chaque instant et pour chaque partie de matière; l'expérience continuelle des mouvemens de notre corps nous prouve assez que la matière , so'umise à la volonté d'un principe pensant^ peut s'écarter, dans ses mouvemens , de ceux qu'elle aurait véritablement si elle était abandonnée à elle-même. La question proposée se réduit donc à savoir si les lois de l'équilibre et du mouvement qu'on observe dans la nature , sont différentes de celles que la matière abandonnée à elle-même aurait suivies. Développons cette idée. Il est de la dernière évidence qu'en se bornant à supposer l'existence de la matière et du mouvement , il doit nécessairement résulter de cette double existence certains effets ; qu'un corps mis en mouvement par quelque cause , doit ou s'arrêter au bout de quelque temps , ou continuer toujours à se mouvoir ; qu'un corps qui tend à se mouvoir à la fois suivant les deux côtés d'un parallélogramme, doit nécessairement décrire , ou la diagonale , ou quelque autre ligne ; que quand plusieurs corps en mouvement se rencontrent et se choquent , il doit nécessairement arriver en conséquence de leur impénétrabilité mutuelle, quelque changement dans l'état de tous ces corps , ou au moins dans l'état de quelques uns d'entre eux. Or, des différens effets possibles, soit dans le mouvement d'un corps isolé , soit dans celui de plusieurs corps qui agissent les uns sur les autres , il en est un qui , dans chaque cas , doit infailliblement avoir lieu en conséquence de l'existence seule de la matière , et abstraction faite de tout autre principe différent qui pourrait modifier cet effet ou l'altérer. Yoici donc la route qu'un philosophe doit prendre pour résoudre la question dont il s'agit. Il doit tâcher d'abord de découvrir, par le raisonnement, quelles seraient les lois de la statique et de la mécanique dans la matière abandonnée à elle-même ; il doit examiner ensuite par l'expérience quelles sont ces lois dans l'univers; si les unes et les autres sont différentes , il en conclura que les lois de la statique et de la mécanique , telles que l'expérience les donne , sont de vérité contingente , puisqu'elles seront la suite d'une volonté particulière et expresse de l'Etre suprême ; si , au contraire , les lois données par l'expérience s'accordent avec celles que le raisonnement seul a fait trouver , il en conclura que les lois observées sont de vérité nécessaire; non pas en ce sens que le Créateur n'eût jiu établir

DE L'ÉQUILIBRE. 4o3

des lois toutes clifFérentes , mais en ce sens qu'il n'a pas jugé à propos d'en établir d'autres que celles qui résultaient de l'existence même de la matière.

Or, nous croyons avoir démontré , dans cet ouvrage, qu'un corps abandonné à lui-même doit persister éternellement dans son état de repos ou de mouvement uniforme ; nous croyons avoir démontré de même que s'il tend à se mouvoir à la fois suivant les deux côtés d'un parallélogramme quelconque, la diagonale est la direction qu'il doit prendre de lui-même, et , pour ainsi dire , choisir entre toutes les autres. Nous avons démontré enfin que toutes les lois de la communication du mouvement entre les corps se réduisent aux lois de l'équilibre, et que les lois de l'équilibre se réduisent elles-mêmes à celles de l'équilibre de deux corps égaux , animés en sens contraires de vitesses virtuelles égales. Dans ce dernier cas , les mouvemens des corps se détruiront évidemment l'un l'autre , et, par une conséquence géométrique, il y aura encore nécessairement équilibre , lorsque les masses seront en raison inverse des vitesses; il ne reste plus qu'à savoir si le cas de l'équilibre est unique , c'est-à-dire , si, quand les masses ne seront pas en raison inverse des vitesses , un des corps devra nécessairement obliger l'autre à se mouvoir. Cr il est aisé de sentir que dès qu'il y a un cas possible et nécessaire d'équilibre , il ne saurait y en avoir d'autres : sans cela les lois du choc des corps , qui se réduisent nécessairement à celles de l'équilibre , deviendraient indéterminées ; ce qui ne saurait être , puisqu'un corps venant en choquer un autre , il doit nécessairement en résulter un effet unique , suite indispensable de l'existence et de l'impénétrabilité de ces corps. On peut d'ailleurs démontrer l'unité de la loi de l'équilibre par un autre raisonnement , trop mathématique pour être développé dans ce discours.

De toutes ces réflexions , il s'ensuit que les lois de la statique et de la mécanique , exposées dans ce livre , sont celles qui résultent de l'existence de la matière et du mouvement. Or, l'expérience nous prouve que ces lois s'observent en effet dans les corps qui nous environnent. Donc les lois de l'équilibre et du mouvement, telles que l'observation nous les fait connaître , sont de vérité nécessaire. Un raétajDhysicien se contenterait jDeut-être de le prouver , en disant qu'il était de la sagesse du Créateur et de la simplicité de ses vues , de ne jioint établir d'autres lois de l'équilibre et du mouvement , que celles qui résultent de l'existence même des corps et de leur impénétrabilité mutuelle ; mais nous avons cru devoir nous abs-

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tenir de cette manière de raisonner , parce qu'il nous a paru qu'elle porterait sur un principe trop vague ; la nature de l'Etre suprême nous est trop cachée pour que nous puissions connaître directement ce qui est ou n'est pas conforme aux vues de sa sagesse ; nous pouvons seulement entrevoir les effets de cette sagesse dans l'observation des lois de la nature , lorsque le raisonnement mathématique nous aura fait voir la simplicité de ces lois, et que l'expérience nous en aura montré les applications et l'étendue.

Cette réflexion peut servir , ce me semhle , à nous faire apprécier les démonstrations que plusieurs philosophes ont données des lois du mouvement d'après le principe des causes finales , c'est-à-dire d'après les vues que l'auteur de la nature a dû se proposer en établissant ces lois. De pareilles démonstrations ne peuvent avoir de force qu'autant qu'elles sont précédées et appuyées par des démonstrations directes et tirées de principes qui soient plus à notre portée; autrement il arriverait souvent qu'elles nous induiraient en erreur. C'est pour avoir suivi cette route, pour avoir cru qu'il était de la sagesse du Créateur de conserver toujours la même quantité de mouvement dans l'univers, que Descartes s'est trompé sur les lois de la percussion. Ceux qui l'imiteraient, courraient risque ou de se tromj^er comme lui , ou de donner pour un principe général ce qui n'aurait lieu que dans certains cas , ou enfin de regarder comme une loi primitive de la nature, ce qui ne serait qu'une conséquence purement mathématique de quelques formules.

Après avoir donné au lecteur une idée générale de l'objet que je me suis proposé dans cet ouvrage , il ne me reste plus qu'un mot à dire sur la forme que j'ai cru devoir lui donner. J'ai tâché dans ma première partie de mettre , le plus qu'il m'a été possible, les principes de la mécanique à la portée des commençans; je n'ai pu me dispenser d'employer le calcul différentiel dans la théorie des mouvemens variés ; c'est la nature du sujet qui m'y a contraint. Au reste , j'ai fait en sorte de renfermer dans cette première partie un assez grand nombre de choses dans un fort petit espace ; et si je ne suis point entré dans tout le détail que la matière pouvait comporter, c'est qu'uniquement attentif à l'exposition et au développement des principes essentiels delà mécanique, et ayant pour but de réduire cet ouvrage à ce qu'il peut contenir de nouveau en ce genre, je n'ai pas cru devoir le grossir d'une infinité de propositions particulières que l'on trouvera aisément ailleurs.

La seconde partie , dans laquelle je me suis propose de traiter des lois du mouvement des corps entre eux, fait la portion la plus considérable de l'ouvrage : c'est la raison qui m'a engagé à donner à ce livre le nom de Traité de Djnamiqiie. Ce nom , qui signifie proprement la science des puissances ou causes motrices , pourrait paraître d'abord ne pas convenir à ce livre, dans lequel j'envisage plutôt la mécanique comme la science des effets , que comme celle des causes : néanmoins comme le mot de dynamique est fort usité aujourd'hui parmi les savans , pour signifier la science du mouvement des corps qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque , j'ai cru devoir le conserver, pour annoncer aux géomètres , par le titre même de ce traité , que je m'y propose principalement pour but de perfectionner et d'augmenter cette partie de la mécanique. Comme elle n'est pas moins curieuse qu'elle est difficile, et que les problèmes qui s'y rapportent composent une classe très-étendue , les plus grands géomètres s'y sont appliqués , particulièrement depuis quelques années : mais ils n'ont résolu jusqu'à présent qu'un très-petit nombre de problèmes de ce genre, et seulement dans des cas particuliers : la plupart des solutions qu'ils nous ont données , sont appuyées outre cela sur des principes que personne n'a encore démontrés d'une manière générale ; tels , par exemple , que celui de la conservation des forces vives. J'ai donc cru devoir m etendre principalement sur ce sujet , et faire voir comment on peut résoudre toutes les questions de dynamique par une même méthode fort simple et fort directe , et qui ne consiste que dans la combinaison dont j'ai parlé plus haut, des principes de l'équilibre et du mouvement composé. J'en montre l'usage dans un petit nombre de problèmes choisis , dont quelques uns sont déjà connus, d'autres sont entièrement nouveaux, d'autres enfin ont été mal résolus , même par les plus savans mathématiciens. L'élégance dans la solution d'un problème , consistant surtout à n'y employer que des principes directs et en très-petit nombre, on ne sera pas surpris que l'uniformité qui règne dans toutes mes solutions , et que j'ai eue principalement en vue , les rende quelquefois un peu plus longues que si je les avais déduites de princijîes directs. La démonstration que j'aurais été obligé de faire de ces principes , ne pouvait d'ailleurs que m'écarter de la brièveté que j'aurais cherché à me procurer par leur moyen; et la portion la plus considérable de mon livre n'aurait plus été qu'un amas informe de problèmes peu dignes de voir le jour, malgré la variété que j'ai tâché d'y répandre , et les difficultés qui sont particulières à chacun d'eux.

/\oG SUR LES LOIS DE L'ÉQUILIBRE.

Au reste , comme cette seconde partie est destinée principalement à ceux qui , déjà instruits du calcul différentiel et intégral , se seront rendu familiers les principes établis dans la première , ou seront déjà exercés à la solution des problèmes connus et ordinaires de la mécanique, je dois avertir que , pour éviter les circonlocutions , je me suis souvent servi du terme obscur de force, et de quelques autres qu'on emploie communément quand on traite du mouvement des corps ; mais je n'ai jamais prétendu attacher à ces termes d'autres idées que celles qui résultent des principes que j'ai établis, soit dans ce discours, soit dans la première partie de ce traité.

Enfin , du même principe qui me conduit à la solution de tous les problèmes de dynamique, je déduis aussi plusieurs propriétés du centre de gravité , dont les unes sont entièrement nouvelles, les autres n'ont été prouvées jusqu'à présent que d'une manière vague et obscure ; et je termine l'ouvrage par une démonstration du principe appelé communément la conservation des forces vives .