RÈGLE DIX- SEPTIÈME
1 1 faut parcourir directement la difficulté proposée, en faisant abstraction de ce que quelques uns de ses termes sont connus et les autres inconnus , et en sui* vant, par la marche véritable, la mutuelle dépendance des une» et des autres.
Les quatre dernières règles ont appris comment les difficultés déterminées et parfaitement comprises doivent être abstraites de chaque sujet, et réduites au point qu'on n'ait plus rien à chercher que quelques grandeurs que Ton connoitra , parcequ elles se rapportent de telle ou telle façon à certaines données. Maintenant nous exposerons dans les cinq règles suivantes comment ces difficultés doivent être traitées, de façon que toutes les grandeurs inconnues , contenues dans upe proportion, soient subordonnées les unes aux autres, et que le rang que la première occupe par rapport à l'unité, la seconde l'occupe à l'égard de la première , la troisième à l'égard de la seconde , la quatrième à l'égard de la troisième, et ainsi de suite , si le nombre va plus loin, pour " qu'elles fassent une somme égale à une grandeur connue ; et tout cela par une méthode tellement certaine, que nous pouvons affirmer sûrement qu'aucun autre procédé n'eût pu la réduire à des termes plus simples. Mais quant à présent, il faut remarquer que.
dans toute question à résoudre par déduction, il est une voie simple et directe par laquelle no\is pouvons passer d'un terme à un autre avec la plus grande facilité , tandis que tous les autres chemins sont indirects et plus difficiles. Pour comprendre ceci, il suffit de se rappeler ce que nous avons dit à la règle xi e , où nous avons exposé quel est l'enchaînement des propositions , qui, comparées isolément, chacune avec la plus voisine, nous laissent facilement apercevoir comment la première et la dernière sont eft rapport, encore bien que nous ne puissions pas aussi facilement déduire les intermédiaires des extrêmes. Maintenant , si nous considérons la dépendance de chacune entre elles, sans que l'ordre soit nulle part interrompu, pour conclure de là comment la dernière dépend de la première j nous parcourons directement la difficulté. Mais au contraire, si, de ce que nous sav onsque la première et la dernière sont jointes entre elles par une connexion quelconque, nous voulions en déduire les intermédiaires qui les unissent, ce seroit suivre la marche indirecte et contraire à l'ordre naturel. Mais comme ici nous ne nous occupons que de questions enveloppées, dans lesquelles il faut découvrir par une marche inverse, les extrêmes ' étant connus, certains termes intermédiaires, tout l'art en ce lieu doit con-
" Le texte : ex ternis. Lisez : extremis,
DE î/fiSÊRIf. 3a i
sister à pouvoir, eh supposant connu ce qui ne l'est pas , toous munir d'un moyen facile et direct de recherche même dans les difficultés les plus embarrassées; et rien n'empêche que cela n'ait toujours lieu, puisque nous avons supposé, au commencement de cette partie , que nous reconnoissons que les termes inconnus dans la question sont dans une mutuelle dépendance des termes connus, tellement qu'ils en sont parfaitement déterminés « Si donc nous réfléchissons aux choses qui se présentent d'abord aussitôt que nous reconnoissons cette détermination , et que nous les mettions , quoique inconnues, au nombre des choses connues , j>our en déduire, graduellement et -par la vraie route, le connu même comme s'îl-étoit inconnu, nous remplirons tout ce que cette-règle exige. Nous en remettons les exemples , ainsi que d'autres choses dont nous avons à parler, à la règle vingt-quatrième, parceque ce sera mieux là leur pl^ce.
kÈ&LE DIX^HUITIÈMEj
Pout cela il n'est besoin que de (juatre opérations, l'addition , la soustraction , la multiplication et la division; même les deux dernières n'ont souvent pas besoin d'être faites, tant pour ne rien embrasser inutilement; que parcequ' elles peuvent par la suite être plus facilement exécutées*
ii. ai
3a4 REGLES POUR Là DIRECTION
La multiplicité des règles vient souvent de l'ignorance des maîtres, et ce qui pourrait se réduire à un principe général unique est moins clair lorsqu'on le divise en plusieurs règles particulières. Aussi réduisons-nous sous quatre chefs seulement toutes les opérations dont nous avons besoin pour parcourir les questions > c'est-à-dire pour déduire •les grandeurs les unes des autres. Comment ce nombre est-il suffisant? c'est ce que l'explication de cette règle démontrera.
En effet , si nous parvenons à la , connoissance d'iyie grandeur parceque nous avons les parties dont elle se compose , cela a lieu par l'addition ; si nous connoissons une partie parceque nous avons le tout et l'excédant du tout sur la partie , cela se fait par soustraction. Il n'y a pas d'autre moyen pour déduire une grandeur quelconque d'autres grandeurs éprises absolument, et dans les* quelles elle est contenue de quelque manière que ce soit. Si au contraire une grandeur est intermédiaire entre d'autres , dont elle est entièrement distincte et qui ne la contiennent nullement, il faut l'y rapporter par quelque point; et ce rapport r si c'est directement qu'on le cherche , on le trouvera par la multiplication ; si c'est indirectement, par la division.
Poyr éçlaircir ces deux choses, il faut «avoir que l'unité , dont nous avons déjà parlé, est ici 1# b^se
ufc l'esprit. 3a3
et le fondement de tous les rapports* et que dans une série de grandeurs en proportion continue elle occupe le premier degré ; ,que les grandeurs données sont au second degré ; que dans le troisième, le quatrième et les autres sont les grandeurs cherchées si la proportion est directe ; si au contraire elle est indirecte, l'inconnu est dans le second degré et dans les dégrés intermédiaires, et le connu dans le dernier. Car si Ton dit : comme l'unité est à a ou à 5 , nombre donné, ainsi b ou 7, nombre donné , est à l'inconnu , lequel est a b ou 55, alors a et b sont au second degré, et ab qui en est le produit est au troisième; si l'on ajoute, comme l'unité est à c ou g , ainsi ab ou 55 est à l'inconnu abc ou 3 1 5 , alors abc est au quatrième degré, et le produit de deux multiplications d'à b et de c qui sont au second degré , et ainsi du reste. De même, comme l'unité est à a = 5, ainsi à =^5 est à a* ou â 5 ; et d'autre part , comme l'unité est à a = 5, ainsi Q? ou 25 est à a 3 ou 1 25 ; et enfin , comme l'unité est à a =5 , ainsi a* = 1 25 est à a* qui égale 6*5 , etc. En effet , la multiplication ne se fait pas autrement, qu'on multiplie une même grandeur par elle-même, ou qu'on la multiplie par une autre qui en diffère entièrement.
Maintenant si l'on dit : comme l'unité est à a =5, diviseur donné, ainsi B ou r inconnu est à ab ou 35 , dividende donné, l'ordre est renversé. Aussi B
ai.
3a4 REGLES POUR LA OFRECTIOIf
inconnu ne peut se trouver qu'en divisant ab par a donné aussi ; de même si Ton dit, comme l'unité est à a ou 5 inconnu , ainsi a ou 5 inconnu est à À" ou 25 donné, ou encore comme l'unité est à À=5 inconnu, ainsi À* ou a5 cherché, est à A 8 ou î a5 donné, et ainsi de suite. Nous embrassons toutes ces opérations sous le titre die division , quoiqu'il faille noter que ces dernières espèces renferment plus de difficultés que les premières, parceque souvent la grandeur cherchée y est contenue , laquelle par conséquent renferme plus de rapports. Car ces exemples reviennent à dire, qu'il faut extraire la racine carrée de a* ou a5, ou le cube de a* ou ia5, et ainsi de suite. Cette manière de s'exprimer, ifsitée parmi les calculateurs, équivaut, pour nous servir des expressions des géomètres j à cette forme, qu'il faut chercher la moyenne proportionnelle, entre cette grandeur de laquelle on part , et que nous nommons unité , et celle que nous désignons par a% ou les deux moyennes proportionnelles entre l'unité et a 3 , et ainsi des autres. De là, on comprend facilement comment ces deux opérations suffisent pour faire trouver toutes les grandeurs, qui par un rapport quelconque doivent se déduire de certaines autres. Cela bien entendu , il nous reste à exposer comment ces opérations doivent être ramenées à l'examen de l'imagination , et comment il faut les figurer aux
DE LESPRIT.
yeux, pour ensuite en expliquer 1 usage et la pratique.
S'il s'agit de faire une division, ou une soustraction, nous concevons le sujet sous la forme d'une ligne ou d'une grandeur étendue dans laquelle il ne faut considérer- que la longueur. Car
s'il faut ajouter la ligne a à la ligne
: b\ nous joindrons l'une à l'autre de cette
a b , et nous aurons
c . Si au contraire il faut extraire
manière
la plus petite de la plus grande, par exemple b de a, nous les appliquons l'une sur l'autre ainsi,
JL a, et nous avons la partie de la plus
grande que la plus petite ne peut couvrir, à savoir . Dans la multiplication nous aurons
aussi ces grandes données sous la forme de lignes ; mais nous imaginons qu'elles forment un rectangle, car si nous multiplions a par b , nous adoptons nos deux lignes à angle droit ab.de cette
manière a
, et nous avons le rec-
tangle
3a6 RÈGLES POUR LA DIRECTION
J)é plus , si nous voulons multiplier ab
par * , i| faut concevoir ab comme
une ligne , savoir ab , pour avoir
ab
pour abc.
Enfin dans la division où le diviseur est donné, nous imaginons que la grandeur à diviser est un rectangle , dont un des côtés est diviseur et l'autre
quotient. Ainsi soit le rectangle a
diviser par a on a
, on ôte la largeur a et
pour quotient, ou au contraire
si on divise par : b on ôtera la largeur
b et le quotient sera a
Mais dans les divisions où le diviseur n'est pas donné, mais seulement indiqué par un rapport quelconque, comme quand on dit qu'il faut extraire la racine carrée pu cubique, etc. , il faut alors concevoir le dividende et tous les autres termes , comme des lignes existant dans une série de proportions continues , dont la première est l'unité , et la dernière la grandeur à diviser; au reste, corn*
mçnt il faudra trouver entre cette dernière et l'unité toutes lés moyennes proportionnelles, c'est ce qui sera dit en son lieu. Il suffit d'avertir que nous supposons de telles opérations non encore achevées ici , puisqu'elles ne peuvent avoir lieu que par une direction inverse et réfléchie de l'imagination , et que nous ne traitons ici que des opérations qui se font directement.
Quant aux autres opérations, elles sont très faciles à faire , de la manière dont nous avons dit qu'il fout les concevoir. Il reste cependant à exposer comment les termes en doivent être préparés ; car, encore bien qu'à la première apparition d'une difficulté nous soyons libres d'en concevoir les termes, comme des lignes ou des rectangles, sans jamais leur attribuer d'autres figures , ainsi qu'il a été dit règle xiv e , souvent cependant, datts le cours de l'opération, le rectangle une fois produit par la multiplication de deux lignes doit être bientôt conçu comme une ligne pour l'usage d'une autre opération , ou bien le même rectangle , ou la ligne produite par une addition ou une soustraction, doit être conçu comme un autre rectangle indiqué au-dessus de la ligne par laquelle il doit être divisé.
Il est donc nécessaire d'exposer ici comment tout rectangle peut se transformer en une ligne, et, d'autre part, la ligne ou même le rectangle en
3fl8 RÈGLES POUR LA DIRECTION
un autre rectangle, dont le côté soit désigné; cela est très aisé pour les géomètres pour peu qu'ils remarquent que par lignes, toutes les fois que nous les comparons, comme ici, avec un rectangle, nous concevons, toujours des rectangles dont un côté est la longueur que nous avons prise pour unité. Ainsi tout se réduit à cette proposition-ci : Étant donné un rectangle , en construire un autre égal sur un côté donné.
Quoique cette opération soit familière aux moins avancés en géométrie, je l'exposerai cependant pour ne pas paroître avoir rien oublié.
JtÉGLK DIX-NEUVIÈME.
C'est par. cette méthode qu'il faut chercher autant de grandeurs exprimées de deux manières différentes que nous supposons connus de fermes inconnus, pour parcourir directement ta difficulté; car, par ce moyen , pous aurons, autant de comparaisons entre deux choses égales. ,
