CE
et DE = y/
•4- aax»
— a»aB»
-f-for*
-f. iw6«
— safr *a?
-f. 2a 3 ar
y» — . 2 ay -f. a».
Faisons maintenant NF = c , FE = à , deux quantités qu'il faudra trouver de ce que l'équation que donne le triangle rectangle FDE, dont les côtés sont déterminés, doit être égalée à celle-ci x* — 2ex-\-e% faisant seulement la différence =x , et en même temps e=af, FD=a — c- — x, ou bien
Vx* -f- a* -}- c % - — 2ax -f- 2cx — zac.
Étant donnés les points ca = 5, ba=^n (2), et ar = 5 , imaginons que soit décrite la courbe ae par le fil af fixé au foyer c, de là passant à e et à b , pour revenir ensuite à e et de là s'étendre à l'infini vers h , de manière qu'elle devienne plus lon-
(i) Le terme lax est oublié dans le texte.
(*) Il faut ici an chiffre, et non une lettre.
DE JRENi DESC&RTES. 449
gue à mesure que l'angle ère s'ouvre davantage, on aura toujours
er= 5 + 7J
eb = i + 5j ^ = 5 — 3y da = ay * -f- Sy
de = V— 49/ — 2oy 3 + 4y a + aoy
2ÛY -4— 10
et ensuite si l'on fait /"a = -~ — , le cercle dé-
crit du centre, f avec le rayon fe sera tangent à la courbe , et le produit de fe = ^~ — : par
4oy "f* 35
er = 5 + 7^ , sera au produit de fr = -=i
par ec = S — 3y, comme 3 est à 7. Si donc la
courbe ea contient un corps solide transparent
dans lequel la réfraction se fasse : : 3 : 7 , tous les
rayons venant du point r se dirigeront vers c après
s'être réfractés.
Soit maintenant ac 1 = a , ar = a , ab = b
Skby be = b -f-y , nous aurons et = — - -f- y -f- a ,
zby 2by*
etec=— y + a,fld = ±£. + y ,
iJ5o EXTRAIT DES MANUSCRITS
[\b*y -\* zba* -\- a y
et cfxerifrxcte: :a — 2b:a-ï-2b.
Soit maintenant ar=a, ab = b, ac = c,be=by,
3ay — cy -+- [\by -|- a* -+- ac
et — — ^ — ■ — - — : 5
ay — Scy + kby + ac-l-c*
ce = • "~- ' ■■ — — : ?
4«y* — 4«y* H- & h* -f-3«'y -4"3c*jr — 2flgy-h4«6y — 4cAy «A ==: a» -f-aat-f-c*
4a*6+4a^— 46*c-M6c»-f-a»y+8a^y-hi66*y-f.aacy-f^y— 86cy
a — 5a«-f-3c* — aûc + 4«* — 4bc<+>8ay+i6by— Scy
Étaftt donnés les trois points a , fr , c , on cherche la UgAfe au moyen de laquelle tous les rayons qui , daiii le verre, paroissent venir du point a, se disposent, au sortir de la surface du verre, dont le sommet est en c , comme s'ils venoient du point t>, ou comme s'ils tendoiènt vers b ; ou encore , telle que les rayons qui dans l'air paroissent venir du point à se disposent dans le v«rre comme s'ils venoient du point b.
Supposons que le point b tombe entre a et c, et que le centre f du cercle tangent là la courbe tombe entre a et b\ si Ion Fait ae^=a — y, be = ey -f- b -, il y aura la proportion
f«:fl: :y + * mcy+bc, c'est-à-dire , l'inclinaison du rayon ae dans le verre
à l'inclinaison du rayon be dans l'air comme x k c ; et la même chose auroit lieu lorsque le rayon passe de l'air dans le verre , si Ton faisoit i plus grand que b. Mais cette supposition est erronée, et la ligne ( que nous considérons ) sert seulement pour la réflexion inégale, et non pour la réflexion, le point f tombant entre a et b.
Supposons que le point a tombe entre b et c , ce sera encore la même espèce de courbe , car les points a et b sont réciproques, et toujours le point^ tombera entre a et b , lorsque l'on fera ae = a — y , et be = b + cy. Mais que Ton fasse at = a +y , et be = b — cy , le point f tombera entre b et c. Mais il ne paroît pas que cela puisse se faire , et par conséquent cette ligne ne sert point aux réfractions, mais seulement aux réflexions ; et il faut revenir à l'autre déjà trouvée , qui a trois foyers. Et même le point /peut alors tomber au-delà du point a vers g , dans lequel cas assurément la ligne ainsi décrite fait que les rayon qui dans le verre pa- * roissent venir du point a, paraissent, dans l'air, venir du point B, après la réfraction faite dans la surface dont le sommet est en c; ou au contraire, que les rayons qui, dans l'air, viennent du point b , se réfractent dans la surface concave du verre ayant le sommet en c, de manière qu'ils paroissent venir du point a.
Supposons maintenant ae—a — y , et be=ib — cy,
le point f tombe entre b et c, et alors assurément tous les rayons qui viennent de a prennent des directions divergentes dans le verre , comme s'ils venoienj de fr, ou au contraire les rayons qui dans le verre paroissent venir de b prennent des directions convergentes dans l'air comme s'ils venoient de a.
ac=a, ae^=-a — y
bc.=zb, be = b~{-,cy
de = ay* — y % + 2ay + 2ay
rf€=
■4- ac*
— ^abc*
— 8aé»
— Sabe
— 8tf6*c
Cherchons maintenant le point f 9 centre du cercle tangent à la courbe au point e , et faisons fc = f
sj y' — cy* — zbey — 2ay -+- zaf— 2bf
2a — 2b Ajoutant le carré de fd au carré de ed , nous aurons
fi>
-tab
+ Wc»
— ïafe*
-(- 8a* bc
— Sab*c
y — Sabcf + 8fazf — 8a«/ + &abf
~8abf*
4a» __ Sab -f. 46»
D'où , par le théorème général pour trouver les lignes tangentes , je tire
— ab + 66
— abc*
: — fl«6 ■+• a6</ -f. a6* — b*ef — a*bc -f. a*f -f- a6*c — a6/"
et par conséquent la valeur de la droite cfsstf sera
— aby ■+• 6*y -f- a«c*y — û6c*y -f- a*'b — a*b + a*bc — ab*c '/ — ay — bc*y •+• ac*y -f- by -f- a* — ab 4- abc — b f c
fa=. — a x y -{- 2aby — b*y + a 5 — 2a*b -f- a*b* , à diviser comme ci-dessus.
fb = a Vy — zabcy + b *c*y + a*bc — 2ab*c + 6 3 , à diviser de la même manière ; ou bien , en divisant l'un et l'autre paru* — 2ab-^-b% on a/«= — y-+- fl > et fb = c'y + bc; multipliant fa par fo on a — cy* -j- aey — fcy -J- afr ; et multipliant fb par ae on a — s'y 1 + ac*y — bcy + «6c.
Donc fb X ae :fa x be : : £ : 1 , c'est - à - dire , : r fk : fh.
Supposons maintenant que le point c tombe entre a et b , et le point d entre a et c , il pourra se faire que ae soit = a -f- y , ou qu'il soit = a — y , et que a* soit = a — y; dans ce second cas^la courbe est une de celles que nous cherchons. Mais si l'on fait fl£ = a +y, le point f tombera au-delà du point a , et la courbe , inutile pour notre but , ne pourra servir qu'aux réflexions inégales.
Dans la seconde figure, soit g le sommet de la courbe, de manière que bg soit plus grand que bd ; en supposant ae = a + y , et be ~ b -\-cy >
454 EXTEA.IT des MANUSCRITS v
^y-4-aAgr— y" — 2ay nous aurons dg = ^-^ ; façons,
pour abréger , le carré de cette quantité , = ce*, et nous aurons
j ' c x ay* — by* + zabey — naby #
soit A le centre du cercle tangent à la courbe au
ac*y — by -{- abc — ab
point e 9 kg sera = ; ~.
<ty — y-hbc — a
Maintenant, dans la figure première, je cherche
deux autres foyers de la courbe trouvée, que je
suppose être en £ et en A, et je prends
ge—g + cy — dy,
he = k-t- y +djr 9
gd = g — x,
hd=sh — x\
d'où je tire la valeur de x ou de de , et j'ai
arf y -h y» -f- zedy — c »y» -f, ngdy — 2gcy -f 2fo/y 4- aAy
de = ^r^r 5
qui doit être identique à la valeur précédente de
. «y— y'+wy+zbey ,
de = - (d = c — n, cest-
à-dire, à la différence entre les termes du rapport); j'égale donc les deux diviseurs, c'est -â- dire g = a -|- b -f- h ; ensuite les termes affectés de y* ,
et ensuite les termes affectés de y ; d'où je tire
d = ' si e est plus grand que l'unie , et
ensuite g =
DE RENÉ DESGÂRTES
ac x + %bc* -|- 2ac -J- z bc^a
ou bien
la droite cg, et h =
6c* -f- aas -|- 2k + 2<»+^
ou bien la droite ch , et la droite
À$ = — -I- h <y, et la droite
ac -f- a -+- ata
2fl -H te
et alors gh devient = a -f- b , si a et è sont égaux ; soit #= ^ac = a y ae=^a^jr,bc=b 9 be=:b+cy 9
. *f — y ' + agy -+■ 2bcy •
de = —
sa -tH 20
rfe
— 8a6c +4aéc a
y» — 8a» b \b» | — 8a6* 4a*c* 4- 8a6»c -4-8a a frc
Et soit f dans la droite aeb , entre a et c, le centre du cercle tangent à la courbe au point e ; on a
flÇ*3f-f»^*y — «y-*6y + a* +ab + akq + b*c
d'où il e$t démontré clairement que tous les rayons venant du point b tendent vers a après s'être réfractés dans la courbe ec, ou au contraire, lorsque
(i) Ici manquent les signes.
la courbe est convexe comme lorsqu'elle est concave , pourvu que la réfraction vers a soit à la réfraction vers b comme l'unité est à c.
Faisons maintenant
ae=a-\-y,be-=b+cy)Cd= -+ r J
de
y 3 + it>*c
— iabe*
— bab
y*(i)8a*bc
— Sab»e
— 8a*b + &ab*
Ici nécessairement le point d tombe entre fetc
l . •».* **> — by+abc — ab i 6, et î ai fc = — - ; — >
y — c?y -+• a — bc
ac % — bc*y -4- abc — b*c m
bf=^ i >
y — c'y -\- a — bc
ûy *— by + a* — ab
- , deux quantités qui sont
y — c *y + fl — ^ entre elles comme c'd + ta : y + a.
Maintenant , pour énumérer toutes les espèces de courbes qui changent les réfractions d'un point à un autre, je suppose que a soit toujours plus grand que 6, et c plus grand que d, et je fais E = b + l cy, ou b — ■ cy. Ensuite AE = a -{- cy , et BE = b H- 3 rfy ou 6 — 4 df/. Et encore AE = a -H dy et BE = b -j-'cy ou 6 — 6 cy. Enfin E= b+ 7 dy ou fc — 8 rfy. Ce sont donc huit chefs , pour chacun desquels il faut voir si le sommet de la courbe est en C
(i) Ici manque le signe.
de ren£ descartes. 4^7
ju en B entre A et C , et encore si la concavité de la courbe rçgarde vers A , ou vers le côté opposé. C entre A et B. Pour le premier chef D tombe entre A et C , et l'on a
c*y* — d % y* -*- ibey r+- aady 2a + %b dont le carré soit nommé #*, et Ton aura
x l -t~ac*y % + bd x y* -+• zabcy -j- zabdy
etFC =
a -tac*y + bd l y + abc — abd
c*y — bdy -\-ad-{-bc Pour le second et le troisième chef on ne trouve rien ici, ni "pour le sixième et le huitième non plus, lorsqu'il coïncide avec le premier; mais a et b ont été échangées entre elles.
Pour le cinquième chef la courbe est une spirale, et dabord elle tourne la concavité vers A, et ensuite vers B; elle n'est d'aucune utilité pour les réfractions , mais seulement pour les réflexions irrégulières , et même, elle est fermée.
Enfin , pour le septième chef, la courbe est bien en forme d'ovale; mais parceque le point F ne tombe point entre A et B, elle ne sert point aux réfractions, mais aux réflexions inégales seulement, et l'on a
CD = CyX ~ djà "*" 2UCy ~~ 2bd y
58 EXTRAIT DBS MAHOSCRITS
ED
ady* «+- bc % y % -*» zabcy -+- 2abdy
