VOICI MAUCTEITANT LE BILLET DX K» DX FSAHAT

f Version. )

a Vouloir délivrer entièrement l'algèbre des asymétries , c'est un ouvrage difficile, et sur lequel les analystes ne se sont pas encore assez exercés.

• Qu'on propose, par exemple, plua de quatre termes asymètres qu'il faut faire évanouir suivant les règles de l'art , quel analyste se retirera de cfet embarras^? Il travaillera beaucoup, il se cassera la tête; après une infinité d'opérations, il se trouvera aussi avancé que s'il n'avoit rien fait. L'analyse restera donc en chemin, accablée de tous côtés par les asymétries , et ne pourra plus faire un seul pas. C'est à nos habiles à la tirer de cet embarrks, et à lui ouvrir une route pour arriver à soïl but.

>Soit, par exemple, la racine (6 in a, a quar.)'^ la racine {z quat, -^din a^fa quar. + la sacine (m in a) -f-la racine (rf quar. ^a quar. )- la racine (ri» cL\a quar.) qu'on suppose égaux a, a-f- fr.

» Que l'analyste se tiï'e de cette asymétrie selon les règles de l'article, ou qu*il avoue J'inefficacîté de ses règles. Il me semble que les illustres en ceète 'Science ne sauroient prendre un plus digne et plus nécessaire emploi que celui d'aplanir ces

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dif£tcult^$ ; pour les y. exciter , vous lepr pourriez; dire par avance que j'ai fait quelques progrès eu cette matière , et qu'il f a beaucoup à découvrir et à inventer ; vous pourrez mém^ en écrire en Italie et en Hollande, afin que la prophétie du chancelier. d'Angleterre s'accomplisse : Plusieurs pasêerantjf et la sciey^ee augmentera. »

Pour le billet de M. de Fermât, puisqu'U est en latin y il faut que j'y réponde aus$i en latin , . et ensuite de ces mots , L'analyse ratera donc en chemin , etc. , je réponds :

Notre analyste ne s'arrête pas en si beau cb^nin , et voici une méthode pour y parvenir. Otant toys les signes de la symétrie, il Êiut joindre ensemble tous les termes donnés (qui de cette manière sont devenus comma^isurables ) , et ensuite les multiplier carrément. Il faut les multiplier ainsi trois fois si l'on a donné cinq tonnes asymètres, quatre fois, si l'on en a donné six, cinq fois si Ton en a donné sept , et ainsi à l'infini.

Ensuite des termes produits paria dernièra multiplication, ou de leurs multiples joints ensemble par la seule addition oSU soustraction ^ résulte une équation qui n'est embarrassée d'aucun terme asymètre, et qui est égale à la première.

Ainsi dans l'exemple donné il y a six termes asyniètres que j'écris ainsi: ba-^aa -f sz -f da '^' H^f ma -f ddd-aa f ra-^ aaf bbj;- *2ba\aa.

Ces termes multipliés une seule fois carrément produisent seulement vingt*un termes; car il faut observer qu'on doit- conserver à part toutes les parties du produit de chaque terme (quand-il y en a plusieurs), et ne les point confondre avec d'autres termes , quoique entièrement semblables , avant la fin de l'opération. Ces vingt-un termes multipliés carrément en produisent beaucoup davantage ; mais parceque ces multipHcaticms se peuvent faire par un simple calcul de plume, et qu'un hshbile analyste corrige aisément les fautes qui se pourroient glisser dans le calcul d'un arithméticien, la longueur de l'opération ne doit pas être mise au nombre des difficultés; j'ai encore une méthode plus courte, mais qui ne seroit pas si fort à la portée d'un simple arithméticien.

Mais je demande ici à M. de Fermât, et à M. de Roberval (et principalement à ce dernier ; car, puisqu'il occupe la chaire de j^lsynus, il doit répondre à cette question , ou avouer qu'il ne mérite pas ce poste), comnoent on trouvera dans le produit de la dernière multiplication quels sont les termes qu'il faut ajouter et quels sont ceux qu'il feut soustraire pour avoir l'équation demandée. Que M. de Roberval n^aille pas dire, selon sa coutume, qu'il lui faudroit' beaucoup de temps pour satisfaire à cette question , et qu'il a d'autres affaires ; car j'assure ici, et même, s'il est besoin, je le dé-

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montrerai, qu'un sayaut analyste peut trouver en très peu de temps ce que je demande, et je puis protester que je n ai pas employé plus d'uft demiquart d'heiu'e à chercher cette méthode , à la trouver, et à rn€; convaincre qu'elle s'étend à toutes les espèces d'asymétrie.

PEOPOSITIOir DiMOITTRlÊE PAR M. DESCARTES.

Une section conique quelconque étant donnée, et un point situé hors de son plan à yolonté , trou* Ver un cerde qui soit la base du cône que décrit une ligne, droite menée du point donné comnie sommet autour de. la section conique donnée; car on ne peut douter qu'une surface ainsi décrite ne soit conique , et il est très aisé 4e 1^ d^)ontrer quand on a trouvé le cercle qui fait sa base.