A^M. DE FERMAT

(Lettr/e 4^ du tomid III.}

A Paris, le i5 mai i658.

Monsieur,

Je ne yeux pas m'arréter beaucoup à vous faire des excuses d'avoir tant tardé à faire réponse aux deux vôtres, l'une du troisième et l'autre du dixiènae mars dernier , parceque je ma persuade que vous croirez aisément qu'il m'a &ila des ob« stades invincibles pour m'empécher de satisfaire à temps à des témoignages si obligeants de votre suffisance et de votre civilité. En efiEet , une maladie qui ^l'a détenu ^lans le lit presque tout ce temps^ là, et qui m'a ôté le tnoyen de pouvoir attacher mon esprit à desspéculations «i relevées, est la véri* table cause qui m'a empêché de vousiémoignerpius tôtmareconnoissance. Mais tout cela seroit peu, si je pouvcMS aujourd'hui répondre k tous les douâtes de votre sceptique^ et «atisÊure pleinement aujc difficultés que vous pfopoisez dans votre dernière;

LfiTTRES. /JOI

car.cororae elles ne dépendent ^point du temps, la réponse n'en seroit de rien moins recevable et convaincante , pour n'être pas venue à temps. Néanmoins, pourvu que ce soit à vousj monsieur, que j'aie affaire , et non point à votre sceptique , dont l'humenr seroit trop difficile à contenter, je me promets de pouvoir éclaircîr la plupart de ses doutes, et de faire voir, si je ne me trompe , si clairement en quoi il s'est mépris lui-même dans ses raisonnements, que, vous prenant vous-mrême pour l'arbitre de nos différents et pour lé juge de nos conclusions, j'espère que vous reconhoitrez la subtilité des siennes et la vérité des miennes, c'est^-dire de celles de M. Descartes.

Premièrement, je ne vois point que le raisonnement'que fait M. Descartés, à l'occasion delà figure de la page ûo de sa Dioptrique, soit aucunement opposé au sens commun , tii que l'extension qu'il en fait de la réflexion à la réfraction soit forcée ; car la même raison qui lui a faifc conclure en la page 1 6 que la terre CEE ne pouvoit empêcher que la déterniination de haut en bas , et non point celle de gauche à droite , pourcequ'elle est entièrement opposée à la première *et point du tout à la seconde , la même lui a dû faire conclure dans la figure de la page 20 et 2 1 que la détermination de haut en bas pouvoit bien être changée en quelque façon par la rencontre de la toile où de l'eau ,

ib. 16

mais ppînt du toyt celle qui fait temjra.la balle vers la main droite, à cause que Teau ou la toile est en quelque façon opposée à l'une, et point à Tautre. Je vous prie de remarquer ici la façon de par^ 1er (le M* Descartes (car c'est de là que dépend en partie la résolution de tous, les doutes de votre sceptique ); il ne dit pas simplement que la détermination de haut en bas peut être ch4ngée par la rencontre de la toile , mais seulement qu'elle peut être changée en quelque façon ; car^en eâet elle n'est pas tout-à*fait changée , puisque la balle continue de descendre , mais elle est changée en quelque façon , en tant que c'est changer en quelque façon la détermination qu'un mobile avoît à avancer vers un certain côté, que de faire que^ansle même temps il n'avance pas tant vere ce.coté^là qu'il faisoit auparavant; ce qui change la quantité de sa détermination.

De plus , trois circonstances que remarque votre sceptique pi)ur lem pêcher d'admettre cette conséquence ne la peuvent aucunement infinmer ; car que la vitesse soit diminuée , que le milieu soit

changé, et que la détermination de haut en bas ne soit pas tout-à-fait empêchée , mais que la baUe continue de descendre , tout cela ne doit point apporter de changement à la détermination de gauche à droite, c à laquelle pas, une de ces circonstances ne s'oppose et ne met qbstacle , puisque

cette déterm&iatioâ peut demeurer la iuême, quoique la vitesse soit changée, une même détermîoation pouvant être jointe à différentes vitesses. lie milieu ne peut aussi apportei' aucun changement à cette détermination ', puisqu'il lui est également facile de s'oumr et faire passage d'un côté que d'autre; et bien que U balle continue de descendre^ et ne remonte pas cbmme en la réflexion, cette détermination vers la droite se peut aussi bien faii^ et maintenir en descendant qu'en rémontant.

Jusques ici votre sceptique auroit ce me semble tort de ne vouloir pas accorder que la détermination de gauche i droite demeure la même en la réfraction , après en être demeuré d'accord sans difficulté en la réflexion ; et il ne doit point appréhender qu'on le chicane sur l'explication de ce terme , et qu'on- l'oblige à rien avouer qu'on ne prouve , et qui ne soit tiré par une conséquence légitime de ce qu'on a avancé auparavant, M. Descartes ayant trop soigneusement fait remarquer la différence qu'il y a entre la détermination et le mouvement^ ou, comme vous dites, entre la détermination et la puissance qui meut, pour s'en oublier.

Mais voici le point qui effarouche votre scep* tique, et qui lui fait perdre ce peu de respect qu'il sembloit encore porter au nom de M. Descartes ;

4o4 X£TTR£S.

c*QSt à oe cmip qu'il dit n'entçodre plus da raille* rie>, et que s'il a consenti de bonne foi que la d^ termination vers la droite ne changepit pas, il pro* teste qu'il n'est point engagé à consentir- qn^ la b^le, changeant de milieu y fasse toujours un égal progrès, et, comme il dit yn peu auparavant , aille aussi vitevers la droite, après qu'ila été supposé que la balle au point B perd la moitié de sa vitesse; et que M. Descartes a si soleonellement assuré que la détermination et la force mouvante soQt tout-àfait différ^ites et distinctes.

' Mais ne voyez -vous pas que ce qui empêche

votre sceptique d'y consentir et d'y donner les mains , est qu'il ne distingue pas as^ez lui*-même la détermination d'avec la force mouvante ou la vitesse^ et qu'il les confond- ensemble, croyant que la perte que l'une souffre , à savoir la vitesse , se doive ressentir par l'autre , à savoir par la détermination vers la main droite, quoique rien ne se soit opposé qui ait pu changer ou diminuer la quantité de la détermination que la balle avoit à avancer vers ce côté^là. Car s'il avoitfaien pris garde à ce que dit M. Descartes, il n'auroit pas de peine à comprendre que la vitesse étant diminuée de moitié au point B , la détermination de gauche à droite demeurant toujours la même en ce pointlà qu'elle a été auparavant, il est nécessaire que la balle suive la ligne BI pour faire que la détermi-

nation qu'elle doit prendre se rï^porte à la vitesse ou à la force qui lui feste , et qui la coixàAienee en-BvEt quoique dans la route qu'elle ^lend; ^ des temps égaux , elle avance aut^at ver» la droite qu'elle faisoit auparavant , et qu^i|i$i la détermi* nation qu'elle avoit à avancer vers ce côté-4à ne soit? point changée , il ne s'ensuit pas qti^eUe aille ausj}> lïite qu'elle laisoit auparavant ; ce que Votre' s<^p^. tique semble' a voîi: toujours appdhéhendé qu'on lui voulût faire açoorder , puisque M. DesCartes avoue' luihtéme qu'il lui feut le dtuible du temps . pôurl faire an tant de cheHun qu'auparavant; mak comme dfti^ la route' c^'eîle est obligée de prendre elle inaUne plus quelle ne* faisoit vers* la droite", elle ne laisse pas d'avancer autant vers^cecoté-là, quoiqu'elle aill<& deux fois «ooinA vite.

Ex aest à mon arviis ce qui fait la beauté ^et la force tout ensemble du raisonnement d^iM. Descâi^és^ de faire voir quelle doit être dans cette rencontre I^ route véritable que àoit prendre la balle , qui ne peut être aiïtre que ceftejqa'ita ^pliquée^egl €e lieu-là , pour se rapporter à la déterminatioa vers là droite, quelle doit garder, et à la pe^té de k vitesse qu'éUe a soufferte en B.

Mais ce .qui a le plus abusé votre sceptique est un «raisonnement , très spécieux à la vérité, et très capable de siu^prendre les autres, et de faire qu'oa y soit surpris soi-iftéme^ si Von n'y prepd ga^de^,

4o6 LETTRES.

nfiais qui pourtant^st faux, et contre rintentîonde M. Déscartes. Ce raisonnemeirt est que comme M. Descartes sur la figure de ]a page âo dit que lâ détenÀinatioh vers le c6té droit étant hi tneme^ quoique le mouvement de la halle soit dhnînaéde moitié au point B, en deux fois autant de temps elle doit avancer deux fois autant vers la droite ; êqnc'à pari, dit votre soeptique, posé quela' balle soit poussée perpendiculaireâient depuis H jusqt|6B à B, et qu'elle continue son motivemenl verfe BG, hi détertDlnation de la balle sur la rotlte BG n'étant point changée an point B , et demeurant la même puisque le mouvement perpendiculaire se ûonffmie dans la même Hgne HBG « en deux fois autant de temps , elle doit avance!* deicix>fdis€titant, et aussi vite au-dessous de B^ qu'elle avoir fait auparavant au-deâsu^yce qui est absurde, pui^sque Ton suppose que la balle au point B a pei^u la moitié dé sa vitesse.

Véritablement , si la conséquence qu'il infèi^e étott bien tirée de ce qu'a avancé M. Descartès, je concktrois comme lui que M. Descartes se seroît trompé dans son raisonnement, duquel il s'ensui* vroit une telle absurdité ; mais ftussi M: Descartes ô-t-il dit tout autre chose que ce que votre sceptique lui veut Éaire dire: car, quand il a dît que la détermination qu'avoît la balle à avancer versi le côté droit demeuroit la n^rémé/et que par censé-

quent «n deux fois au^ant de terpp3 ^Ite devoit faire deux fms autant de cfaiemin veiç ce côté-là , U a conclu cela de ce que , b|en qu'on suppose^ que la balle au point B perde la moitié de sa vit^se 9 néanmoins -elle ne perd rien du tosit de la quantité de la détermination qu'elle avoit à s'avancep vers le o6t^ droit , à laquelle détermination la toile 9'est aucunement opposée en ce sens*là , et laquelle se doit et se peu^ accommoder à ig citasse qui reste en la balle, pour faite en sorte qœ, sans déroger à la perte ^qu'elle a soufferte , et qu'allant mc^ins vite , elle ne laisse pas d'atancer autant vers le côté droit qu^elle eût fait si elle a'ei^t rien perdu de sa vitesse^ Mais peut-on dire la même chose de la détej;mination d'une balle que l'on suppose tomber perpendiculairement sur la mêtçe toile, à savoir, que la superficie sur laquelle elle* tombe ne lui est aucunement opposée en ce sens- là, et qu'en per-* dant la moitié de. sa vitesse , die ne perd rien ^n tout delà qtyiutité de, la' détermination qu'elle avoit à s'avancer v^s G, et que.oiptte détermination se doit et se peut accommoder avec la vîtes^ qui lui reste, poiur la. faise. avancer en un.tetapségal sur la ipéme route > autant qu'elle eûtiaît si elle, n'eût rieir perdu de sa vitesse; cfnHainement personne ne . dira, que ce cas soit s^mblisJ^le . au premier 7 et par conséquent lia cc^ïçlusiop n'en .peuj; être pareille.

4o8 LETTRES.

Aussi tout le défaut du raisonnement da votre

sceptique ne vient que de ce qu'il seml)iev n'avoir pas pri3 f[arcle que cette superficie CB£ , en iar quelle la balle aii. point B perd la moitié de sa vi* tesse, est toujours opposée à sa détemûnation de haut en bas y soit que la chute soit petpendiculaf re ^ ou qu'elle «ne 1^ soit pas; en sorte que, quoiguela balle coo(uiuede<lescendre9 et^ménie qu'elle descende dans la méa^ne. ligne qu^nd elle a •été poussée perpendiculairement ^ on ne aauroit pas dire que cette déterminajtion vers le bas &mt la-meme, ayant été changée en quelque façon, ainsi que dit M. Descartes ; car la balte ne descend plus avec une pareille détermination , puisque dans un temp^égal elle ne va pas si loin qu'elle étoit déterminée d'al* 1er avant qu^elle eût perdu la .moitié de la vitesse,* ce qui est un cbattgement en la d^erminatio» qu'elle avoit à avancer versKje c6té'»-ljâL

£t si vous y prenez «gainié ,' tous les changement^ de détermination que M. Dtscabtes a dit; s'ensuivre en la balle, du. dbangemen^t quirai^rîva en sa vitesse, ou en la (otce qui l'avance ou'qm:là retarda en B (selon, les différentes suppositioiis qu'il fait ) , ont tous été en là déterjxiination de hailL en bas ^ et non point en ceUe.de gauche à droite^ à causé» comme il a dit. ea la page 20, ligne^ i6|>que des tteux parties dont oa peut imaginer que la déter* ^lination de la balle sur la route A£ est composée

il n'y a que ceHeqni faîfloit tendre laiMtlle de haut en bas qui puisse être changée y 0^ qddqtieÊiçon^par la roQc^ntPé dé la toile; mais à {>kif^oite raison cette toile peut-elle faire changer k détermination perpendiculaire, à laquelle elk ^t entièrement oppQséQ,.qm«s( simple, et qu'on-ne peut pas dire être: composée dedeuxautr^ , à Yvm» dm* quelles elle ne .soit point du tout^opposéé, rainai qu'elleue l'est point à cellede g^icheà drciite^^uand la ball^ çst poussée de bi^îs, suivant la lignes AB. Ori, quel icbangemeAt . peutril arriver en* cette di^^minaUoi» d^ l^ul en M»^ qtte celui qu'a exr pliqué M.» Pe&carjtas, àvSiavoiir, qiie^celte baille^ e» continuant de descen^ire^ avasiee» tantôt plus et tantôt moins vers k. bas qu'elle ne faisôit, sekoù le changement, c'est-à-dire selon l'augmentation ou 4a- diminution que sa vitesse a reçue en B^.et selon le rapport que 'Ceti;^ vitfesse s'est trouvé^ avoir avec la <iétermination vers le côté 4roit,^.qui a du touj<mrs demeuner. la^mén^ef comme* j'ai dit plusieurs fois, . c'est-à»dira qui a dû faire que la lM|lle ait toujours ^autant avftnc4 de ce côté4à qu'elle avoit&it auparavant . Et partonty'taul s'en faut que Tabsurdité qu'avoit voulu iïiférer votre sceptique soit une suite de ce qu'a dit tM. : Descartes , qu^s^ eontçaire il se trouve que c'est lôirméme qui, au lieu de faire un boni argum^at, s'est embarrassé d«n&uix aopbwne, en

4^0 L£TTR£S.

supposant que la ééterimnation de la ball^daus une ckutef perpendiculaire étoît la même, au même se»s 4}ue celle de gauche à droite est dite être la ménie quand k balle tombe obliquement

Que si après cefe vous prenez 4a peine d'exa-' minerla-réponse que M. Descartes a faîte lui-même au reste des difficultés que votre sceptique lui a autrefois proposées par Fentremise du révérend père Mersenne, et auxquelles il satisfit alors, par une lettre qu'il adressa à M. Midorge , dont je vous ai naguère envoyé la copie ,' vous trouverea que ce qu'il dit est véi*itable , à savoir, que votre sceptique s'est trompé , pour avoir parlé de la composition du mouvement en deux divers sens, et inferé de l'un ce qu'il avoit seulement- prouvé de l'autre,

Je.ne rép^epointici cequ'iipen a dît; car, o«tre qu'il seroit inutile , comme j'ea étois là , un de m'es amis , appelé M. Rofaâult , savant mathématicien , et des pltis Versés que je Mnooisseen la "philosophie dé M. Descattes, m'est venu apporter une réponse qu'il a faite à votre lettre au père Mersenne ^pensant que M. Descartes n'y avoit point répondu (cav je ne lui avois point montré cette lettre à M. Midorge) et que vous n'eussiez reçu de lui aucune réponse > voyant que dans la lettre que vous m^avea fait l'honneur de m'écrira, laquelle je lui avois fsàt voir, vous continuez vos premières difficultés, et

que dans celle à M. deia Chambre, vous, dites avoir autrefois contesté à M. Descactes sa^d^ons* tration touchant l£i réfraction, à lui, ditea^vous, mvmii aique sentienti, naais qu'il fie vous satisfit jamais. Et pourcequ'il entend beaucoup mieux que moi toutes ces matières, et qu'il a répondu article par article à votredite lettre, je m'abstiendrai de vous ennuyer davantage par mon discours, afiii de vous laisser plue de temps pour ^examiner la réponse qu'il y a faite. Sll me reût apportée plus tôt, il nousauroit tou$ deux soulagés, xnoi d'écrire d'un sujet qui passe mes forces^ et vous (Je lire une ai mauvaise leltre^ mais comme c'en étoit déjà Êtit, je n'ai pâ6 voulu perdre mapeîiie, et. j'ai pensé qu'il valoit mieux vous fatiguer de cette lecture, et tous dqiiu>er p^r même moyen des preuves du soin où je m'étois mis de m'acquitter dece que je vous devois , que de vous laiss^^r venir la pensée que je m'en serois peut-être oublié et qpe j'awois été bien aise de ;^'en déçl^rgi^r çur u^ diUt^e^' '

Aure$lie:,^K>Itôieur, jevowprie d'excuser ce qui p».m-éire échappé de libres. r4po«|a»t4 voU. scêplique^ j'âuroîs agiafec tout un autre respect si }'eu3«e eu afifaire à vous; mai5,-bi6];^ loin de oràiûdm. que paiir cela vous me refusiez justice, je. prends même l'asfiiiraiioe <de -vous demander quelque grâce; il y aides c^ncoitfi^ où un peu de^

4l2 LETTRES.

faveur n'offense point Féquité; et si en celle-ci vous prenez mon parti , j& puis vous assurer qu'en toute autre occasion je serai entièrement à vous j et que vous poirtrrez faire état d'avoir toujours tout prêt en moi, etc.