ANALYSE POUR LES RÉFRACTIONS

C Version. )

Soit le cercle ÂDBI ' , dont le diamètre ADB sépare deux milieux de dî ve^e . nature y le pltis rare desquels soit du côté ACB* et 4e plus dèttse du côté AIB. Que le ceptr$ du cercle soit D,roù tombe le rayop CD du point . donné .C ; jl: : est

» Figure r4. . . , . .

LEtTAES. 475

question de chercher le rayon diadastique DI, c'est-à-dire de trouver le point I , où tend le rayon rompu.

Pour le faire soient menées sur le diamètre les deux lignes droites perpendiculaires CF^ IH. Et puisque le point C est donné, avec le diamètre ÂB , et le centre D , le point F est aussi donné ^ et la ligne droite FD.

De pluS| que la raison des milieux , c'est-à-dire que la raison de la résistance du milieu le plus dense soit à la résistance du milieu le plus rare comme la ligne droite donnée DF à une autre mise hors le cercle, à savoir M, laquelle sera plus petite que la ligne droite DFy puisque, par une raison plus naturelle , la i^ésistance du milieu le plus rare ^t moindre que celle du plus densd.

Nous avons donc a mesurer les mouvements qui se font par lés lignes droites CD et DI, par: lé moy^n des deux lignes droites M et DF, c'est-à-^* dite que le mouvement qui se fait par les deux lignes droites CD et HI est représenté par la somme des deux rectan^es, dont l'un est contenu sous les lignes CD et M, et Tautre sous les lignes DI et DF.

Ija question se réduit donc à ee point, de eott* per tellement Je diamètre AB au point H, qu'ayant mené dece*point-là la perpendiculaire HI , et ayant JQint du centre Djau point I la ligne DI , il arrive

que la somme des deux rectangles sous CP et M et sous DI et DF contienne le moindre espace. •

Et, afin d'en venir à bout par 'notfé méthode, qui a déjà eu cours parmi les géomètres, et quHérigode â rapportée dansr le sixième tome de son Cours de mathématique y il y a près de vingt ans :

Que le rayon CD qui eât donné soit nommé N 9 le rayon DI sera aussi N; que la droite DF soit nommée B, et soit supposé que la ligne droite DH soit. A; il faut^donc que NM -}- NB soit la moindre quantité.

Concevons que la ligne droite DO prise à discrétion est égale à l'inconnue E, puis joignons les deux lignes droites CO, OI. Le carré de la ligne droite CO , parlant en termes analytiques , sera N ai -j^ E 3 - 2 BE; et le carré de la droite OI sera N 2.-{- Ei a -j- 2 AE, par conséquent le rectangle coi>ténu sous les deux lignes CO et M sera , selon ces mêmes termes analytiques , la racine carrée de M a' N 2 -f M 2 E 2 - 2 M i BE , et le rectangle coiitenii sous les deux lignes OI et B sera la racine * carrée de B 2 N2-j-B2E2-{-2B2 AE. Or, ces deux rectangles doivent, selon les préceptes de l'art, être égaux auiç deux rectangles MN et BN. . Après cela il faut catrerJe tout, afin d'en ôter l'a&ymétme,^ et après avoir retranché. 'les termes communs , et avoir mis d'un côté le terme asy-

métrique , on carrera derechef, le reste , après quoi, ayant ôté les termes communs, et divisé les autres par E , et ayant enfin retranché, les termes homogènes qui sont affectés de la lettre E , selon les préceptes de notre méthode , qui est comme depuis long-temps de tout le monde, puis ayant fait un parabolisme, il arrive enfin une équation très simple entre A et M; c'est-à-dire que . depuis le premier jusqu'au dernier, et ayant ôté tous les obstacles des asymétries, il se trouve enfin que la ligne droite DH dans la figure est égale à la ligne droite M.

D'où l'on voit que le point diaclastique se trouve de la sorte. Si après avoir mené les deux lignes droites DC et CF , l'on fait que comme la résistance du milieu dense est à la résistance du milieu rare, ou bien comme B est k M, ainsi la droite FD soit à la droite DH, et que du point H l'on élève sur le diamètre la perpendiculaire HI, qui rencontre le cercle au point I, ce point sera celui où la réfraction portera le rayon. Et partant le rayon passant d'un milieu rare dans un dense, se rompra en approchant de la perpendiculaire. Ce qui s'accorde entièrement et généralement avec lethéorème de M. Descartes, dont notre analyse a fait voir la démonstration très exacte tirée de notre principe. M. Descartes, très savant géomètre, a proposé une raison des réfractions, laquelle, à ce que l'on

dit, est conforme à Texpérience ; mais pour en faire la démonstration, il a demandé qu'on lui accordât, et on a été obligé ée le faire, que le mouvement de la lumière se £Eiisoit plus facilement et plus vite par un milieu dense que par un rare; ce qui toutefois semble contraire à la lumière naturelle. Gr , cela nous ayant porté à tâcher de déduire la vraie raison des réfractions d'un axiome tout contraire , savoir est que le mouvement de la lumière se fait plus fecilement et plus vite par un milieu rare que par un dense, il est arrivé néanmoins que je suis tombé dans la même proportion que M. Descartes. Cependant je laisse aux plus subtil set sévères géomètres à voir si l'on peut par une voie tout opposée rencontrer la même vérité sans tomber dans le paralogisme; car pour moi, pour parler sans feintisé, j'aime beaucoup mieux Connoître certainement la vérité que de m'arrêter plus long-temps à des débats et contentions superflues et inutiles.

La démonstration que j'avance est appuyée sur ce seul postulat ou fondement , savoir est , Naturam per vias breviores operari , c'est-à-dire que la nature agit par les moyens ou par les voies les plus faciles et les plus promptes; car c'est ainsi que j'estime que l'on doit entendre cet axiome , et non pas comme font plusieurs , que la nature agit toujours par les lignes les plus courtes.

Car tout de même que quand Galilée examine le mouvement naturel des corps* pesants , il ne le mesure pas tant par l'espace que par le temps ; de même je ne considère point ici l'espace plus petit ou la ligne la plus courte, mais ce qui se peut parcourir plus promptement , plus commodément, et en moins de temps.

Cela posé , supposons deux milieux de diverse nature dans cette première figure', et que le diamètre ANB du cercle AHBMV sépare ces deulc milieux, dont l'un y qui est du côté de M, soit le plus rare , et l'autre , qui est du côté de H , soit le plus dense ; et du point M vers H soient menées les lignes droites MN , NH , MR , RH , qui se rompent dans le diamètre aux points N et R , puisque la vitesse du mobile par le milieu MN , qui est supposé rare , est plus grande , selon notre axiome ou postulat, que celle du même mobile par le milieuNH, et que les mouvements sont supposés uniformes dans chacun de ces milieux , la raison du temps du mouvement par le milieu MN , au temps du mouvement par le milieu NH , est composée , comme tout le monde sait , de la raison de l'espace MN à l'espace NH , et réciproquement de la raison de la vitesse par le milieu NH à la vitesse par le milieu MN.

Si donc l'on fait que comme la vitesse par le

• Figure i5.

milieu MN est à la vitesse {)ar le milieu NH , ainsi la ligne droite MN est à NI ; le temps par lemiJieu MN au temps par le ra^itieu NH sera comme IN à NH,

De même l'on démontrera que si l'on fait que comme la vitesse par le milieu plus rare est à la vitesse parle milieu plus deme , ainsi la ligne MR est à RP 9 le temps du mouvement par le milieu MR sera au temps du mouvement par le milieu RH comme la ligne PR est à la ligne RH.

D'où il suit que le temps du mouveme^it par les deux lignes MN , NH , e^t au temps du mouvement par les deux autres MR > RH , comme l'agrégé des deux lignes IN, NH, est à Tagrégé des deux autres PR,RH.

Quand donc la nature dirige un rayon de lumière du point M vers le point H, il faut chercher un point quel qu'il spit^ comme N, par lequel la lumière puisse parvenir par inflexion ou réfraction du point M au point H en moins de temps. Car il est très probable que !a nature , qui avance toujours le plus qu'elle peut ses opérations , tendra d'elle-même vers ce point-là. Si donc Taggrégé ou la somme. de^ deux lignes droites IN , NH^ qui est la mesure du temps du mouvement par la ligne rompue MNH, se trouve être la moindre quantité, on aura ce que l'on cherche.

Or cela suit du théorème proposé par M. Des-

cafta» , €ocnma je vais vous 'fiifre voir par ma boime géofnétriè; , •

Car M. Descartes dStt que sî du point M on mené le rayon MN, et que du rùême point M on abaisse la perpendiculaire MD, et si avec cela l'on ùàtqtHd corome la plus grande vitesse est à la moindre , aihsi la ligne DN est à NS , et que du poiiit S soit élevée la pérpendiéuïaireSH , et mené lerayon NH , porfr lors le rayon de lumière , qui vient du milieu rare M au point W, ^ rompt à la rencontre Au milieu dense , et va au point H , en approchant de la perpendiculaire.

Or notre géométrie ne répugne en fîaçoh quel-^ conque à ce théorème, comme Ton verra parîa proposition suivante , qui est purement géométric^ue.

Soit le cercle ÂHBM dont le tiiamètre soit ANB, le centre-'N, dans la circonférence duquel -ayant pris un point à discrétion comme M, soit mené le rayon MN , et soit abaissée sur le diamètre la perpendiculaire MD ; que l'on sache outre cela la proportion qui est entre lepius ou moins de facilité que les différents milieux donnent au passage de la lumière, et qu'ainsi Ton fasse DN à NSI Que DN soit plus grande que NS, et que di| poiiM; S soit élevée la perpendiculaire SH qui rencontre la cir- <U)nférence du cercle au point H , duquel soit mené au centre le rayon UN ; puis soît fait comfme DlJ est à NS , ainsi le rayon MN soit à la ligne droiet

lo. Si

4dd XBTTBES.

m. le dk que la somme^ des. deof, lignes droites IK , NH , qui est la mesure du temps paries deux lignes MN , NH, comme il a été prouvé cirdes^s, .art la moindre de toutes ; c'est-à^ire que si , par exemple y Toi} prei\d un pçint tel que Fon voudra, comipe R , du côté du semi^diamètr^ NB , et si Von joint les deux lignes droites MR , RH , et que Von fasse que comme DN est à NS , ainsi MR sqit fi RP , pour lors la somqie des deux droites PR et RH , qui est aussi la jpesure du temps par les deux lignes JVIR , RH , comme il a été aussi prouvé cidessus, sera plus grande. que la somme des deux autres droites IN ^.NH. .. ^ .

Qt , pour le p]rouvier , soit fait comme le rayon MN est à DN , qu'ainsi RI^ soit à NO ; et comme DN est à NS , qu'ainsi NO soit; à N V. Il parait par la construction que la ligne NO est plus pelote qae la ligne NR , d'autant que la ligqe DN est plus petite que le rayon MN ; il est évident aussi que la ligne NV est plus petite que la ligne NO , puisque la ligne NS est moindre que la ligne ND. . Cela étant posé , le carré de la ligne MR est égal au carré du rayon MN^ plus au carré, de Ifi ^gne NR , et à deux fois le reQtangle sous DN et NR par la lâ du â. Mais. puisque par la construction, comme MN est à DN , ainsi NR est à.NO, il s'ensuit que le rectangle fait de MN , NO , est égal au rect^tngle de DN , NR , par la 1 6 du 6. Et

XrETTKBS. ^83

fisnrtaiit le rectangle de MÎT , NO , pris deux fois , esl égal à deux «fois le rectangle de DN, NR!

Par ^eoHséquent'le carré de la ligne MR est égal aim deux carrés MN et NR , «t a d^x fois le q^tangle sous MN , NO. Or^ le carré de la ligne Np. est plus grand que le carré de la Jigne NO; puisque NR est plus grand que NO. Partant le carré 4e la ligne MR est plus grand que les deux carrés MN , NO avec deux fois le rectangle sous MN , NO. Qr:- est-il que ces deux carrés MN ^ NO awc <teux fois le rectangle sous MN , NO, sont pgaux au carré qui est fait des deux Kgnes MN , NO comme d^uneseule ligne droite, par la 4 du 2. Donc la ligne droite MR est plus grande que la somme des deux lignes droites MN et NO.

Mais puisque par la construction comme DN est à NS , ainsi MN est â NI , et ainsi aussi NO est à MV , partant comme DN est à NS , ainsi sera la somtme des deux lignes MN, NO, à la somme des deux lignes IN, NV , par la' 15 du 5. Or, comme DN est à NS , de même aussi MR est à RP ; par conséquent comme la somme des deu3^ lignes MN NO est à la somme des deux lignes IN , N V , ainsi la ligne MR est à RP. Or est41 que la ligne MR est plus grande que.la.sdmipe des deux lignes MNV NO, par conséj^uént la ligne PR est aussi plus grande que la somme des deux lignes IN, NV, pair la i4du 5. , ^*

484 LBTTRXS.

Il ne reste plus qu'à prouver que la ligne RH est plus grande ou du moins n'est^pas pins petite que la ligne HV 9 après qnoi il sera constant que la.SQSirae des deux lignes droites PR , RH ^est plas grande que la somme des deux^§^eâ droites IN, NH.

Daqs le triatngle NHR , le caivé RH est égal aux deux carrés HN et NR, moins deux fois le rectangle sous SN, NR par la i3 du i. Mais puisque par la construction , comme le rajon MN , ou son égal NH^ est à DN , amsi NR est à NO ; et que comme DN est à NS , ainsi NO est à NV ; il s'ensuit qu'en raison égale coipme HN. e^ à IfS ^.ailisi NRest à NV , par la 22 du 5 , où l'on voit q^ie NR est plus grande que NV. Et partant le rectangle des deux lignes HN et NV est égal au rectangle de SN et NR , par la 1 6 du 6. Par conséquent, le rectangle sous HN et NV pris deia fois est égal à deux fois le rectangle sous SN et NR. C'est pourquoi le carré . de HR est . égal aux deux carrés HN , NR , moins deux fois le rectangle sous HN n NV. Mais le carré NR a été prouvé pkis grand que le carré NV, partant le carré HR est plus grand que les deux, carrés HN , NV, moins deuK fois le re^ïtangle sous HN , NV. Mais les deux carrés HN, NV, moins deux fois le rec^p|f|^ so^s HN , NV, sont égaux au carré deja droite HV, par la 7 du a. Par conséquent le carré de HR

est plus grand que le carré de HV, et partant la ligne HR est plus grande que la ligne H^. Ce qui nous restoit à prouver.

Que si l'on prend le point R * du côté du semi- <&mèt0è 'AN y quoique lés deux Ugnes droites MR et RH se. rencontrent directement , et ne constituent qu'une seule ligne droite , comme dans la seconde.figure , la même chose arrivera ( car la déipoDsÊrfttion est générale et pour toute sorte de cas ) , c'est-à-dire que la somme des deux lignes droites PR , RH sera plus grande que la somme des deux lignes droites IN, NH. Et pour le prouver, seit fa£t comme ci-devant, comme le rayon MN est k la ligne DN , ainsi RN soit à NO, et comme DN est à, N^, ainsi NO soit à NV. Il est évident que là ligne NR est plus grande que NO , et que la ligne NO est plus grande que VN, De plus, que le carré MR est égal aux deux carrés MN , MR , moins deux fois le rectangle sous DN , NR , par 1 5de 29, ou bién^ comme il a été prouvé ci-dessus^ moins deux fois le rectangle MN , NO.

Mais^ puisque lé catré NR est plus grand que le carré NO, il s'ensuit que 1^ carré MR sera plus grand que les deux carrés MN, NO, moins deux fois le rectangle fait sous MN, NO. Or est-il qiié les deux carrés MN , NO, moins deux fois le rectangle fait sous Mîï , NO, sont égaux- au carré de la

" Figure i6»

ligne MO par la 7 du d. Par conséquent le carré de la ligne MR est plus grand que le carré de la ligne MO , et* partant aussi la ligne MR est plus grande que la ligne MO.

Mais puisque par la construction , comme DN est à NS , ainsi MN est à NI , et ainâi aussi NO est à NV; donc comme MN est à IN , ainsi NO est à NV; et en permutant , comme MN est à NO, ainsi IN est à NV. Et en divisant , comme MO est à ON, ainsi IV est à VN; et en permutant , comme MO est à IV, ainsi ON est à NN , ou DV à NS, oii MR à RP.

Or l'on a prouvé auparavant que MR étoitplos grande que MO , donc PR est aussi plus grande que IV; partant il ne reste plus qu'à prouver, afin que la preuve soit entière , sinon que la droite BR est plus grande, ou du moins n'est pas plus petite que la somme des deux lignes droites HN , NV, ce qui n'est pas difficile.

Car le carré RH est égal aux deux carrés de NH et NR joints à deux fois le rectangle sous SN et NR, ou bien , par ce qui a été prouvé ci-devant, joints à deux fois le rectangle sous HN et NV; mais le carré RN est pliis grand que le carré NV, donc le carré HR est plus grand que les deux carrés HN et NV, avec deux fdis le rectangle sous HN et NV;nftûs le carré de NN, NV, comme «ne seule ligne droite, est égal aux deux calrés de

HN , NV; ^vec <Jcux fois le rectangle sous HN, NV> par . la 4 du 2 * donc le carré de HB.esft; plus grand que le carré 4^ HN, NY, comme une seule ligne; et partant la ligne droite HR est plus gran4e que la somme des deux ligpes droite^ HN , NV,ce qui restoità prouver. D'où il suit, par ce qui a été montré cindevant , que la ligne droite HR est plii% .gfiAideque la somme des deux lignes droites HN, NV.

Partant il est évident que les deux lignes droite PR et RH, ou la seule ligne drmte PRJji (qua^d il arrive que ce ne soit qu'une seule lignQ droite), sont toujours plus grande: qj^ les deux lignes droites IN et NH ; ce qu'il falloit démontrer.

4S8 L^XTAI^S*

LETTRE 1>B »*. GEBRS€LIBft

A^M. SE: r:£&MîAT«.